基于数学核心素养培养的解析几何复习备考策略

卢瑞庚

高中数学解析几何内容在近年高考中一直作为压轴题出现，常常让学生感到无从下手，究其原因，在于考生没有真正把握此类内容的数学本质，致使解题思路受阻.在复习备考的关键阶段，为了帮助教师化解解析几何备考的诸多问题，笔者谨以此文与同行分享自己的思考与备考体会.

一、认识解析几何的数学本质，明确考查方向

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称课标）明确指出：数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律;高中数学课程以学生的发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养;数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，它们既相对独立又相互交融，是一个有机的整体;高中数学教学应把握数学本质，以发展学生数学学科核心素养为导向.

综观高中数学的教学内容，大致包含14个知识板块，各知识板块之间相互衔接，形成高中数学知识的网络体系，且各自在培养学科核心素养方面又有不同的侧重.解析几何作为14个知识板块之一，其数学本质是用代数的方法研究曲线的性质，因此，它也是沟通代数与几何的桥梁，堪称数形结合的典范.解析几何里的代数方法，主要包括方程方法和函数方法。方程方法主要是利用曲线交点问题联立方程，消元后形成一元二次方程，再利用判别式、韦达定理等，通过消元来降低未知数的个数及次数，最终达成为问题求解的目的;函数方法主要是通过构建目标函数来研究函数的相关性质，包括定义域、值域、单调性、极值、最值等，最终达到求值或为范围求解的目的.事实上，运用方程或函数的方法为问题求解的过程，就是运用代数方法研究直线与圆锥曲线的位置关系，用代数符号语言刻画几何关系，得出代数结论并给出几何解释的过程。以上学习过程，可以用来培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算等学科核心素养.

解析几何研究包含两大任务：一是建立曲线的方程，二是利用方程研究曲线的性质.这也是高考命题的两大考查方向.

建立曲线方程的考题，如2018年高考理科数学全国Ⅱ卷第19题——设抛物线[C：y2=4x]的焦点为F，过F且斜率为[k （k>0） ]的直线[l]与[C]交于A，B两点，[AB]=8.（1）求[l]的方程;（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.该题两问都是建立曲线方程，包括直线方程和圆的方程;所涉及的位置关系，一是直线[l]与抛物线C相交且已知弦长，二是圆与C有两个交点且与C的准线相切.第一问通过联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入弦长公式求出斜率，即可得出直线C的方程;第二问先求出线段AB的垂直平分線方程，再根据相切关系转化为圆心到准线距离等于半径，解方程组可得圆心坐标及半径，最后写出圆的标准方程.由以上求解过程可知，建立曲线方程的考题，本质上就是用代数方法去研究曲线的几何性质.为这一类问题求解时，学生因为不能理解解析几何的数学本质，数学抽象和逻辑推理能力有待发展，所以在思维层面就难以娴熟地达成从数到形再到数的过程转化，表现在解题中就是不能娴熟地运用建立方程的诸多方法（待定系数法、直接法、相关点法）为问题求解.此外，学生的运算求解能力也不够过关，带字母运算在化简的过程中经常丢三落四，这也反映出学生的数学运算核心素养有待发展.

利用方程研究曲线性质的考题，如2015年高考理科数学全国Ⅱ卷第20题——已知椭圆C：[9x2+y2=][m2（m>0）]，直线[l]不过原点[O]且不平行于坐标轴，[l]与[C]有两个交点A，B，线段AB的中点为M.（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与[l]的斜率的乘积为定值;（Ⅱ）若[l]过点[（m3，m）]，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时[l]的斜率;若不能，说明理由.本题两问中，第一问是研究两直线斜率的乘积为定值，第二问是研究四边形能否成为平行四边形.无论问题是什么，解决的策略还是运用代数的方法，具体到本题中，就是运用方程的方法来运算、求证，运算过程涉及逻辑推理和数学运算核心素养.

