解析几何教学内容的相对独立性以及与其他课程的融合性初探

范晓冬 纪思南

摘   要：目前本科數学专业的解析几何课程教学内容基本上沿用我国二十世纪七八十年代出版的教材内容。近年来，在教学实践中，教学内容陈旧已经成为影响教学质量的严重问题。以往的教学内容，只注重解析几何课程本身，而忽略了其与其他课程的融合性和贯通性。总结近几年的解析几何教学经验，文章对教学内容做了适当的调整，删减了与其他课程的重复内容，增加了与其他课程融合的知识点，并在教学方法和教学手段方面做了相应的改革，取得了良好的教学效果。

关键词：解析几何;教学内容;独立性;融合性

解析几何、数学分析与高等代数一起构成大学数学专业的基础核心课程。该课程的思想方法在研究数学及其他自然科学时具有方法论的作用。学习解析几何是学生学习数学分析、高等几何、微分几何及拓扑学等课程的基础，也是对中学几何知识的深入与提升，其重要性不言而喻。然而，解析几何课程教学内容较为陈旧，多数教材只是知识点的罗列，只注重课程内部的独立性，而忽略了知识点的历史背景以及与其他课程的融合性，与前瞻和后续课程在内容上衔接不够紧密。且其对高等几何和微分几何课程的支撑作用发挥得不够顺畅。因此，在教学上不可避免地只集中具体的知识点讲解，并未兼顾与其他课程在思想和方法上的联系，不利于学生对知识的融会贯通。基于此，教学方法仅限于机械地“填鸭”，致使学生感觉学习比较枯燥，从而丧失学习兴趣，导致教学效果下降。此外，目前多数高校在研究生初试考试中仅考察数学分析和高等代数两门课程，而解析几何在复试中进行，这也在一定程度上反映了上述问题的严重性。因此，研究团队主张在教学内容上加入知识点的人文背景，讲授定义、定理的来龙去脉。同时去除一些主要定理的推论和变形，以精炼教学内容。其主要的指导思想是不追求知识的宽度，而是加强重要知识点精讲。

1    教学内容的融合性

1.1  知识点的融合性

高等代数的方法为学习解析几何提供了强有力的工具，因此，确定解析几何的独立性，需要从几何体系的整体性、连续性以及从服务于基础教学的实际出发，将高等代数与解析几何同时进行探究处理。通过用近现代的数学思想及数学语言，而不是以传统的几何学来审视现代的几何学，从而为处理几何内容提供有力的工具。在探究解析几何时，需侧重解析几何与经典几何、线性代数的有机结合和相互渗透[1]。通过对传统内容的精炼、融合和体会，增强同线性代数实质内容和形式的密切联系。因此，在讲授解析几何时，在应用代数工具的同时，要注重几何为代数提供的直观诠释。

1.2  教学内容与教学方法的融合性

在学习中需要不断更新知识，既要掌握现有知识，又要掌握其发展规律，在此形势下，体现出了教学改革的紧迫性。以改革教学的内容和方法为起始点，进而逐步进行全面的教学改革。改革最为重要的部分是教学内容，因为其是教学活动的基础，教学活动的目的就是将教学内容传授给学生。如何将知识点精炼，使讲解深入浅出是教学方法改革核心。力争做到教学内容与教学方法互相渗透、相得益彰，解析几何课程改革是一项系统的任务。

1.3  基本思想和方法的融合性

解析几何的基本思想决定了其基本研究方法。在教学中，应注重基本思想和方法的相互促进作用。例如，由解析几何直观问题到代数化，从而转到代数形式，通过代数计算，得到代数结果，再由代数方程到解析几何直观图形的研究方法等[2]。若要合理地统筹解析几何各章节的内容，就要领会这些思想和方法，抓住改革的关键。

2    在几何学科背景下推进教学内容改革

2.1  结合后续几何课程确定教学内容

在教学实践中，不再像以前那样独立地看待解析几何这门课程。解析几何历来强调两个功能：作为初等数学到高等数学过渡的桥梁及代数与几何综合性的桥梁学科。基于此，虽各有差异，但本质不变。首先，从中学阶段的几何教学内容出发，保证解析几何课程的内容和中学几何教学内容的连贯性。其次，从高等数学教育出发，教学内容应能够培养高校学生系统的空间几何概念、提高学生的空间想象能力、促进学生掌握系统的几何理论，以此才能够提高学生的几何修养。研究团队认真研究了解析几何、高等几何、微分几何等几何课程的教学内容，将其整合、呼应和优化，从而比较系统地界定了解析几何课程的内容[3]。同时增加几何概论课程相关内容，促进学生对现代几何学概貌性了解。教学内容的指定务必注重学生实际情况的分析，从实际情况出发，制定贴合实际的教学内容，保证教学内容引起学生兴趣。例如，讨论欧氏几何与仿射几何、射影几何的区别、联系和传承等内容。

2.2  对研究方法相同的内容优化整合

教学的目的在于传授解决问题的方法。对研究方法相同的教学内容进行大幅度的删减，选取具有代表性的且能体现基本方法的经典知识点予以保留，并增加该知识点的人文背景，以加深学生对其的理解，例如，在二次曲面的教学中，对柱面、锥面、旋转曲面等知识点进行内容精炼。旋转曲面与柱面锥面产生曲面的方法相同，从而研究方法也近似。教学内容整合，有利于集中教学精力重点传授思想和方法，提高教学效率[4]。

2.3  系统精炼知识点

教师在备课过程中不能拘泥于教材，更不能全部照搬教材的说法，因为有些平面解析几何的内容可以挖掘更深，部分解法还可以更简易。例如二次曲线理论中的中心、切线、渐近线等知识都在处理以上说法。不仅要删减重复的内容，而且要合理设计，尽量采用高等几何的观点。实际教学中着重研究了内容的整合，淡化了复杂的讨论过程，寻求更简洁的思路来处理教材。

