基于DPL模型对超短脉冲激光辐照金属薄板传热行为的渐进分析

王颖泽, 昝 晨

(江苏大学 能源与动力工程学院, 江苏 镇江 212013)

随着超短脉冲激光加热技术的飞速发展(超短脉冲激光通常是指脉冲时间宽度小于10-12s的激光),其热作用的周期时间极短.超短脉冲激光凭借其具有极高的光脉冲峰值功率、较高的能量密度、较短的脉冲持续时间、高精度处理微结构以及在材料热加工中高精度控制加热时间和加热位置等诸多优点,广泛应用于现代工业中[1].其中超短脉冲激光加热技术的大部分应用都涉及到材料的热效应,如激光医学手术、激光微加工、激光烧结过程和激光钻孔技术等,为了确保应用过程的安全和提高应用效率,必须对其热传导过程进行充分准确的研究[2-5],并完整表达其热传导过程.而超短脉冲激光加热引起的微纳米尺度的导热规律仍有待进一步探索[1],准确描述时间极短、尺度微观的超急速传热过程显得日益重要.

傅里叶于1822年在大量常规传热实验的基础上发表了其著名论著《热的解析理论》,奠定了导热的理论基础,该定理认为热是以扩散的方式传播的,并假设了热扰动传播速度无限大.在常规热传导问题中,其结果是正确的.但在超短脉冲激光加热金属薄板的过程中,由于其响应时间极其短暂、薄板的特征尺度非常小,必须考虑其热波传递速度的有限性,传统的傅里叶导热定理已无法对这一导热过程进行准确描述.研究人员[1,5-9]在傅里叶定理的基础上,通过不同的物理现象,构建了各种基于热扰动传播速度有限的非傅里叶热传导模型.其中包括考虑系统中介质的弛豫时间的CV热传导模型,分别考虑电子气和金属晶格热传导的抛物两步模型及双曲两步模型,以及提出了包含热通量和温度梯度相位延迟时间的并且能够在同一框架内描述宏观或微观热传递现象的双相滞后热传导模型(DPL模型)等.

采用双相滞后热传导模型相关学者围绕超短脉冲激光加热金属薄膜(薄板)的传热问题进行了大量的研究,并取得了诸多有价值的理论成果[7-10].但值得注意的是,之前的研究人员大多采用的是有限元方法或积分变换法进行分析求解.利用积分变换法的时候,在积分反演时通常采用数值模拟的方法进行近似求解[8-11].在数值求解时,计算精度高度依赖于所使用的数值模拟方法及相应的求解格式,不利于进行定性分析,且难以进行进一步的物性分析[11-16].

文中采用了一种解析渐进求解的方法求解热传导方程.将双相滞后热传导模型联合能量守恒方程得出薄板的热传导偏微分控制方程,然后利用Laplace正、逆变换的技术,推导了金属薄板受超短脉冲激光冲击下的温度响应的近似解析表达式,并与数值方法结果进行比较,验证了计算结果的准确性.同时还研究了热通量相位滞后值和温度梯度的相位滞后值以及金属薄板板厚对热传递行为的影响.

1 问题的数学描述

金属薄板受超短脉冲激光辐照的热传导行为如图1所示.

图1 金属薄板受超短脉冲激光辐照示意图

考虑板长为L的薄板,板内初始温度为T0,其中边界壁面温度保持恒定,边界都是绝热的(不计热量从边界的流失).假定其物性参数都为常数且保持不变.考虑到薄板的长度和宽度远大于其厚度,可假定其温度只随横向坐标x发生变化,这样就可以退化为一维问题.故参考文献[9]选用一维DPL控制方程:

(1)

式中:τq为热通量的相位滞后值;τT为温度梯度的相位滞后值;k是导热系数;q是热通量;T是温度.

在局部能量平衡中,激光能量的作用形式以体积内热源的形式计入能量方程中,给出了当前问题的单次能量方程:

(2)

在本研究中,为便于计算,选用改进的高斯激光束,则激光能量吸收速率为

(3)

(4)

式中:tp激光脉冲宽度最大持续时间的一半;J是激光能量密度;R是辐射反射率;a是一个常数.

将方程(1)与方程(2)联立,可得到计入激光作用的温度控制方程:

(5)

初始条件为

(6)

边界条件为

(7)

2 问题求解

2.1 变换域内控制方程的求解

这里选用Laplace变换进行解析求解,根据Laplace变换公式:

(8)

式中:p为Laplace变换因子;上标“-”表示对该变量进行Laplace变换.

在这里为方便表述及计算,假定

T(x,t)=T(x,t)-T(0,t).

