初中几何“线段最值”问题的求解策略

叶婷婷

几何问题是初中数学的重难点。因为几何问题往往比较抽象，考察的是学生的抽象思维，需要学生运用一定的想象，因此，学生需要具有良好的数学转化思想和数学创造意识，才能够很好地解决这类问题。

一、利用数学公理求最值

在求解“线段最值”的时候，我们可以使用数学公理去求解答案。这个公理就是“两点之间线段最短”。连接两点间的线段的长度叫作这两点间的距离。根据常识我们可以知道两点之间的所有连线中线段是最短的。而最短就对应最值中的最小值。

比如这样一道典型的例题，“要在街道MN旁边修建一个供水站。向居民区a，b提供水源。居民区a，b都位于MN街道旁的一侧，供水站应该建在什么地方，才能使从a，b到它的距离之和最短？（提示：可以画一条线段去表示距离之间的最小值）”在解决这个问题的时候，我们就要用到上述提出的数学公理。我们以MN街道为对称轴，画出a点在MN轴另一侧的对称点a'，连接a'和b可以得到一条线段，这条线段和mn轴有一个交点，记作p。p点就是修建供水站的位置。如此供水站到居民区ab的距离之和最短（ap和a'p的距离相等）。这是几何中一道比较简单的求最值的问题。求解的思想就是做出对称点，将折线转化为直线。同一个图形使用不同条件进行限制就会组成不同的图形。这个公理还会以线段加平面图形的形式进行考察。例如，“在正方形abcd中，ab等于4，e是bc的中点，点p是对角线ac上一个动点，那么pe+pb的最小值是多少？”还是利用公理的思想进行求解，pe+pb的最小值就是正方形对角线db的长度。这也是“两点之间，线段最短”的表现。当出现动点和线段这几个字眼的时候，就要自觉向这个公理上靠，很有可能考察的就是这个公理。

二、利用数学性质求最值

可以利用數学性质去求解最值，这里的数学性质指的是垂线段最短的数学性质。数学性质看起来很简单，但如果要做到合理运用就存在一些难度。需要同学们认真分析题目，找到题目的入手点。

我们知道，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，两条直线的交点叫作垂足。做垂线有两种方法，第一种是过直线上一点作已知直线的垂线，第二是过直线外一点作已知直线的垂线。第二种也是我们常见的“最值问题”的解题方法。面对这类题型，我们的解题方法就是，过定点作已知直线的垂线。例如这样一道典型的例题，“农民伯伯在灌溉水田的时候，需要去河边取水，在这其中就会消耗大量的时间和精力。请同学们设计一种方法。把河水中的水引到农田处，要求渠道的设计路线是最短的，能够节约资源。”这时我们就可以把河水用一条直线l表示，在l的一侧设置一点p，p点就是农民伯伯的农田处，过p点作已知直线l的垂线，交点为d，pd就是灌溉渠道的最短路线。因为垂线段最短。这是数学题型与生活实际结合起来的一个比较典型的例子。数学中的线段对应的就是生活中的路线，其实同学们在课下也可以多关注一些生活中的实际问题。对中考的数学题型进行分析，可以发现其中很多数学的考点都是掺杂着实际问题进行考察。目的就是让同学们找到数学与生活之间的联系，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。这也是数学学科素养中对学生的硬性要求，老师和学生都要提高相关的重视程度。

三、利用数学函数求最值

求解最值的最后一个策略就是利用数学函数求最值。如果题目中给出了具体的数学函数，我们可以直接根据题目条件，限制函数的范围，然后求出最大值或者是最小值，如果没有给出具体的函数，则需要我们去构建一个函数模型求解。

函数有三种表达方式，一种是解析法，另一种是列表法，还有一种是图像法。在解题的过程中，我们经常使用的是解析法和图像法。解析法能够简明、全面地概括，求出任意自变量对应的函数值，而图像法能够研究函数值变化的趋势，进而研究函数的性质。例如这样一道题目，“已知直线y=2/3x+4与x轴和y轴分别交于点a和点b，点c和点d分别为线段ab和ob的中点，点p为oa上一个动点，那么当pc+pd值最小时，p点的坐标是多少。”题目中我们已经知道了直线的函数表达式。我们就可以求出这条直线与x轴和y轴的交点坐标，也就是b点和a点的坐标。由于c点和d点分别是线段ab和ob的中点。我们可以利用中点的计算公式，求出c点和d点的坐标。设p点的坐标为（x，o），利用两点间的距离公式可以表达出cp+dp这一具体的解析式。然后根据p点的坐标限制，求出距离最小值下p点的坐标。这就是利用解析式求解最值的一般解题步骤。分析数学考试试卷可以发现，以函数形式求解最大值和最小值，通常会成为试卷的压轴题目。压轴题目就意味着难度系数比较大，对学生的综合考察能力比较高。学生不仅要具有较强的函数意识和图形意识，还要学会将二者很好地结合起来进行分析。为了更好地解决这类题目，本文建议学生在课下要多进行背记有关函数的基本知识，掌握函数中的计算公式和计算。

总之，几何问题是初中数学中比较困难的一部分，学生接受起来表现出一定的困难，因此无论是习题设计还是教学设计老师都要给予一定的细心和耐心，做好初中数学中几何问题的教学，切实培养学生各项能力的发展，促使学生成为全面型人才。