2.4  关联矢量知识点

解析几何的精髓是用代数方法把几何问题定量化，也就是从形到数的一个统一，这其中要使用的重要工具就是矢量，因此矢量代数的引入和坐标的建立必不可少，所以在处理教材时应把矢量和坐标作为全书的工具和基础，要求精讲、细讲和重点讲[5]。

3    贯彻系统性思想进行教学方法改革

3.1  启发思维教学法

启发式教学法是在授课时给学生一定的想象空间，让其带着问题思考，挑战其思维底线。这种方法在分析和解决问题的同时，能够提升学生的创造力。教学内容上可以选取研究方法相同或数学思想相同的内容，先全面细致地讲解主要知识点，然后采用启发法，将剩余内容交给学生在适当时间探讨，让学生自主完成知识建构[6]。

3.2  自我创新教学法

引导学生采用创新式方法去学习各种知识，以学生为主体，鼓励其主动探究知识，形成自我认知体系，并能够在深入理解的基础上形成自己的认识和创新结构。在教学过程中，教师要注重基本方法和数学思想内涵的渗透，引导学生自我创新学习[7]。

3.3  围绕问题趣味性教学法

教学过程中紧紧围绕學生兴趣点展开，提出诸多有探索性、动手操作性强、能够激发学习热情的几何问题，使学生通过自我认知来感受数学的美。在课堂实践中，鼓励学生多做、多想，将理论与图形拟合在一起，培养其发现问题和解决问题的独立自主能力[8]。在自主探究问题时，教师适当插入相关的数学典故和历史，并恰当讲授相关知识点的应用，让学生了解所授知识的“来龙去脉”，缓解学生压力，开阔其眼界，激发学生的求知欲、探索精神和学习几何的兴趣，使学生自主地提出问题、探究问题并解决问题，以使学生对知识的认识不断升华。

3.4  探究与理解相结合教学法

对于教师的授课内容，学生习惯于理解和接受的学习方式，即在新知识与已有的认知结构之间建立起一种非人为的、实质性的联系。而探究式是从数学问题或数学课题出发，激发学生主动去思考问题的解决方案，不一定要求结果正确，主要目的是要突出学习过程[9]。布鲁纳说过，知识学习强调的是过程而非结果。故此，探究式学习法必须以基础知识和基本技能的掌握为前提，将接受式学习和探究式学习结合，二者应该优势互补，不可偏废。开展研究性教学，为学生创造探究的环境，培养和增强创新意识、提高整理信息和处理信息的能力，探索数学现象的内在规律等。

4    渗透数学史与数学实验的教学手段改革

数学史对数学教学有着积极的作用，将数学史融入教学过程是本研究团队近年来研究的一个重要课题。数学史融入大学数学教育已有许多研究，但融入解析几何的案例并不多，如何将之融入教学过程、如何具体实施，仍有很大的探讨空间。教研组在授课中尝试将数学家的名人趣事和数学贡献匹配交代给学生。比如讲毕达哥拉斯时与勾股定理进行联系、讲笛卡尔时密切关联解析几何的诞生、海伦对三角形面积公式的完善、伯努利兄弟如何提出最速下降线的故事等。充分应用Maple，Matlab等数学与计算软件建立几何直观图形。图形教学在数学教学中是必不可少的，尤其在空间解析几何的教学中，建立空间概念，研究各种空间曲面，建立各种方程都缺少不了图形。为了引导学生自己编写简单的程序，来实现解析几何问题的自动运算，在相关教学内容后，安排数学实验内容，以Maple软件为基础平台，来完成几何图形的制作和演示[10]。自己绘制出几何图形，会激发学生的求知欲，既锻炼了学生的实践能力，又在一定程度上提高了教学效果。相比传统的只用笔和纸来学习数学的单调模式，动手实践学习数学的模式更生动有趣。

5    改革成效

充分考虑解析几何教学内容的相对独立性以及与其他课程的连贯性、融合性，是研究团队在总结历年教学经验的基础上得到的一致共识。近年来，解析几何教学内容陈旧已经成为一个突出的问题。课程内容改革以后，注重与其他课程的衔接与融合，剔除重复内容，加强特色内容的讲解，突出了解析几何课程的重点，又避免了多门课程重复同一个概念，在实质上提高了教学效率。同时，在教学内容上增加了与其他课程衔接的内容，便于学生融会贯通，加深对知识点的理解。另外，对学生渗透数学史知识可以提高学生的数学素养和学习兴趣，也促进了学生对知识点的掌握。在课堂教学中引入数学实验，增加教学内容直观性的同时还可以调动学生的积极性和主动性。课堂上互动的增加可以提升作业完成的质量。数学软件的操作可以培养学生的创新意识、动手能力和团队合作精神。这些体现在课堂气氛要比改革前活跃，同时考试成绩平均分也提高了5个百分点。

[参考文献]

[1]施良方.课程理论[M].北京：教育科学出版社，2001.

[2]吕林根.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1987.

[3]钟启泉.现代课程论[M].上海：上海教育出版社，2003.

[4]胡丰华，周小燕.提高空间解析几何教学质量的探索[J].浙江科技学院学报，2007（1）：60-63.

[5]萧树铁.高等数学改革研究报告[M].北京：高等教育出版社，2000.

[6]张奠宙.数学教育学导论[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]朱德祥.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1987.

[8]张会明，何东林.浅谈现代教育技术在《空间解析几何》教学中的应用[J].甘肃科技纵横，2010（1）：187-188.

[9]十三院校.中学数学教材教法总论[M].北京：人民教育出版社，1980.

[10]居余马.线性代数[M].北京：清华大学出版社，1998.