随机需求环境下联产品系统价格与产量决策研究

周 品，徐 和，陈鹏宇，陆 芬

随机需求环境下联产品系统价格与产量决策研究

周 品1，徐 和1，陈鹏宇2，陆 芬1

（1.华中科技大学管理学院，湖北 武汉 430074；2.华中师范大学信息管理学院，湖北 武汉 430079）

基于固定比例生产技术和多产品随机需求的情形，研究了联产品制造商的两阶段产量和价格联合优化模型。通过反向倒推的优化求解，得到了联产品制造商的最优产量和价格决策以及变化规律。同时研究了需求服从均匀分布时，需求波动对均衡的影响。研究结果表明，在订货成本较低和一种产品的需求波动性较大时，当另外一种产品的波动增大，则该产品的最优订货量增大，同时价格下降。借助数值仿真，分析了价格敏感度和产出比例对最优决策和利润的影响。结果表明，在给定一种产品的价格敏感度时，另外一种的价格敏感度越大，那么该产品的价格就越低，制造商的订货量就下降。当一种产品的产出比例固定时，另一种产品的产出比例上升时，则该产品的价格下降，制造商的订货量下降，总利润上升。

随机需求；联产品系统；定价策略

0 引言

联产品生产系统特指在同一生产过程中，对同一原材料进行加工并同时生成多种产品的生产系统。该种系统广泛应用于农产品加工和工业制造等行业。在可可加工业，可可豆可通过清洗、烘烤和研磨等工序生成可可浆，再通过压榨和铣削加工最终生成可可油和可可粉。在制糖业，甘蔗可通过研磨得到甘蔗汁，然后加热提取白糖，剩下的结晶糖颗粒将加工成动物饲料。在面粉加工业，小麦通过研磨和过滤之后可得到面粉和麦麸，而麦麸又将会被加工成动物饲料[1]。在肉类加工行业，对牛肉进行加工处理可同时生成优质牛肉及普通牛肉[2]。在半导体制造行业，对晶片进行加工处理可同时生成不同等级的芯片[3]。在化工行业，对磷矿进行开采和加工可同时生成磷肥和磷石膏建材[4]。在石油精炼行业，对原油进行加工处理可同时生成轻油和重油[5]。在传统生产系统中，一种原材料（生产能力）仅生成一种产品。厂商可根据需求特征确定各种产品的生产量（即各种原材料的投入量）；与之对应,联产品系统通过对同一原材料加工处理按照固定比例生产多产品。因此厂商在考虑同一原材料（生产能力）的投入量时，需综合考虑各终端市场的需求特征并综合考虑同一生产过程的生产成本做出相应决策。鉴于联产品系统的这种特殊生产特征及广泛应用和当前缺乏针对联产品系统产量管理研究的现状，本文讨论在各产品市场需求受价格影响且随机的环境下，联产品系统的最优价格和产量决策。借助数值实验，本文探讨了价格敏感度和各产品的产出比例对最优决策的影响并阐述相关的管理启示。

本研究与传统多产品系统生产决策和联产品系统生产决策两个领域密切相关。在传统多产品系统生产决策方面，学者们进行了大量的研究。其中，Palar[6]分析了在可替代随机需求下，双寡头的均衡产量决策。Lippman and McCardle[7]和Cachon[8]对Palar[6]进行延伸，讨论了在不同分配规则下的多产品产量决策。Ozer et al.[9]通过数学规划的方法研究了有VaR约束的多产品系统问题。Bernsteinet al.[10]在分散式供应链结构下，分析了竞争零售商面临需求不确定时的均衡产量决策。Li et al.[11]分析了存在过度自信行为环境下，竞争企业的均衡产量决策。但上述研究探讨传统多产品系统的产量决策，而本文章探讨在联产品系统（同一原料的投入量受到各产出品需求共同影响）中，面临受价格影响的随机需求时，企业的最优价格和生产量的联合决策。

