人教版数学八年级上册《分式方程与实际问题——工程问题》教学实录与评析

陈超江 农学宁

【摘要】本文以人教版数学八年级上册《分式方程与实际问题——工程问题》课堂教学为例，阐述“四度六步”教学法在初中数学教学中的应用。这节课运用“四度六步”教学法，通过创设贴近学生生活实际的问题情境，让学生在问题情境中体会工程类问题的基本量的意义、利用列表法分析问题中的数量关系，恰当设未知数，找出等量关系，列出分式方程并求解，突出解决核心问题，突破教学难点，以精彩的课堂环境，锻造学生解决实际问题的意识与能力。

【关键词】“四度六步”教学法 初中数学 工程问题 分式方程 精彩课堂

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章編号】0450-9889（2020）02A-0024-05

工程问题是学生在学习解分式方程之后学习的列分式方程解决实际问题，也是继用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题的后续学习。学生在学习之后，要明确工程类问题的基本量（特别是工作效率）的意义，能够利用列表法分析问题中的数量关系，然后恰当设未知数，统揽全题找出等量关系，列出分式方程并求解，最后解释实际问题。

一、复习提问，温故孕新

师：同学们，上一节课我们学习了分式方程，大家还记得怎么解分式方程吗？

（学生安静思考了一会儿）

师：下面我们通过解答一道练习题来回顾一下。请同学们拿出课堂练习本。我们有请黎同学上黑板来解答，其他同学在课堂练习本上完成。

（教师在黑板适当的位置写上：[13+16+12x=1]，然后安静地巡视课堂，检查学生的练习情况）

师：同学们都写完了吗？写完了的同学请举手示意一下。（几乎所有的学生都举手了）很好，我们抬起头来看看黎同学的解题过程，你们觉得她解得怎么样？

生：很好！

师（适时小结）：不错！她书写的字体很工整，这一点是值得我们很多同学学习的;她的解题步骤很清晰、完整，还特别注意到了检验。从她的解题过程中，我们可以看到解分式方程的一般步骤有，去分母、解整式方程、检验以及下结论。

师：同学们，你们都写对了吗？写对了的同学请举手。（几乎所有的学生都举手了）看来同学们对解分式方程已经比较熟练了。这里我想请同学们回想一下前面我们学过的其他方程相关的内容，你们说，掌握了解分式方程，接下来我们应该学什么呢？

生：分式方程的应用！

师：太棒了！对，就是分式方程的应用！

（教师板书课题：15.3.3分式方程与实际问题——工程问题，板书完毕后立即打开PPT展示课题，并指向PPT引导学生看课题）

评析：本节课先复习分式方程的解法，一方面达到练习巩固目的，另一方面则是从知识结构的整体性出发引出本节课的教学内容。同时巧妙地选取了教科书在本节内容例3中建立的分式方程，一则该练习简单，能面向全体学生;二则该练习的解答过程恰好是例3利用分式方程解实际问题步骤的一部分，可为例3的解答埋下伏笔，提高课堂效率。

二、创设情境，引入课题

师：同学们，我们一起来看一道题，请大家大声朗读题目，“学校”一二起……

生（朗读题目）：学校图书馆本学期新购一批图书，已知我们班的黄建翔同学单独协助图书管理员1个月完成这一批新书上架工作的[13]，刘长震同学单独协助图书管理员x个月完成全部图书的上架工作，那么刘长震同学单独协助图书管理员1个月完成这一批新书上架工作的几分之几？他们两人共同协助图书管理员1个月完成这一批新书上架工作的几分之几？