(9)

对上述方程(5)进行Laplace变换,可以得

(10)

式中

(11)

方程(5)的通解可表示为

(12)

2.2 解析域内求解

根据Laplace终值定理可得

(13)

当响应时间t取小值时,其影像p取大值,当p→∞时,可以对特征根R进行近似处理:

(14)

利用幂级数的展开公式可得到相关系数A1(p),A2(p),A3(p)的近似处理:

方程的通解可以写成:

A(m4)]+b3[B(m1)+B(m3)]-

b1[B(m2)+B(m4)]+F,

(15)

式中:A(m),B(m)是关于m的函数,则

F=b6(p1-p2)+b7(p2-p3)exp(-2ptp).

其中:

m2=[(2n+2)L-x]·k1,m3=[(2n+1)L+x]·k1,

m4=[2nL+x]·k1.

T(x,t)=b4[A*(m1)+A*(m3)]-b2[A*(m2)+

A*(m4)]+b3[B*(m1)+B*(m3)]-

b1[B*(m2)+B*(m4)]+F*,

(16)

式中:

A*(m)=L-1(A(m))=

B*(m)=L-1(B(m))-H(t1)·

其中:

3 分析与讨论

3.1 结果验证

为了验证解析方法结果的准确性,文中采用与文献[11]中相同的参数来预测金质薄板的温度变化情况.采用的参数如下:J=13.4 J·m2,δ=15.3×10-9m,a=1.992,tp=100×10-15s,L=100 nm,k=315 W·m-1·K-1,R=0.93,τq=8.5×10-12s,τT=90×10-12s,α=1.2×10-4m2·s-1.

解析解与数值解的比较如图2所示,从图中可以看出,采用解析求解得到的数据与文献[11]中数值模拟方法所得到的数据在描述温度场的过程中基本一致,验证了解析求解的正确性.采用解析求解能更好地反映温度场变化与各参数的关系,可以更好地定性分析,为下一步的物性参数分析奠定了基础.

图2 解析解与数值解的比较

3.2 结果分析

通过与数值计算的对比,验证了此解析渐进求解方法的正确性,并在此基础上研究了τq/τT,τT/τq及板厚对温度变化的影响.利用上述渐进解析表达式,取τT=90 ps,t=0.6 ps,其他物性参数不变的条件下,计算了不同τq/τT值下相对温度沿x方向的变化情况.τq的定义是热流梯度q的相位滞后时间.如图3所示,图中纵坐标为相对温度,沿着x方向,随着x的增大,相对温度在不断的降低.当τq/τT越大,金属薄板左边界上相对温度T的值就越大,即τq的增大趋向于在金属薄板中引起更多的热波，并且随着τq的增加,该热波的波峰值越高,温度变化率越大.

同时在保持τq=10 ps,t=0.6 ps不变的情况下,计算了不同τT/τq值下沿x方向上的T的变化情况,τT的定义是温度梯度的延迟时间.如图4所示,图中纵坐标为相对温度,在较大的τT/τq的情况下,金属薄板左边界上T的值就越小.可以得出,τT通过促进热传导而使τq产生的较高的温度变化率和左边界上的相对温度降低.由于激光内热源保持不变,即激光加热的能量保持不变,τT的增加使得沿x方向的温度变化率降低,在金属薄板的右边界,相对温度趋近于,所以热信号在金属薄板中的穿透深度也随之增大.

图3 不同τq/τT值下的温度变化

同时还研究了金属薄板的长度对于温度场的影响,如图5所示,选取板厚为60,80,100,150 和200 nm的金属薄板,分析其温度场的变化,采用与图2一样的物性参数,并与图2中的第1张图进行了对比.从图中可以看出板厚对温度场的波形影响较小,由于采用的模型中两边界绝热,所以当板厚过小时会产生回弹现象.

图4 不同τT/τq值下的温度变化

图5 不同L值下的温度变化

4 结 论

1) 在DPL模型中,τq和τT的变化是引起非傅里叶热传导效应的主要原因之一.因此,在超短脉冲激光辐照金属薄板中,当τq越大,金属薄板左边界上相对温度T的值就越大.τq的存在往往会引起更多的热波,并且随着τq的增加,该热波的波峰值越高,温度变化率越大.相反,随着τT的增加,热波的波峰值越小,温度变化率越低,同时增大了热波在金属薄板中的穿透深度.

2) 在一维双相滞后模型(DPL模型)下金属薄板的厚度对温度场的波形影响较小.

3) 通过近似解析的求解方法得出超短脉冲激光辐照金属薄板的瞬态热传递过程,为下一步的物性分析提供了参考.