在研究联产品系统生产策略的文献中，Bitran and Dasu[12]和Bitran et al.[13]分析了确定需求随机产出率条件下多周期的联产品生产问题，并提出有效的启发式算法。Gerchak et al.[14]得出确定需求随机产出率条件下单周期联产品系统的最优生产和替代决策。Hsu and Bassok[15]和Rao et al.[16]分析了单周期随机产出随机需求环境下联产品系统最优产量。但上述文献仅考虑联产品系统的产量决策。与之对应，部分学者则考察了联产品系统联合决策。其中，Tomlin, Wang[3]分析了单周期条件下联产品系统在随机产出率和随机需求环境中最优生产、向下替代和价格决策。Boyabatli et al.[2]研究了在面临随机需求和随机原材料价格时，联产品系统的最优原材料购买、加工生产及价格策略。在单周期条件下，Dong et al.[5]分析了在面对随机原材料价格和随机销售价格时，联产品系统的最优生产和转换策略，并讨论了转换柔性的重要性。Boyabatlı[1]分析了联产品系统在随机需求和单周期条件下的最优产量和技术选择策略。Lee[17]分析了确定性环境和单周期条件下联产品系统的最优生产和定价策略，并讨论了副产品协同的环保和成本节约效果。Chen et al.[18]讨论了单周期随机需求条件下联产品系统的产品线设计及定价问题。但上述研究大多数未考虑产品的定价决策。与之对应，本研究在单周期下，探讨各产品需求受价格影响且随机的环境下，联产品系统的最优价格和产量决策；探讨价格敏感度和各产品的产出比例对最优决策的影响。

1 模型描述

图1 联产品生产示意图

Figure 1 Schematic diagram of joint product production

2 两阶段优化模型求解

根据事件发生的顺序，我们将采用逆向优化求解的方法。先分析在各产品产量给定条件下，联产品制造商的最优价格决策；根据所得到的价格响应函数，我们将得出联产品制造商在第一阶段的最优原材料投入量决策。

2.1 第二阶段：联产品制造商的价格决策

在给定第一阶段原材料投入量的前提下，联产品制造商第二阶段的期望利润函数可表示为：

不同于Petruzzi et al.[15]的利润函数形式，我们采用Chen et al.[20][21]等文献的假设，不能满足的市场需求在期末将面临单位惩罚成本。该成本可代表相应的紧急生产成本和对顾客的延迟支付成本。该利润函数中，第一项为销售各产品的期望收益；第二项为各产品的残值收益，第三项为缺货损失。优化(1)式，可以得到以下结论：

由推论一的结论可知，在给定制造商在第一阶段的订货量决策时，最优的价格决策与产量存在反向变动的关系，这与命题一中的结论类似。同时第二阶段的最优价格与均值正相关，即市场容量越大，产品价格越高。当市场需求较小时，需求波动性越大，产品的价格越高；反之，当市场需求较大时，需求波动性越大，产品的价格越低。

2.2 第一阶段：联产品制造商的订货量决策

在此阶段，联产品制造商需要优化最优的订货量使得期望利润最大。此时制造商的利润函数可表示为

其中前三项表示第二阶段的期望利润，第四项表示产品生产成本，第五项表示订货成本。优化(3)中的利润函数，可以得到命题二。

唯一确定。

制造商在第一阶段的利润函数是关于订货量的凹函数，故由一阶条件(4)式可以确定最优的订货量。鉴于在一般的需求分布下，分析需求的波动性对最优订货决策的影响较为复杂。为了简化分析并得到有价值的管理启示，我们在假定需求服从均匀分布时可得到推论二的结论。

其中

由推论二的结论可知，随着均值的增大（即产品的期望需求增大）时，最优的订货量增大。这是由于当市场需求变大时，制造商为了获取更多的利润，倾向于增加订货量。当订货成本较低时，产品2的需求波动性较大时，产品1的波动增大，最优的订货量增大，产品1的价格下降；相反当产品2的需求波动性较小时，产品1的波动性增大，最优的订货量减小，产品1的价格上升。同理，当给定产品1的需求波动性时，产品2的波动性变化有类似的结论。这主要是由于制造商的订货成本较低时，两个产品的需求波动性变大带来的订货量的集聚效应占优订货量的成本效应。

当订货成本较高时，当产品产品2的需求波动性较小时，产品1的波动增大，最优的订货量增大，产品1的价格下降；相反当产品2的需求波动性较大时，产品1的波动性增大，最优的订货量减小，产品1的价格上升。同理，当给定产品1的需求波动性时，产品2的波动性变化有类似的结论。这主要是由于随着订货成本的上升，两个产品的订货量的成本效应占优两个产品需求波动变大带来的集聚效应。

3.数值分析

3.1 价格敏感系数对最优决策的影响

表1 价格敏感系数对制造商的影响

由表1可以看到，在给定产品1的价格敏感度时，产品2的价格敏感度越大，产品2的价格越低，制造商的订货量就下降。同时产品1的价格增大，制造商的总体利润下降。这主要是由于产品1的价格增加效应占优于产品2的价格敏感度变大带来的价格减少效应，最终使得总体利润下降。同理，在给定产品2的价格敏感度时，产品1的价格敏感度越大，产品1的价格下降，制造商的订货量就下降。同时产品2的价格增大，制造商的总体利润下降。这主要是由于产品2的价格上升效应占优于产品1的价格敏感度变大带来的价格下降效应，最终使得总体利润下降。

