从“余数”探秘中指导学生“真学”

秦明山

[摘 要] 数学课堂上，学生的疑问往往会让数学课堂精彩纷呈。关于小学数学除法中的“余数”问题，笔者从一道错题入手，启发学生探究，把握除法与余数的学习真谛。

[关键词] 小学数学;“余数”探秘;指引“真学”

解答小学数学问题时需要把握逻辑关系，引领学生探究，逐步提高学生的数学思维品质。在学习“两、三位数除以两位数”时，笔者因一道错题而引发学生疑惑，以此为教学突破口，从问题探究中挖掘学生的数学潜能。

一、以不同的“余数”为辨析起点，引出除法意义的反思

对于108÷28，其正确的解法是108÷28=3……24。但有学生提出质疑，认为108÷28与108÷4÷7应该相等的，但两者的结果却不同。前者的余数为“24”，而后者的余数为“6”。为什么？对于上述问题，学生运用“a÷b=a÷c÷d”（b=c×d）的公式进行解答。显然，“28”与“4×7”是相等的。但两者的结果却迥然不同。先看108÷28，其结果为3，余数为24，整个计算过程没有错误。同样，对于108÷4÷7，其结果为“3”，余数为“6”，计算过程也是没有错的。但两者的“余数”为何不同？很多学生都将目光聚焦到“余数”上，认为一定是“余数”出问题了。有问题，就要反思算理。在108÷28中，其结果与算理没有异议。但在108÷4÷7中，其算理与前者是不同的。为了让学生能够清晰、准确、明白的辨析两种不同算理的差异性，我们先给学生自主思考、讨论的空间，学生通过探究有了不同的发现。以108÷28为例，该题为三位数除以两位数，既然是除法，就是要进行平均分。对于108，我们平分108颗米粒，每份分28粒，最后分成了3份，还剩下24粒不够分，所以余数为“24”。同样，以108÷4÷7为例，重取108粒米，先分成4份，每份得到27粒，再将“27”分成7份，每份为3粒，还有“6”粒不够分，所以余数为“6”。对比这两种分法，很显然，第一种分法，是将“108”看作“被除数”，得到的余数为“24”。而第二种分法，是将“27”作为“被除数”，得到的余数为“6”。所以，因为“被除数”的变化，“余数”也发生了变化。

二、围绕“余数”问题，展开“真学”探究

从前面所讨论的除法结果与余数问题思考中，学生的数学思维得到了拓展，但为了更好地厘清数学思路，我们结合“余数”问题展开深入探究。前面的余数问题，我们暂且称之为“大余数”与“小余数”。学生通过实践认识到数学除法的算理变化。与之相关的其他数学除法还有很多。如252÷32=7……28与252÷4÷8=7……7;570÷35=16……10与570÷5÷7=16……2。观察并分析这些除法算式，“大余数”是原来的被除数除以除数得到的。“小余数”则是对平分后的数再进行第二次除法运算得到的。以999÷12=83……3对照999÷3÷4=333÷4=83……1为例。“大余数”为3，被除数是“999”，除数是“12”;“小除数”是将“333”作为被除数，余数为“1”。有学生提出质疑，对于428÷63与428÷7÷9，在428÷7时，就产生了余数，这种情况还能继续计算吗？这种情形显然是新问题。我们重新结合分米实验，让学生尝试将“428”粒米先分成7份，得到每份为61，余数为1。接下来，对7个“61”按每“9”个一份进行平分，得到“6”个9，余数为“7”。最后商為“6”，余数为“7×7+1=50”，这样的答案，与428÷63的结果是一样的。也就是说，对于被除数与除数之间，分次除法，所用的“被除数”是第一次得到的“商”，余数可以放一边，等到计算“大余数”时，一定要加上这个“小余数”。

三、鼓励学生对照算法，发展数学运算能力

通过前面对“大余数”“小余数”问题的探究，学生可以对两种不同的算法比较优劣与差异，增强学生的数学观察力、思维力、运算力。数学课堂上，对问题的探究更有助于学生激活数学思维，深化对数学问题的理解。接着，请同学们思考，哪种算法更简便？为什么？有学生认为，列竖式计算比较好;有学生认为，分开计算更简便。结合对相关例题的解法对比，虽然学生都能够理解两种算法，但如何让两种计算结果转化为同样的形式？如对于“108÷28”，可以直接写成3……24;也有学生认为可以写成3……6×4。通过讨论，同学们一致认为，利用小数来表示最为合理。对于108÷28与108÷4÷7，在利用计算器计算后，结果都是相同的。也就是说，对于不能分下去的“余数”，还可以继续平分为“小数”。

总之，在本次课堂探究中，学生从一道错题认识了数学运算的本质，获得了真学，提升了数学思维品质。

参考文献：

[1]吴祝高.小学数学“真”课堂的应然追求[J].基础教育研究，2018（6）：20-22.

[2]徐燕.打造学生主动参与的小学数学真学课堂[J].数学教学通讯，2016（1）：63-64.

[3]张学明.“真学课堂”模式下小学数学课堂教学策略浅析[J].华夏教师，2015（6）：72.

（责任编辑：朱福昌）