弦角依存，圆中生辉——基于一节习题评讲课的探讨

江苏省盱眙中学 (211700) 王 尧

习题课是高中数学教学重要的一个环节，如何上好一节习题课，是广大数学教师们关注的热点和难点问题.佛赖登塔尔的教育理论认为：数学教育的方法的核心是学生的“再创造”，教师不应该把数学当作一个已经完成了的形式理论来教，不应该将各种定义、方法灌输给学生，而应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中用自己的体验，用自己的思维方式，重新“创造”数学知识[1].数学应该教什么？教知识、教方法、更重要的是在情境中体会知识的生成发展过程，让数学核心素养的提升在平时的课堂教学中生根开花，在课堂中，让学生运用感知，联想，类比，演绎等等数学方法，去突破重难点，提升学生数学学习中的分析问题和解决问题的能力，并且能够在此基础上发现问题.为此笔者以一节直线与圆位置关系中的一节习题讲评课出发，来探讨习题课要讲什么，如何讲，知识的生长点在哪？知识的新的生成点又如何产生？

图1

1.问题的提出

如图1，圆M:(x-2)2+y2=1,点P(-1,t)为直线l:x=-1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A,B，求|AB|的最小值.

1.1 师生探讨，共谋思路

生1：猜测法，圆M关于x轴对称，直线l垂直于x轴，所以猜测当P点运动到x轴上时，|AB|最小.

师：这个方法猜的很好，利用图形的特点，寻找其特殊位置，除此之外，猜测法还具有哪些特点呢？除了从P点的整个动态过程中发现结果，那么还能选择怎样代数方法来解决问题呢？

图2

师：回答的非常好，能够想到构造函数，进而表示出AD，利用函数的性质解决最值问题.

追问1：上述方法选择构造函数的变量是什么？还有其他选择变量的方法吗？

设计意图:突出学生解决题目的主线，并对比思考是否还有其它的方法，引发学生学习的热情.

师：他选择了PM作为变量，简化了过程，很好.

追问2：为什么可以选择PM变量描述AB？

设计意图:情境中，追问下，给学生思想以撞击，为什么选择这个变量，激发学生自主探究知识的兴趣，在内驱动力下，感悟原因，为下面探讨问题的本质做铺垫.

此时有学生举手，过程还可以更简洁.

师：利用圆心角和弦长的关系，问题转化到角的变化；

师：简化过程，以角为变量，构建三角函数关系.

师：非常完美，能够想到利用圆中弦长的特征三角形，选取d作为变量，去构建AB的函数关系，进而求取AB的最值；

追问3：观察大家几种做法，解题目的是什么？

追问4：为什么能想到设取这么多类型的变量？还可以从哪些角度去刻画弦长的变化呢？

设计意图:追本溯源，思考问题的本质，探究动态模型变化中的数学问题，引出下面更一般的模型，有助于学生更好的去理解问题，理解模型本质.

1.2 抓住数学本质，开拓解题视野

图3

如图3,定圆O中一条动弦AB，

问1：AB弦长的范围？

问2：可以从哪些角度刻画AB的动？

生3：弦长AB所对的圆心角，或者ΔOAB中的角，构建三角函数.

生4：还可以用的ΔOAB面积和周长，还有弦长AB所对的弧长.

(此时有学生突然站起来回答)

生5：还可以用AB所对的圆周角表示，借助圆形作为三角形的外接圆解决；

图4

(还没讲完，已经有学生鼓掌)

师：此种思路脱离弦长的概念束缚，挖掘其定的特点，构建圆中的内接三角形，弦长变为三角形的边长，非常好的想法.

小结:紧扣住题目的解决方式，构建函数关系，从选择变量的角度出发，利用图形的动态特点，从动的角度，探究其动的原因，进而牢牢抓住动因选择合适的变量解决问题，

从文章开头的题目的背景看，P点、切线PA,PB，切点A、B，直线AB，角度，长度等等均可以决定或者影响弦长的变化，以形驭数、以数释形，顿时豁然开朗.

课堂中的新知识点，在学生的积极思考下产生了，学生在此模型背景中，经历了知识的产生变化的过程，并且能够创造出新的思路，课堂的活跃，思维的转动，课堂生态的自然由此可见一斑.

2.再现经典例题，提升数学素养

例已知圆C:x2+y2=4，过点B(0,1)的直线l与圆C交于M,N两点，求线段MN长度的最小值.

法1:选k作为参数表示MN.

(1)k不存在时,MN=4；

图5

3.变式突破难点，串讲提升思维

变式1已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1，0),若l1与圆C相交于P,Q两点，求ΔCPQ面积的最大值？

变式2 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,相互垂直直线l1,l2,且相交于点A(1，0)，且l1,l2分别交圆于P,Q和M,N，求四边形PQNM面积的最大值？

变式3 已知圆C：x2+y2=4，圆C上任意一点P点，过点作两条夹角为60°的直线，分别交圆于A,B两点，求PA2+PB2的取值范围？

4.总结方法理论，反思感悟提升

4.1 总结方法理论

(1)题目背后的本质是问题情境的表达，在情境中体验知识的生成发展的过程，教师在课堂中，设计恰当的学生活动及追问设问，激发学生主动思考问题的兴趣.

(2)以变式的引领，融合学生经验、理解和反思，并且不断的提高，所以在习题课中，教师不仅仅关注学生知识技能的理解掌握，更要关注他们情感与态度的形成和发展，既要关注数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展，以题目为背景，问题为载体，激发学生主动学习探究数学的兴趣.

(3)教师在具体的教学中，结合具体的教学过程和问题情境，引导学生思考问题的本质，从而在交流合作质疑中提高对问题本质的认识，引导学生分析问题解决问题，并以此能够提出新的问题，对旧知的理解，在此基础上，产生新的知识的生长点，从而形成思维的碰撞，螺旋式提升学生的思维能力，加深学生自己对问题的理解，掌握以及发展，课堂中为学生搭建逻辑思维的平台，把数学的学术形态转化为学生易于接受的的教育形态，在冰冷的美丽与火热的思考中寻找平衡点[1].

4.2 几点感悟及建议

(1)问题角度分析：数学的灵魂是问题，设置有效的问题串，在发展中对比优化方法思路，从而发散学生的思维，拓宽学生的思维水平，提升思维层次；多种思路方法的背后应解决如何才能想到这些思路，教学生如何去思考问题，能引导学生总结出相关有效通法并且能够在新的情境中能够解决类似的问题，从而能够深刻理解问题的本质，举一反三，融会贯通.

(2)学生角度分析：在习题讲评课中，教师在注重学生的解题能力培养的同时，更应注重学生数学学科素养的培养养成，以思想方法为灵魂，引导学生不断探究新知，在师生互动中对于一题多解、一题多思问题，要注意其思维的发展，不能简单的扼杀学生提出的想法，要善于保护和激发，做好学生深度学习的护航员.

(3)教学角度分析：教师要不断的思考学习研究题目之间的联系，加强自身修养，对数学的方法理论理解深刻，习题课教学需要不断的深化，题目的背后蕴含着数学思想方法，以此能够揭示问题的本质，发展学生的思维，促进学生在体验中收获成长[2].