二、基于问题，以核心素养培养为导向，合理安排每轮复习的内容和方法

高三复习备考的主导思想是基于问题，以核心素养培养为导向，切实提高学生的学科核心素养水平暨备考能力.通常而言，教师应根据考纲所列考查内容合理设置例题及变式题，对学生加强解题方法指导，让学生在解题的过程中达成提升核心素养的目标.

通常情况下，高三备考需要依据考纲和全国卷近三年的试题及解题过程整理出每个知识板块所要考查的主要问题，明确高考要考什么、怎么考，再画出每一个知识板块所要考查的问题中各轮复习要解决的具体问题关系图和知识结构图，以此确定各轮复习的重点复习内容.复习方法的选择则应彻底摒弃知识本位，坚持核心素养导向，通过聚焦各知识板块所要考查的具体问题，切实培养并有效提高学生的问题解决能力.第一轮复习应明确各板块知识要用什么概念、原理、法则来解决哪些具体问题;教学中要紧扣教学目标，以高考真题为例研究、剖析所考查的问题实质，并根据核心素养的培养要求进行题组训练;课堂目标检测则由本课所讲具体问题的变式题构成，板块目标检测以本板块全部具体问题的变式题构成.第二轮复习主要是解决第一轮复习中存在的问题，在第一轮复习的具体问题和方法技能中精选小问题，聚焦核心素养考查目标进行题组练习.第三轮复习的重点则是解决第二轮复习中存在的问题，针对第二轮复习中筛选出来的小问题提炼解题的思想方法，核心素养导向更加突出.三轮复习始终基于问题，以核心素养培养为导向，环环相扣、层层深入，引导学生对所考查的问题进行抽丝剥茧，有效解决所要考查的本质问题.

分析近三年高考理科全国Ⅲ卷中的解析几何试题（如图1），可知该知识板块所考查的问题主要是根据曲线的几何特征或与其他直（曲）线的几何关系，求该曲线其他几何特征的量或数量关系.考查的本质是选择几条曲（直）线，其中一条含参数，从坐标平面上的特征点出发引出一条直线，选择恰当的参数值，提出并解决与其中的线段或角有关的数量关系问题，或者求曲线（或直线）的几何特征量.由此我们可以归纳出解析几何第一轮复习所要解决的如下20个具体问题：（1）求直线中的[k，b];（2）求直线的方程;（3）求圆的圆心和半径;（3）求圆的方程;（4）求直线与圆的位置关系;（5）求圆与圆的位置关系;（6）求椭圆的[a、b、c、e];（7）求椭圆的方程;（8）求抛物线的[p]、准线和顶点;（9）求抛物线的方程;（10）求双曲线的渐近线和[a、b、c、e];（11）求双曲线的方程;（12）根据定义求轨迹方程;（13）根据相关点法求轨迹方程;（14）根据待定系数法求轨迹方程;（15）求线段的长;（16）分析两个角的大小关系;（17）求直线与曲线相切的问题;（18）求定点定值问题;（19）求参数取值范围问题;（20）求证存在性问题.上述问题确定后，教师应以问题解决为出发点，配合相应的例题、变式题组织学生进行专题训练，归纳出针对不同问题的一般解题思路和方法.基于问题组织第一轮复习，课堂目标检测及板块目标检测亦须以核心素养培养为目标，通过问题变式题检测学生是否掌握相关的解题方法，具备相应的解题能力.第二轮复习时，应针对第一轮复习过程中存在的问题进行再度归纳整理，提炼出更具针对性的问题，通常情况下包括以下四类问题：（1）曲线方程求法（如2017年）;（2）设问中几何关系转化为代数关系（每年都考）;（3）定点定值问题（2017年，2019年）;（4）定值，范围，最值问题（2018年，2019年）.到第三轮复习时可再次提升，更加聚焦核心素养考查，无论是例题还是变式题，都要瞄准逻辑推理、数学抽象、数学运算三大核心素养进行组题训练，让学生对考题做到心中有数、方法对路.