师：同学们，这是什么实际问题？

生：工程问题。

师（追问）：那么，请同学们回想一下工程问题一般涉及哪些量？

生1：工作总量、工作时间和工作效率。

师：这位同学回答得很全面，也很准确。

师（再次追问）：这三个量之间有什么关系？

生2：工作总量=工作效率[×]工作时间，工作时间=[工作总量工作效率]，工作效率=[工作总量工作时间]。

师：这位同学说得很到位！

（教师板书：1.工程问题中常用的数量关系：工作效率=[工作总量工作时间]）

师：我们回过头来看看这道题目，题目中涉及哪些量？首先，我们请黄同学来说说，在这项工作中涉及哪些量？

生3：时间——1个月，工作总量——一批新书上架工作，可设工作总量为单位“1”，工作效率——[13]。

师（追问该生）：你是怎么想到“[13]”是工作效率的？

生3：因为是1个月完成这一批新书上架工作的[13]。（学生回答时强调了“1个月”）

师：黄同学很善于抓住关键信息。

师（再次追问该生）：你认为自己单独协助图书管理员全部完成这一项工作需要几个月？

生3：3个月。

师：对！请坐！接下来，我们请刘同学也来说说，在这项工作中涉及哪些量？

生4：时间——x个月，工作总量——全部图书的上架工作，设工作总量为单位1，[1x]。

师（追问该生）：[1x]是什么量？

生4：[1x]是工作效率。

师（再次追问该生）：你是怎么想到“[1x]”是工作效率的？

（学生沉默了）

师（提示该生）：你是从题目中的哪一句话看出是工作效率的？

生4：1个月完成这一批新书上架工作的几分之几？（学生回答时强调了“1个月”）

师（教师竖起大拇指表扬该生并再次追问该生）：对！那“[1x]”是怎么得到的？

生4：工作总量单位“1”除以工作时间“x”。

（学生一边说，教师一边板书：工作效率=[工作总量→工作时间→] [1x]）

师：很好！请坐！

师：请同学们帮助他们两人解答最后一个问题。他们两人共同协助图书管理员1个月完成这一批新书上架工作的几分之几？这个问题实际上是求什么？

生：两个人合作的工作效率。

师（追问学生）：那答案是什么？

生：[13]+[1x]。

（学生一边说，教师一边把答案写在黑板上）

师（适时小结）：同学们，我们回过头来看看这道题目。它告诉了我们，在工程问题中，工作总量不具体时，往往把工作总量设为单位“1”，当知道完成总工作的时间为多少个月时，工作效率就表示1个月能完成总工作的幾分之几。

评析：教师通过创设贴近学生生活的情境，使得学生加深对在工作总量不具体的情况下工作效率的实际意义及其表示形式的理解，为学生在例3中的合作探究做好知识的铺垫。

三、合作探究，活动领悟

师：下面，我们来看一道关于修路工程的题目，请同学们一起大声读题目。

生（朗读题目）：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的[13]，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？

师：现在我们以学习小组的形式一起讨论、解决这个问题。每个小组的分工任务如下。一，组内每名同学积极参与讨论，找出解决问题的方法，选出一名同学把小组解决问题的方法和算式、方程列出来，可以不用化简或求解;二，选出一名同学代表小组上来讲解。

师：请各位小组长举手领取题目。

（得到题目后，各小组展开了激烈的讨论;教师在黑板左下角处画出了一个3行4列的空表格，然后巡视课堂并指导各小组开展探究学习活动）

评析：教师利用学生已有知识，给学生自主学习的时间和空间，发挥学生的主动意识和合作精神。

（大约经过了5分钟，教师巡视课堂发现有些小组已经完成了任务）

师：有哪个小组愿意先来分享自己的解法？

（生5起身分享自己小组的解法。该小组设乙队单独施工完成全部工程需要x个月……他们用列表的方法清晰、直观地分析了问题中的数量，准确找出了列方程的等量关系，列出方程为：[13]+[16]+[12x]=1）

师：这个小组通过设乙队单独完成全部工程所用的时间为x个月，列出方程。可以解决这个问题吧？

生：可以！

师：很好！还有哪个小组愿意上来和大家分享一下你们解决这个问题的方法？

（生6讲解他们小组的解题过程。该小组设未知数的方法和列出的方程与刚才小组的是一样的，分析数量时也是用列表法，只不过列表的方式和刚才小组的形式不太一样。教师抓住这两个小组都用了列表法分析问题中的数量的共同特点，在学生讲解的过程中，顺势对照学生列出来的表格中的内容把黑板上的空白表格对应的内容填满了，得到了一个完整的分析数量的表格）

师：同学们，刚才的两个小组在和我们讲解时都用了什么方法分析问题中的数量？

生：列表法。

师：不错！（教师指着黑板上的表格）这两个小组分析问题的方法告诉了我们，用列表法分析问题就会使得问题中的数量变得十分的直观和清晰明了，方便我们解决问题，所以，今后我们要学会用列表法分析问题。其实，我们在学习用一元一次方程解决实际问题时，也是利用列表法分析问题中的数量关系。

