思维暴露 培育学生解题素养的一种共享方式

沈利梅

摘 要：数学教学的根本目的在于培养学生的思维能力。教学时，教师要舍得留给学生思考的时间，要知道学生“怎么想”。教师要鼓励学生独立思考，形成自己对题目的认识和思维方向，不要急于把正确的思路和方法直接告知学生。

关键词：暴露;反思;共享

中图分类号：G633.6          文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2020）01-097-1

一、问题的提出

苏州市2018～2019学年第一学期高二期末试卷第18题（以下简称“a题”）：光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2（k1，k2均为正常数）。如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上（不含A，B）。若物体P到光源A的距离为x。

（1）试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域;

（2）当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？

本题是由苏教版选修22第36页例4改编（以下简称“b题”）：强度分别为a，b的两个光源A，B间的距离为d，试问：在连结两光源的线段AB上，何处照度最小？试就a=8，b=1，d=3时回答上述问题。（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）

期末复习时还非常幸运地做到这样一题（以下简称“c题”）：烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，据环保部门测定，地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，某乡境内有两个烟囱A，B相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A的8倍，该乡要在两座烟囱连线上一点C处建一小学，请确定该小学的位置，使得烟尘浓度最低。

第18题（满分16分，第1问6分，第2问10分）具体得分却让所有的老师大跌眼镜：

从表格我们不难发现，期末详细讲评c题的班级（5，11，15三个班）还是有效果的，分数相对较高，但是也未能达到教师的期望。特别是11班，教师上课详细、认真地讲评了c题，还有18位同学（全班49人）得零分。这不得不引起我们的思考：我们教师每天讲评的知识有多少让学生接受了？数学课堂應该如何达到师生共赢？

二、原因分析——以a，b，c三题为例

从上表我们可以看到a题第1问学生的得分比较低。全年级参加考试同学692人，其中372人第1问零分（整题也是零分），304人满分（6分）。我们来看一下a题与b、c两题在第1问上的区别：a题中“光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2（k1，k2均为正常数）”，它对正比例系数和反比例系数都明确规定，而b题“照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比”与c题“与地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比”都没有明确指明正、反比例的系数。而不论课本上还是复习卷提供的答案中，都采用省略的写法“其中k为比例系数”，把两个系数合二为一。教师在讲评时（不论是一次讲评还是两次讲评）都采用了这样的设系数方法，但是实际表明学生对初中就学习过的正比例和反比例的掌握还是不够的，教师对学生的学情了解也是不够的，这才导致学生在考试时对k1，k2的位置摆放不正确，（很多学生把k2放在分母上了）。

第2问的得分也只有1.8分（满分10分）。如果只计算第1问304位满分的同学，第2问的得分也只有4.05分。第2问考察运用导数求函数的最值问题，这是导数知识的重点，平时教学时肯定非常重视的，学生也是练习较多的，那么问题又出现在哪里呢？第1问得到的函数是y=k1k2[8x2+1（10-x）2]，对它的求导，涉及了复合函数。因为文科班和艺术班的同学不用掌握复合函数相关知识（江苏高考要求），所以理科班在复合函数相关知识教学上比较粗糙。不少理科同学把导函数中间的加号写成了减号，这正是复合函数的导数知识出现了问题。文科生和艺术生则可以把后面部分看成是1100-2x+x2，再用商的求导方法进行下面的步骤。导函数中的第二个等号是化简，是对立方差形式的整理，有些复杂。但是导致304位第1问满分的同学中有116位同学第2问零分的主要责任人还是我们教师。多数教师在处理b题时没有事先让学生“摸石子过河”，没能及时发现学生在计算上的薄弱之处。

三、反思

《普通高中数学课程标准》提出“在教学实践中，要不断探索和创新教学方式，不仅重视如何教，更要重视如何学，引导学生会学数学，养成良好的学习习惯;要努力激发学生数学学习的兴趣，促使更多的学生热爱数学。”高中数学课堂需要我们以学生为主体，以发展学生的思维、提高学生的能力为目标。如何改进现有的较为低效的习题课教学方法呢？

1.暴露思维过程：共享“怎么错”。

习题课教学不能总是停留在欣赏正确的讲授与解读、满足于题型套路的归纳与总结、沉醉于技巧方法的展示与炫耀等。这样的课堂看似完美、到位，但是实际上学生在解题过程中暴露的思维障碍、易错点等没有得到有效的改善，下次遇到类似知识点的考查时依然不能突破。在教学中可以充分暴露学生的不恰当思维，把学生可能出现的错误、不当、复杂的思维方法加以分析、研究、优化，和学生共享错误是为了避免错误方法再次发生。

2.暴露思维误区：共享“怎么做”。

学生对某道题（或者某类题）可以有自己独特的思维，但是好的解题思路与方法的推广也是必不可缺的。我们要重视对学生思维的修正，需要指导学生用新知识、新方法武装自己，用更优秀的解法解决下次的问题。和学生共享“怎么做”，是对学生思维的整合和优化。

（作者单位：吴江中学，江苏 苏州215000）