[  【2017年理科数学全国Ⅲ卷】20.已知抛物线C：[y2=2x]，过点（2，0）的直线[l]交[C]与[A，B]两点，圆[M]是以线段[AB]为直径的圆.

（1）证明：坐标原点[O]在圆[M]上;

（2）设圆[M]过点[P]（4，-2），求直线[l]与圆[M]的方程.

【2018年理科数学全国Ⅲ卷】20.已知斜率为[k]的直线[l]与椭圆[C：x24+y23=1]交于A，B两点，线段AB的中点为[M（1，m）][（m>0）].

（1）证明：[k<-12];

（2）设[F]为[C]的右焦点，[P]为[C]上一点，且[FP+FA+FB=0].证明：[FA]，[FP]，[FB]成等差数列，并求该数列的公差.

【2019年理科数学全国Ⅲ卷】21.已知曲线[C：][y=x22，D]为直线[y=-12]上的动点，过[D]作[C]的两条切线，切点分别为[A，B].

（1）证明：直线[AB]过定点;

（2）若以E（0，[52]）为圆心的圆与直线[AB]相切，且切点为线段[AB]的中点，求四边形[ADBE]的面积. ]

三、解析几何解题能力训练及核心素养培养

（一）解析几何题目中所蕴含的核心素养及相关能力获得

1.着眼于数学抽象核心素养的培养，帮助学生获得解析几何研究的对象及思路.课标指出：数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征.数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中.解析几何解题过程中的数学抽象，体现为透过题目中对数量关系的描述形成几何图形（题目本身一般不会给出图形），通过在数与形之间的反复转化形成解题思路，从而得到数学研究的对象，并用数学符号语言予以表征.正因为解析几何中数学抽象的成分较重，才导致每届高考考生在该题中平均得分最低.

2.着眼于逻辑推理核心素养的培养，帮助学生获得解析几何的研究精髓.课标指出：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两大类，一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.逻辑推理是得出数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.考纲指出，逻辑推理的考查应贯穿全卷.解析几何题目中的逻辑推理，主要是依据题目中体现出来的各种逻辑关系，以代数的形式，依据规则推导出命题和结论的过程.教师在复习中要特别注意加强解析几何证明題训练，让学生真正学会用代数的形式进行推理，用数学的符号语言表达思维.

3.着眼于数学运算核心素养的培养，让学生获得严谨求实、一丝不苟的科学精神.课标指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.数学运算是解决数学问题的基本手段.解析几何题目中的数学运算一般都比较繁杂，不仅运算量大，而且运算中包含复杂的逻辑关系，学生在考场上往往因为时间不足而对它望而却步.

（二）解析几何解题能力训练及核心素养培养

1.形成一套行之有效的解题模式.解析几何的本质是用代数方法解决曲线问题，一般是直线与圆锥曲线相交产生的系列问题.基于数学抽象核心素养，可以归纳出如下解题模式：（1）先引入参数，如引入直线的斜率[k]（此时要注意讨论[k]是否存在），再设直线方程.（2）直线方程与曲线方程联立，得[y=kx+bf（x，y）=0]，消去[y]，得到[Ax2+Bx+C=0].此时先用判别式判断根的个数，再用韦达定理[x1+x2=-BA，x1x2=CA].（3）将题目中的几何条件转化为[x1，x2]的关系式;（4）结合消元[x1+x2，x1x2]，化出[k]的关系式，形成以[k]为变量的目标函数，进而为问题求解.