评析：至此，学生已经用原有的知识基本解决了例3的问题，但为了让学生真正地从数学语言的表述和内在联系上理解工作效率的意义，教师又设计了以下环节。

师：同学们，我们回过头来看看这一道题，它是问哪个队的施工速度快。这两个小组都是通过直接设乙队单独完成全部工程所用的时间为未知数，列出方程求解，比较甲、乙两队单独完成全部工程所用时间的多少来解决问题的。那我们能不能直接设乙队的工作效率为x，列出方程求解，通过比较两个队施工的工作效率的大小来解决问题呢？

生（沉默了一下）：可以！

师（追问学生）：那我们应该怎样设未知数？

（学生沉默了）

生7：设乙队施工的工作效率为x。

（学生一边讲，教师一边板书）

师（追问该生）：列出的方程是什么呢？

生7：[12x+][13+16=1]。

（学生一边讲，教师一边板书该方程）

师：好！请坐！同学们，我们来看看这样设未知数列出来的方程有什么特点？

生8：列出来的方程是一元一次方程，比刚才列出来的分式方程要简单多了。

（其他学生向生8投过去了崇拜的眼神，全体学生都认为这种方法是最简洁的方法，但他们感觉似乎哪里存在问题，又说不出来，也没有学生提出异议）

师：同学们，我们回过头来看一下用这种方法解题的过程。刚才这位同学设的未知数“x”表示什么意义呢？

生：工作效率。

师（追问学生）：那它的单位是什么？

（学生沉默，思考）

师（提示学生）：它是表示乙队每天完成x米呢，还是x千米呢？

生：都不是。

师：好！同学们，我们回过头来看看这道题目，题目中的工作总量是不具体的，所以，我们应该要设总工作量为单位“1”，此时乙队工作效率的实际意义就表示乙队1个月能完成总工程的几分之几，那么我们应该怎么设乙队的工作效率呢？

生：[1x]。

师：对！

（教师指向板书：工作效率=[工作总量→工作时间→][1x]，教师顺势把板书中生7“设乙队的工作效率为x”中的“x”改为“[1x]”。）

评析：教师引导学生通过分析不同的设元方法来进一步辨析“工作效率”的实际意义和表示方法，以单位表述为切入点，较好地突破了教学的难点。

师（追问学生）：其中，“1”和“[x]”分别表示什么呢？

生9：“1”表示总工程量为单位“1”，“[x]”表示乙队单独完成全部工程需要的时间为[x]天。

师：非常好！我们这样设未知数后，乙队的工作效率“[1x]”的实际意义就很明确了。那列出的方程又是怎样的呢？

生：[12×1x+13+16=1]。

（学生一边讲，教师一边把板书“[12x+][13+16=1]”中的“[x]”改为“[1x]”。）

师（追问学生）：同学们，解答这一道题时，我们用了两种不同的方法设未知数，第一种方法是直接设乙队单独完成全部工作所用的时间为[x]个月，第二种方法是设乙队施工的工作效率为[1x]，它们列出来的方程有什么关系呢？

生：是一样的。

师：是的。

（教师把板书“[13+16+12x=1]”中的“[12x]”拆开写成“[12×1x]”，引导学生发现这两种设未知数的方法所列出来的方程间的关系）

师（追问学生）：为什么会一样呢？

生10：因为在列方程时它们都要表示出乙队的工作效率为[1x]。

师：是的，方法一是直接设乙队单独完成全部工程的时间为x个月，而实际上，方法二在设乙队的工作效率为[1x]时是间接设了乙队单独完成全部工程的时间为x个月，所以，这两种设未知数的方法的本质是一样的，它们都设了乙队单独完成全部工程的时间为x个月。也就是说，今后我们解决这一类问题时，上面的这两种设未知数的方法都是可以使用的。

师：既然两种方法都可以，我们选择其中的一种方法把解题过程规范地书写出来。由于设乙队施工的工作效率为[1x]的方法理解上比较困难，所以，我们就选择另一种方法来书写过程。

