转换数学语言理解图形概念

王保卫

培养学生的数学核心素养，就是要促使学生用数学眼光观察世界，用数学语言表达世界，用数学思维思考世界。数学的眼光、数学的表达和数学的思维都离不开数学语言。重视数学语言教学是落实培养学生核心素养的需要。在图形语言表述的概念教学过程中，感知表象、抽象特征和理解属性等学习阶段都需要借助数学语言转换来实现。数学语言转换能促进学生在概念形成不同阶段有效地理解、表达，现以“角的认识”教学为例，谈谈概念学习中的数学语言转换。

一、建构概念表象时，图形语言转换为图形语言

图形是一种理解、描述、联系现实空间的工具，图形语言表述的概念在现实中都有直观模型，从日常熟悉的物体或模型中认识概念，符合学生的認知规律和概念发展规律。因此，教师进行概念教学时，可以选取直观材料或模型作为概念的实物原型，帮助他们直观了解图形概念的形式特征，从实物原型抽象出数学图形，需要数学语言转换，实物转换为数学图形语言，生活问题抽象为数学问题，有利于概念表象抽象和直观感知。

教师先出示下列图形（如图1），让学生说一说，哪个图形与众不同？学生都认为其他图形有角，圆没有。教师出示三角尺、剪刀和闹钟等实物让学生找角。有的把角指作点，有的随意比划两边。教师把这些角从物体上“移”下来后，学生观察、抽象出它们形状的共同点。最终，学生在讨论中用规范动作和正确图形语言描述角的外形：顶点是尖的、边是直的。

学生在日常生活中已经具备对角的原生态认识。学生熟悉的生活经验对学习新知有负面影响。教师要让“数学角”快速融入学生学习过程中。教师出示直观图形，引导学生观察“数学角”的外形。学生开始对角的描述不准确，在不断辨析中才逐渐形成正确表象。这个辨析过程是实物转换为图形语言的过程，学生从中把生活问题抽象为数学图形，建立数学图形视觉心像，为理解和掌握角的意义和内涵奠定了认知基础。

二、抽象概念特征时，图形语言转换为文字语言

图形语言表述的概念具有双重性——既是概念，又是图形。作为概念，它能反映一类图形的本质属性;作为图形，它涉及形状、大小、位置和度量等关键因素。在概念建构阶段，教师不但要让学生从许多事物和情境中抽象、概括出它们的共同本质特征，而且要帮助他们辨别与图形本质无关的非本质特征，图形语言转换成文字语言能抽象和概括概念本质特征并澄清概念外延。

学生初步认识角的外形特征后，教师问学生用什么方法做一个角。有的想用尺画角，因为角的两边是直的，尺能画直线;有的想用三角尺“印”角;有的想用纸“折”角;有的想用毛线“拉”角;有的想用小棒“搭”角;有的学生想用吸管“折”角……教师根据学生的需要提供研究材料，让他们小组合作用不同材料创造角，并思考：为什么不同的材料都能做角？不同的角有什么共同点？

抽象概念特征时，教师提供了丰富的感知材料，让他们根据需要操作，思考、理解图形语言的操作意义并转换为文字语言的表达思维过程。学生在操作过程中获得丰富的感性经验，对角的特征认识进一步深化和具体化;不同材料做角是图形语言转换为文字语言的过程，有助于学生对角的概念从感性认识上升为理性认识，从而发现概念的本质属性。

三、理解概念属性时，图形语言转换为符号语言

概念学习原理指出：对概念内涵和外延有所理解后，应及时引进数学符号，帮助学生把符号和它所代表的实质内容联系起来。当学生看到符号就能联想符号所表示概念的本质属性时，就表明学生真正理解了概念属性。否则，学生对概念属性只是浅表性理解。如果概念进入符号化表征阶段，把图形语言转换为符号语言，学生思维就能进入抽象化阶段，就能顺利把握概念本质，理解关键属性。

教师出示钟面，引导学生观察时针和分针组成的角（如图2）。教师出示∠1（分针指向12，时针指向2的钟面）和∠2，让学生指一指分针和时针组成的夹角，再动态演示时针从2转到3的过程，追问角发生怎样的变化？学生发现分针不动、时针从2转到3，分针和时针之间的格数从2变成3，2格<3格，∠1<∠2，角变大;教师继续操作，把∠1变成∠3，分针不动，时针从2转向1，学生发现分针和时针之间包含的格数由2变成1，2格>1格，∠1>∠3，角变小。教师追问学生从角的动态变化能发现角的大小变化与什么有关后，继续在时钟上操作，学生发现，分针和时针组成夹角的大小与边的长短之间没有关系，与两条边叉开的大小有关。

时针和分针的旋转使学生发现影响角的大小因素是“两条边的叉开程度”，无关因素是“边的长短”。图形语言转换为符号语言，学生在角的“重叠”中学会在角的大小比较中对角的符号意义获得了正确理解。

总之，学生学习角的过程是数学语言不断转换的过程。通过数学语言转换，学生能深刻理解概念的本质属性。概念学习促进数学语言转换，数学语言转换能更好地帮助学生理解概念，两者相辅相成、共同促进学生数学素养的发展。

（作者单位：江苏省睢宁县教师发展中心）