一类具有时滞的高阶分数阶微分方程积分边值问题解的存在唯一性

郑春华，宁艳艳，高汝林

(陕西工业职业技术学院公共课教学部，712000，陕西，咸阳)

0 引言

因为分数阶微分方程在化学物理、高分子材料等领域都有着非常深入的应用，所以分数阶微分方程的研究越来越受到重视[1-3]。分数阶微分方程的边值问题是分数阶微分方程研究工作的重要方面，这方面的研究出现了很多成果[4-9]。

对于含有时滞的分数阶微分方程边值问题特别是积分边值问题的研究结果还不是很多[10-11]。本文利用Banach压缩映射原理研究分数阶微分方程的积分边值问题

(1)

解的存在唯一性问题，其中f(t,x)C([0,1]×R,R)，n为大于1的整数，n-1<α≤n，0<τ<1，r≠α，Dα0+表示标准的Riemann-Liouville型分数阶导数。

1 主要引理

定义1[3]：对于函数f(t)和α>0，定义f(t)的α阶Riemann-Liouville型分数阶积分为

定义2[3]：对于函数f(t)和α>0，定义f(t)的α阶Riemann-Liouville型分数阶导数为

其中N=[α]+1。

定义3[12]：设(X,ρ)为度量空间，T:X→X的映射，如果存在0<λ<1使得对∀x1,x2X都有

ρ(Tx1,Tx2)≤λρ(x1,x2)

成立，则称T为压缩映射。

引理1[4]：对于α>0，uC(0,1)IL(0,1)，则存在ciR(i=1,2,…,n)使得Iα0+Dα0+u(t)=u(t)+c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n。

引理2[12]：设X为Banach空间，T:X→X为压缩映射，则T在X中有唯一的不动点。

引理3：设hC[0,1]，则BVP

存在唯一解

证明：利用引理1和n-1<α≤n，可得

x(t)=Iα0+h(t)+c1tα-1+…+cntα-n。

由边值条件x(0)=x′(0)=…=x(n-2)(0)=0可得c2=c3=…=cn=0。

再由积分边值条件可知

进而可知

因此

令

X={x|x

定义算子T:X→X，

2 主要结果及证明

定理1：若下列条件成立，

(A1) 存在常数c满足

|f(t,x)-f(t,y)|≤c|x-y|t[0,1],x,yR；

则BVP(1)存在唯一解。

证明：为了利用引理2证明定理1的正确性，下面证明T是压缩映射。

对∀x1，x2X，利用引理3有

再利用条件(A1)可得

再根据条件(A2)可知T为压缩映射。利用压缩映射原理可知BVP(1)在X中存在唯一解，进而可知BVP(1)有唯一解。