从表1还可以看到，当两个产品的价格敏感度都较低时，制造商的订货量较高，利润较大；当两个产品的价格敏感度都较高时，制造商的订货量较低，利润较低；当产品1的价格敏感度较低而产品2的价格敏感度较高时，产品1的价格较低，产品2的价格较低；当产品1的价格敏感度较高而产品2的价格敏感度较低时，产品1的价格较高，产品2的价格较高。在实际中，联产品制造商在决定最初的订货量决策时就需要考虑产品价格敏感度变化所带来的递减效应和价格增加效应，以最大化自身的期望利润。

3.2 产出比例对最优决策的影响

表2 产出比例对制造商的影响

从表2可以看到，当产品1的产出比例固定时，产品2的产出比例上升时，产品1的价格上升，产品2的价格下降，制造商的订货量下降，总利润上升。这是由于随着分配在产品2上的原材料增加，产品的供应量上升，产品价格就会下降。同理，当产品2的产出比例固定时，有类似的结论。

从表2还可以看到，当两个产品的产出比例都较低时，此时的订货量较高，利润较低；当两个产品的产出比例都较高时，此时的订货量较低，利润较高；当产品1的产出比例较高而产品2的分配比例较低时，此时产品1的价格较低而产品2的价格较高；当产品1的产出比例较低而产品2的产出比例较高时，此时产品1的价格较高而产品2的价格较低。这表明联产品制造商需要考虑合理的产品产出比例，同时尽可能的充分利用原材料实现整体利润的最大化。

4 结论及展望

本文分析了随机需求环境下，联产品制造商采用固定比例生产技术进行生产时的两阶段优化模型。通过反向倒推的优化求解方法，得出了制造商的最优订货量和最优价格决策及变化规律。并分析了需求服从均匀分布时，波动性对均衡的影响。通过数值分析，研究了价格敏感度以及产出比例对于最优产量、价格和利润的影响。

需要指出的是，本文仅分析了产出比例固定时的最优订货策略。现实中，生产过程往往存在着诸多不确定性，因此考虑随机产出比例是一个值得研究的问题。此外，本文的两个产品市场是独立的，即产品之间不存在替代关系。而在需求不确定的情形下，考虑制造商采用产品替代策略的最优决策也是可以扩展的方向。在实际中存在着多个竞争的联产品制造商，分析相似产品在市场上竞争也是具有现实意义的问题。

[1] Boyabatli O. Supply management in multiproduct firms with fixed proportions technology. Management Science,2015,61(12):3013- 3031.

[2] Boyabatli, O.,Kleindorfer, P. R., Koontz, S. R. Integrating long-term and short-term contracting in beef supply chains. Management Science, 2011,57(10):1771-1787.

[3] Tomlin B, Wang Y. Pricing and operational recourse in coproduction systems. Management Science, 2008,54(3):522-537.

[4] 张勇.《2014中国循环经济年鉴》，冶金工业出版社，2014:124-125.

Zhang Y. China Circular Economy Yearbook 2014[J]. Beijing: Metallurgical Industry Press, 2014:124-125.

[5] Dong L, Kouvelis P, Wu X. The value of operational flexibility in the presence of input and output price uncertainties with oil refining applications. Management Science, 2014,60(12): 2908-2926.

[6] Parlar M. Game theoretic analysis of the substitutable product inventory problem with random demands[J]. Naval Research Logistics, 1988, 35(3):397-409.

[7] Lippman S A, Mccardle K F. The competitive newsboy[J]. Operations Research, 1997, 45(1):54-65.

[8] Cachon G P. Supply chain coordination with contracts[J]. Handbooks in Operations Research & Management Science, 2003, 11(11):227- 339.

[9] Özler A, Tan B, Karaesmen F. Multi-product newsvendor problem with value-at-risk considerations[J]. International Journal of Production Economics, 2009, 117(2):244-255.

[10] Bernstein F, Federgruen A. Decentralized supply chains with competing retailers under demand uncertainty[J]. Management Science, 2005, 51(1):18-29.

[11] Li M, Petruzzi N C, Zhang J. Overconfident competing newsvendors[J]. Management Science, 2017, 63(8):2637-2646.

[12] Bitran G R, Dasu S. Ordering policies in an environment of stochastic yields and substitutable demands. Operations Research, 1992, 40(5):999 -1017.

[13] Bitran G R, Gilbert S M. Co-production processes with random yields in the semiconductor industry. Operations Research, 1994,42(3): 476-491.

[14] Gerchak Y, Tripathy A, Wang K. Co-production models with random functionality yields. IIE transactions,1996, 28(5):391-403.