师：同学们，这个方程，好眼熟啊，我们似乎刚才在哪里见过了。同学们帮老师找一找在哪里。

生（学生笑了）：对！就在黑板中间，黎同学刚才写的那一题。

师：是哦，怎么就那么巧了呢。黎同学早就帮我们解好了这个方程，感谢黎玉同学。但作为实际问题的解答，我们还需要把解题步骤补充完整。

师：由于本题的总工作量不具体，我们把总工作量记为单位“1”，那么在这里乙队的工作效率的实际意义就表示它1个月能完成总工程的几分之几，所以我们把它规范地写为“设乙队单独施工1个月能完成总工程的[1x]，记总工作量为‘1，根据工程的实际进度，得”。

（教师一边说一边板书，其后接上之前已经列好、解好的分式方程及其解答步骤）

师：由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的[13]，可知乙队的施工速度快。

师（适时小结）：同学们，我们回过头来看这一道题，我们利用分式方程解决了一个工程问题，用列表法分析问题，而且我们可以看到列表法能帮助我们清晰、直观地分析问题中比较复杂的数量以及数量关系，所以同学们要学会用列表法分析问题。那么，通过这一道题，我们来总结一下列分式方程解决实际问题的一般步骤有哪些。哪位同学来说说？

生11：设未知数、列出方程、解方程、检验、作答。

（学生一边说，教师一边板书，在解答过程中用红色的笔迹将以下关键词补出或直接圈出来：设、列、解、验、答，其中，还强调因为是解决实际问题，所以在检验时不仅要检验方程的解，而且还要检验方程的解是否符合实际意义）

师：好！请坐！

师（追问学生）：还有同学需要补充吗？

生12：还有分析题意。

师：很好！我们在得到刚才同学总结的这些步骤之前其实还做了一件很重要的事情就是分析题意（教师竖起大拇指，为这名学生点赞）我们把它叫做审题，简称“审”。

（教师一边说，一边在解题步骤的“设”的上方补写“审”，并用红色笔迹将它圈出来）

师（适时小结）：所以列分式方程解决实际问题的一般步骤有：审、设、列、解、验、答，这六步。

评析：学生亲自经历小组合作探究发现问题、解决问题、总结提升的学习过程，领悟用列表法分析实际问题中的数量及数量关系的优越性，归纳列分式方程解决实际问题的具体步骤。

四、师生互动，变式深化

师：同学们，现在我们把这道题中的“1个月”改为“2个月”，“半个月”改为“一个半月”，就变成了問题4（教师一边讲一边用PPT显示题目中变化的地方），看看大家还会做吗？请同学们独立完成。

（学生安静地独立练习，教师巡视课堂并指导学生。大约5分钟后，教师巡视课堂发现有一部分学生已经完成了练习，其他学生也至少列出了方程）

师：哪位同学上来和大家分享一下你是怎么解这道题的呢？

（生13讲解的过程略。该生利用实物投影将自己的解答过程投影出来，将列表分析问题、设未知数、列方程、解方程、检验、作答的步骤详细、清楚地讲解出来了，赢得了其他学生热烈的掌声）

师：这位同学讲解的思路很清晰，解答过程也很完整！谢谢！其他同学也能做得出来吗？

（有一部分学生举起了手）

师：很好！其他还没有完成的同学，课后再继续完成。

师（适时小结）：从刚才同学的讲解中，我们可以看到列表法能帮助我们清晰、直观地分析问题中比较复杂的数量以及数量关系，所以同学们要学会用列表法分析问题。我们要根据审、设、列、解、验、答，这六个步骤去列分式方程解决实际问题。

评析：这个环节主要是利用变式（改变题设条件）让学生抓住同类问题解决的一般方法，体会利用分式方程解决工程类问题的模型。教师引导学生进一步熟悉列分式方程解决实际问题的基本步骤，为下一环节学生自己独立练习打好知识和方法的基础。

五、尝试练习，巩固提高

师：同学们，我们利用列分式方程解决了一个工程筑路的问题，前面我们提到了黄同学和刘同学协助图书管理员整理图书，现在他们在这项工作中又遇到了另一个问题，请同学们自己独立利用刚学的知识来帮助他们解决这个问题。

