灰色GM（2，1）模型在卷烟销量预测的应用

陈磊

摘要：为研究红塔集团卷烟销量变化趋势，本文通过运用灰色系统理论，以“玉溪”品牌卷烟2008年至2017年销量作为灰色数，将其变换为生成数，建立GM（2，1）模型，给出二阶微分方程，并对微分方程中任意常数进行求解，确定微分方程通解，使卷烟销量的灰色信息白化，利用模型给出现实数据的生成规律。同时，根据给出模型对10年基础数据的真实值与模拟值进行了对比和检验，确定模型精度等级，并对2018年的卷烟销量进行预测，评估模型的实用性。检验结果显示，实际模型的残差检验、绝对关联度检验和均方差检验精度等级分别为三级、一级和一级，为合格模型，可以用于预测卷烟销量，预测结果显示，利用2008年至2017年“玉溪”品牌销量数据使用GM（2，1）建模得到的2018年销量预测值为138.32万箱，而2018年的真实销量为140.77万箱，相对误差为1.74%，预测结果精度较高，因此使用灰色GM（2，1）二阶模型研究短期内卷烟销量变化趋势有较高的实用价值。在实际应用上，文中GM（2，1）时间响应函数中任意常数的估计方法并不是最好的，更精确的任意常数的估计方法以及模型建立的基础数据取值的个数对模型精度的影响有待进一步研究。

Abstract： In order to study the change trend of Hongta Group's cigarette sales， this paper uses the gray system theory and the cigarette sales of brand of "YuXi" from 2008 to 2017 to establish a GM（2，1） model ， gives a second-order differential equations and the general solution of differential equation， whiten the gray information of cigarette sales. At the same time， according to the given model， the true value and the simulated value of the 10-year basic data are compared and tested to determine the accuracy level of the model， and the sales volume of cigarettes in 2018 is predicted to evaluate the practicability of the model. The test results show that the actual model's residual test， absolute correlation test and mean square error test all qualified. It is a qualified model and can be used to predict cigarette sales. The forecast results show that the sales forecast value of 2018 is 138.32 million boxes based on GM （2，1） model， the actual sales volume is 140.77 million boxes， the relative error between true and simulated values is 1.74%. Therefore， it is of great practical value to study the change trend of cigarette sales in the short term by using grey GM （2，1） second-order model. In practical application， the method of estimating arbitrary constants in GM （2，1） time response function is not the best， the influence of the method of estimating arbitrary constants in time response function and the number of basic data on the accuracy of the model needs to be further studied.

關键词：灰色理论;预测模型;精度检验;卷烟销量

Key words： gray system;prediction model;accuracy test;cigarette sales

中图分类号：TP183                                      文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2020）06-0242-04

0  引言

影响卷烟销量的因素多而复杂，要能够准确地定量描述这些因素对于卷烟销量变化趋势的影响非常困难。对卷烟销量进行建模分析，可以为决策人针对卷烟销量的变化趋势而进行重要决策提供科学的依据。王伟民等[1]采用灰色马尔科夫模型对全国卷烟需求量进行预测，梁武超等[2]采用马尔科夫链模型对高端卷烟销量进行研究，但目前卷烟行业内并没有一个销量增长率的分类标准，马尔科夫链状态划分难度较大。武牧等[3]采用基于SVM的预测混合方法对市级卷烟销量进行研究，其模型理论体系复杂、门槛较高、不易上手。文中利用GM（2，1）模型建立需求数据个数少、数据形态要求低、计算简便、上手难度低、模型精度较高等优点，以红塔集团“玉溪”品牌卷烟年度销量数据为例进行建模分析，检验模型精度，在确保模型合格的情况下预测下一年度卷烟销量。

1  GM（2，1）模型的建立与求解原理

1.1 GM（2，1）模型

GM（2，1）模型是一个包含二阶方程和一个未知量的灰色模型，它通过用无明显规律的序列生成一组有明显指数规律的生成数来构建二阶微分方程，再利用二阶微分方程的通解来描述这一组生成数的变化规律，描述这种变化规律的过程称为白化，与GM（1，1）模型相比，GM（2，1）模型适用于非单调的摆动发展序列或具有饱和状态的S形序列，而GM（1，1）模型适用于具有较强指数发展规律的序列，只能描述数据单调的发展过程，因此，一般在序列变化复杂的情况下，使用GM（2，1）模型可以得到精度较高的预测结果。

1.2 模型的建立与求解

4  结论

①以历年卷烟销量为基础数据建立的灰色GM（2，1）模型，经过检验可知，模型精度较高，且预测结果误差较小，用于预测在复杂因素影响下的卷烟销量是可行的;②若以n个数据为基础数据建立模型，那么第n+1个数据的预测结果精度是最高的，因此，若要预测第n+2个数据，则应将n+1个数据为基础数据建立模型，以此类推，因此，灰色模型只适用于做短期预测;③建立灰色模型的基础数据要求至少为4个，但基础数据并不是越多越好，应在满足最少4个数据的前提下，选取与预测年或预测时间点最近的等距或等时数据为基础;④建模过程中我们使用过灰色模型的子模型如GM（1，1）模型[4]、灰色Verhulst模型[5]，GM（2，1）模型以及灰色马尔科夫链模型，其中GM（1，1）模型适用于具有较强指数规律的序列，只能描述数据单调变化的过程，灰色Verhulst模型[4]和GM（2，1）模型可以适用于非单调摆动的发展序列或具有饱和状态的S形序列，而卷烟销量的建模又以GM（2，1）模型精度最高，对于灰色马尔科夫链模型，其修正了灰色模型无法描述数据波动的缺点，将灰色模型精度提高到了一个较高的等级，但其难点在于对状态的划分，目前尚未发现关于马尔科夫链模型关于如何对状态划分才能保证模型的精度。因此，使用GM（2，1）模型做短期预测，其难度较低，简单高效的分析可以应用于各行业的数据建模。

参考文献：

[1]王伟民，汪沄，等.基于灰色马尔科夫模型的全国卷烟需求预测研究[J].中国烟草学报，2009，15（6）：66-69.

[2]梁武超.基于Markov模型的中国高端卷烟产品销量预测研究[J].价值工程，2012，31（29）：135-137.

[3]武牧，林慧苹，等.一种基于支持向量机的卷煙销量预测方法[J].烟草科技，2016，49（2）：87-91.

[4]蒋慧峰.一种新的改进GM（1，1）模型及其应用[J].湖北工业大学学报，2011，26（5）：99-102.

[5]许大宏.灰色Verhulst模型在短时交通流预测中的应用[J].计算机时代，2011（2）：51-53，56.