[15] Hsu A, Bassok Y. Random yield and random demand in a production system with downward substitution. Operations Research, 1999, 47(2): 277-290.

[16] Rao U S, Swaminathan J M, Zhang J. Multi-product inventory planning with downward substitution, stochastic demand and setup costs.IIE Transactions, 2004,36(1):59-71.

[17] Lee D. Turning waste into by-product. Manufacturing & Service Operations Management, 2012,14(1):115-127.

[18] Chen Y, Tomlin B, Wang Y. Coproduct technologies: Product line design and process innovation. Management Science,2013, 59(12): 2772–2789.

[19] Petruzzi N C, Dada M. Pricing and the news vendor problem: a review with extensions[J]. Operations Research, 1999, 47(2):183-194.

[20] Chen X D. Simchi-Levi.Coordinating inventory control and pricing strategies with random demand and fixed ordering cost: The finite horizon case. Operations Research,2004，52(6):887–896.

[21] Chen X, Sim M, Simchi-Levi D, et al. Risk aversion in inventory management[J]. Operations Research, 2004, 55(5):828-842.

Co-product’s joint pricing and quantity decisions with stochastic demand and fixed proportion technology

ZHOU Pin1, XU He1, CHEN Pengyu2, LU Fen1

(1.School of Management, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China; 2.School of Information Management, Central China of Normal University, Wuhan 430079, China)

The co-production system refers to a system that can simultaneously generate multiple products in the same production process, and has a wide range of applications in practice. In the agro-processing industry, sugar cane processing can simultaneously produce edible sugar and animal feed; in the meat processing industry, beef can be processed to produce high-quality beef and ordinary beef at the same time; in the semiconductor processing industry, the wafer can be simultaneously processed into different grades of chips; and in the petroleum refining industry, crude oil is processed to produce both light and heavy oil. In a traditional production system, one raw material (production capacity) yields only one product. The manufacturer can determine the production quantity of each product according to the resource demand characteristics (i.e., the input amounts of various raw materials); likewise, the co-production system yields a plurality of products according to a fixed ratio by processing the same raw material. Therefore, when considering the continued input of the same raw material (capacity), the manufacturer needs to comprehensively consider the demand characteristics of each terminal market and the costs of comparable production processes to make appropriate decisions.

Research on the co-production system has significant practical and theoretical value. From a practical perspective, effective management of the system can not only greatly enhance enterprise profits, but also play an environmental role. From a theoretical perspective, the co-production system creates value through cost sharing, which is significantly different from the production risk-sharing effect. When the demand correlation increases, the effect of capacity sharing is diminished and the effect of cost sharing enhanced. In addition, the profit improvement through flexible pricing strategy and conversion flexibility strategy is greater than the impact of the final product replacement. Although the co-production system has a wide range of applications in various industries, few theoretical studies have been conducted on the system, many of which often overlook random factors that may influence the system.

Based on fixed-scale production technology and multi-product random demand situations, the two-stage production and price joint optimization model of the joint production manufacturer was studied. Through the optimization of reverse pushback, the optimal yield, price decision, and change law of the co-production manufacturer are obtained. At the same time, the influence of fluctuating demand on the equilibrium is observed where the demand obeys the uniform distribution. Through numerical simulation, the influence of price sensitivity and the output ratio on optimal decision-making and profit is analyzed. The study yielded the following interesting conclusions. First, when the order cost is low and the demand fluctuation of Product 2 is large, the fluctuation of Product 1 will decrease, increasing its optimal order quantity and decreasing its price; on the contrary, when the demand fluctuation of Product 2 is less volatile, the increase in the volatility of Product 1 will result in a decrease in its optimal order quantity and an increase in its price. Second, given the price sensitivity of Product 1, the price sensitivity of Product 2 will rise, its price will drop, and its order quantity will decrease; at the same time, if the price of Product 1 is raised, the overall profit of the manufacturer will drop. Third, when the output ratio of Product 1 is fixed and the output ratio of Product 2 is raised, the price of Product 1 rises, and that of Product 2 falls, along with its order quantity; as a result, the total profit is higher.

Stochastic demand; Co-production system; Pricing policy

2017-05-15

2017-12-31

Funded Project: Supported by the National Natural Science Foundation of China (71271092)

F274

A

1004-6062(2020)02-0156-005

10.13587/j.cnki.jieem.2020.02.017

2017-05-15

2017-12-31

国家自然科学基金资助项目（71271092）

周品（1991—），男，湖北襄阳人；博士研究生；主要研究方向：库存管理和供应链管理。

中文编辑：杜 健；英文编辑：Boping Yan