（教师用PPT呈现题目：我们班的黄同学3小时清点完一批图书的一半，刘同学加入清点另一半图书的工作，两人合作1.2小时清点完另一半图书。如果刘长震同学单独清点这批图书需要几小时？）

（学生安静地独立练习。教师巡视课堂并指导学生。大约5分钟后，教师巡视课堂发现有一部分学生已经基本完成了练习，其他学生也至少列出了方程）

师：同学们，我们已经有一部分同学完成了练习，还没有写完的同学课后再继续写，课后同学们可以互相讨论，互相分享一下解题的过程。

评析：教师变换问题情境，让学生独立完成同类问题。这样教学，一方面进一步巩固已经形成的问题解决模式，另一方面则重视以独立完成的学习方式，检测学生对本节课在双基方面的掌握情况。

六、适时小结，兴趣延伸

师：同学们，我们来总结一下这节课。本节课我们解决了什么问题？

生：工程问题。

师（追问学生）：我们是用什么方法分析问题的？

生：列表法。

师（再次追问学生）：那解决问题的具体步骤是什么？请同学们带着这个问题再认真看一下课本，看看你还会有什么新的发现？

（学生自己认真阅读课本进行回顾）

师：最后，老师给同学们布置了练习题，希望大家课后能认真去完成。

[教师一边讲一边用PPT呈现题目：（1）基础，完成教科书第154页练习第2题;（2）能力，联系实际，请你编出一道关于分式方程的应用题（工程问题），并给同桌解答]

评析：教师首先小结本节课的主要方法与问题类型，再引导学生回顾本节课学习的基本内容、方法和步骤，有利于学生形成解决一类问题的基本方法和步骤，提升学生的学习感悟。通过分层布置作业，使得每一名学生都有机会运用本节课所学知识解决本节课遇到的简单的实际问题，特别是增强了潜力生学习的自信心和兴趣，激发了他们的求知欲，也增强了他们独立运用知识解决问题的意识，同时也给感兴趣的学生提供了探究、挑战的空间，更能激发学生勇于尝试、勇于探究的学习兴趣。

板书设计：

【总评】

本节课的主要内容是用分式方程解决实际问题——工程问题，主要渗透的数学思想方法是模型思想和方程思想。而这一类问题在建模的过程中，为什么以分式方程建模、如何解模，则是本节课的重点和难点。教师在教学设计上运用“四度六步”教学法，以优化课堂教学环节。其中，以“温故”环节复习分式方程的解法和步骤，既是对原有知识点的巩固，又为正课中的问题解决埋下伏笔，更能突出本节课的重点;以“引新”环节的方式引入课题，为正课中关键概念（工作效率）的运用铺垫;以“探究”环节的形式让学生在原有的知识体系中构建自主的问题模型，形成合理的思维模型（列表法），以活动领悟知识的发生发展过程，体验交流合作的优势和成果;以“变式”环节对原题进行题设条件的变式，形成问题解决的一般模式，数学模型也逐步在学生大脑中形成;以“尝试”环节让学生扎实掌握基础知识、基本技能;以“提升”环节归纳本节课的主要問题模型与解决方法，并通过分层作业让学生的学习兴趣延伸。这“六步”过程清晰，目标明确，层次分明，逐步递进，指向知识要点、方法核心。通过六步教学环节的实施，学生的数学能力真正得到锻炼和提高。在思想的维度上，以有层次的问题体现问题的梯度，以细节核心把学生的思维引向深度，以变式和化归拓展数学模型的应用宽度，以真实的教学情境与和谐的课堂气氛创造教学情感的温度。

总体而言，尽管教师在课堂语言和问题的简洁性以及把握教学时间的精确性上还有一定的欠缺，还可以进一步优化。但是在“四度六步”教学法的指导下，这依然是一节成功创造了精彩的数学课堂。

作者简介：陈超江（1986— ），广西容县人，一级教师，理学学士，戴启猛特级教师工作室成员。研究方向：中学数学课堂教学。

农学宁（1971— ），壮族，广西天等人，高级教师，理学学士，南宁市中学数学教研员，广西特级教师，南宁市学科带头人，南宁市优秀教师。研究方向：中学数学课堂教学及考试命题。

（责编 刘小瑗）