关于定理“斜边、直角边”的证明方法之见解

华东师大版教材八年级上册13.2.6中全等三角形的判定——斜边、直角边，当时学习本节课时没有给出证明，教师用书的注释写到：这个定理将在下一节中得到证明，这里应让学生确信这个判定方法是正确的，因此教材中省略了用運动变换说明的过程，采用了先确认，后补证的方法。

在13.3.1等腰三角形的性质中，在证明“等腰三角形的两底角相等”时，注释中写到：教材通过添加等腰三角形的顶角平分线，利用S.A.S等到全等的两个三角形;若添加底边的中线，则利用S.S.S可得全等的两个三角形;若添加底边上的高，则利用H.L同样可得全等的两个三角形。但H.L的证明需要用到等腰三角形的性质，因此成了循环论证，这是不允许的，在教学中应该避免这样添加辅助线的方法。

上面是我将华东师大版的教材内容，从前到后做了罗列，这里解释一个词语：循环论证

百度百科里是这样解释的：循环论证（又称为乞词魔术等），用来证明论题的论据本身的真实性要依靠论题来证明的逻辑错误。如证明"鸦片能催眠"，所用的论据是"它有催眠的力量"。而"鸦片有催眠的力量"，又要借助于"它能催眠"来证明。这就是犯了循环论证的自证。这是论证无谓的一种，当辩士为支持某项主张所提供的根据，其实是同一主张换汤不换药的重复时，就是进入了"循环论证"的无谓性。换句话说，在循环论证中，论证的前提就是论证的结论，因此又称为"先定结论"。

这样解释专业术语太强，可能有人不太理解，我举个简单的例子：

一个瘦子问胖子：“你为什么长得胖？”

胖子回答：“因为我吃得多。”

瘦子又问胖子：“你为什么吃得多？”

胖子回答：“因为我长得胖。”

胖子的回答真是令人啼笑皆非。他回答瘦子的第一个问题时，是以“吃得多”为理由的;而他回答瘦子的第二个问题时，又以“长得胖”为理由。胖子的回答能够解决瘦子的问题吗？当然不能。胖子的这种论证，就叫做“循环论证”，是说明不了任何问题的。

胖子的循环论证虽然说明不了任何问题，但是胖子的两个状态“吃得多”“长得胖”却是真实的。

作为一线老师，今年我给八年级的学生讲全等三角形的性质时，告诉学生不能添加底边上的高作为辅助线，与后面HL的证明存在循环论证。我试过，这么讲解的话，学生听懂的真的没几个！隔了几天测试一下，添加底边上的高作为辅助线的又有很多学生，甚至，有的教师师讲校级公开课，辅助线照样添加底边上的高。我就想，问题出在哪呢？

我就思考，那是不是有其它的解决方法？我翻阅了北师大版教材与人教版教材。

人教版教材中没有给出证明，是利用画图验证的，旁边的注释中写到：在《课程标准》中，“斜边、直角边”条件是作为定理而不是基本事实要求的。我想，既然是定理，第一，为什么课本不直接表明？让学生或者有的老师弄不清楚，我调查过，有的老师还认为“斜边、直角边”是基本事实。第二，又为什么不给出证明呢？定理是需要逻辑推理来证明正确性的。因此，我认为教材的编排应该再斟酌斟酌！

北师大版教材中，七年级下册学习三角形全等时并未给出关于HL定理的证明，而是在八年级上册学习《勾股定理》时又补证了一下，并且易于理解，下面我详细叙述一下证明方法。

我认为学生最能接受的是这种证法，但是时间上是不是有点滞后呢？

基于此，我认为华东师大版的教材在这个定理的编排上最好能考虑教学实际，不论从学生的理解上还是数学定理的本身，是不是能再完善一下。

我对华师大版教材的另一个疑问是：HL定理的证明既然是利用了等腰三角形的性质，为什么不放在等腰三角形的性质一节中讲，为什么要放在等腰三角形的判定中呢？我真的是没有想明白！

上面是我对几个版本中HL定理证明的见解，有不到之处，敬请指出！

注：允许编制对论文进行小的修改，如有大的变动请与作者沟通。

作者：曹晓瑞

单位：河南省鹤壁市外国语中学      邮编：458030