以2017年理科数学全国Ⅲ卷第20题（如图1）第一问的证明过程为例.（1）证明：①当[AB⊥x]轴时，将[x=2]代入[y2=2x]，得[y=±2].所以，坐标原点[O]在以[AB]为直径的圆[M]上.②当[AB]不垂直于[x]轴时，设[AB]的方程为[y=k（x-2）]，A，B两点的坐标分别为[A（x1，y1），B（x2，y2）].由[y2=2xy=k（x-2）]消去[y]，整理得[k2x2-（4k2+2）x+4k2=0.]于是[x1+x2=4k2+2k2x1x2=4]，[y1+y2=][k（x1+x2-4）=2k]，[y1y2=k（x1-2）（x2-2）=-4].进而得出[kOA·kOB=][y1y2x1x2=-1]，[OA⊥OB]，所以坐标原点[O]在以[AB]为直径的圆[M]上.该题的解题过程需要注意以下几点：（1）针对[k]的讨论;（2）得到韦达定理后如何转化，这是个难点，关键在于如何结合几何条件消元，再把几何关系转化为代数关系;（3）由于解析几何的计算“牵一发而动全身”，一个细节出错会导致整个运算出错，这就要求学生一定要有全局观，探究最优的运算思路、方法和程序，尽量简化运算，提高数学运算核心素养.选择点的坐标、如何设立直线方程等都将直接影响计算的繁简，进而影响计算的准确与否.

2.探索学生数学运算核心素养的培养策略.首先要放手给学生，留够时间给学生，让学生亲自动手运算，充分暴露思维上的障碍，亲身体验运算过程中的艰难险阻，从中提升数学运算核心素养.其次可用更复杂、更高难度的竞赛题训练学生，比如圆锥曲线的竞赛题思维含量高、运算量大，便是合适的训练素材.笔者在实践中发现，学生在做此类竞赛题时思维更加活跃、解法更加灵活.

比如2019年全国高中数学联赛A卷一试第10题：在平面直角坐标系[xOy]中，圆[Ω]与抛物线Γ：[y2=4x]恰有一个公共点，且圆[Ω]与[x]轴相切于Γ的焦点[F].求圆[Ω]的半径.学生给出了两种令人“惊艳”的解法.解法一（如图2）巧妙利用了曲线系方程的特点，将问题化解，充分彰显了学生的思维创新能力;解法二（如图3）借助数学抽象，结合图形，发现了特殊三角形这个解题关键，大大减少了运算量.

3.训练学生用规范的数学符号语言表达思维，关注学生书写的细节.解析几何题是压轴大题，用数学符号语言表达思维过程，用方程或不等式之间的转化诠释逻辑推理，要求学生思维严谨，步步为营，推理表达恰到好处，特别要注意以下过程如何用符号语言表达、转化：（1）题目通常是把条件隐藏在直线与二次曲线相交形成的弦上，解题时往往要通过对弦端点坐标的设而不求、整体代换等，把条件转移到目标函数中来，最终实现问题的解决.（2）解题时必须树立方程思想，依次经历直线与二次曲线方程的联立、韦达定理、判别式消元，最终形成单变量函数.其间联立方程消元化简，一定要确保无误;判别式、变量取值范围容易遗漏;设立直线方程时要注意对斜率是否存在进行讨论;等等.（3）当平面向量与圆锥曲线问题结合时，向量通常要转化为坐标关系，用韦达定理进行消元转化.

另外需要说明的是，在解析几何解题过程中，建议不要使用一些不太常用的结论，即学生所谓的“黑科技”.比如在2018年理科数学全国Ⅲ卷中直接使用中点弦结论[k=b2x0a2y0]，在2019年理科数学全国Ⅲ卷中直接使用抛物线[y2=2px]上一点[（x0，y0）]的切线方程[y0y=][2p·x+x02]，这些都会被扣分.当然，如果这些“黑科技”出现在选择填空题或竞赛题中是可以的.因为解析几何重推理，要展现知识的发生发展过程，对于那些不是从课本中归纳出来的性质、定理等，建议不要轻易使用.如果先推理证明了该结论，那么就可以使用了.

总之，高中数学解析几何板块复习备考，应通过对至少近三年高考真题的研究，提炼出此类内容考查的本质和具体问题，再聚焦核心素养的培养对学生加以系统训练，便可切实攻克解析几何的解题难关.

（责编 白聪敏）