利用时频分析频率重心的跳频周期估计方法

孙慧贤，刘广凯，张玉华，全厚德，唐友喜

(1.陆军工程大学电子与光学工程系，河北 石家庄 050003；2.电子科技大学通信抗干扰国家级重点实验室，四川 成都 611731)

0 引言

跳频通信由于其优良的低截获概率和抗干扰性，在军事通信对抗领域得到广泛应用。其中，跳频信号的参数估计，尤其是跳周期估计已成为研究的重点[1]。

跳频信号属于典型的非平稳信号，国内外学者大多采用时频分析方法得到清晰的时频图后，再估计其跳频参数。时频分析方法主要包括以短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform, STFT)、Gabor变换、小波变换和S变换等为代表的线性变换和以魏格纳威尔分布(Wigner-Ville Distribution, WVD)、伪WVD(Pseudo Wigner-Ville Distribution, PWVD)、平滑伪WVD(Smoothed Pseudo Wigner-Ville Distribution, SPWVD)及以Cohen类为核函数的Cohen类非线性变换，但两类分析方法存在聚集性和交叉项的矛盾。S.Barbarossa针对单一跳频信号，应用WVD时频分析方法得到时频图，以该窗内时频能量最大值处的频率作为该窗载频，并给出了跳频信号的跳周期、跳频率和跳时的估计方法，在频点较少时有很好的估计性能[2]。在此研究基础上，国内外众多学者为减弱WVD分布交叉项对信号参数估计的影响，采用PWVD、SPWVD和Cohen类等通过在时、频域平滑、加窗抑制非线性交叉项[3-7]。基于线性变换的时频分析方法能够完全消除交叉项的影响，文献[8—10]采用STFT和短时哈特莱变换(Short Time Hartley Transform, STHT)方法，但存在聚集性不高的问题。对于聚集性和交叉项的矛盾，部分学者采用组合时频分析[11-12]和重排时频分析[1,13]方法达到二者综合效果，但同时引入了计算量大的问题。在得到跳频信号时频图的基础上，大多采用该窗内的时频能量最大值所在频率作为该窗载频，对该载频序列进行快速傅里叶(Fast Fourier Transform, FFT)变换，得到跳周期估计值[3,9,12,16]；同时文献[1]指出针对慢跳频系统，以同一跳内不同窗的频率重心表征该窗的载波频率，平均其重心差值，得到跳周期的估计值。文献[7]通过1组带通滤波器将跳频信号的各个频率分量取出，分别计算每个信号分量的WVD，并将各WVD累加求和，得到新的时频分布和参数估值，其关键在于如何确定带通滤波器数并设计匹配各分量的带通滤波器。文献[15]针对接收到的多个未知任何先验参数的跳频信号，提出一种先分离各个信号再分别进行时频分析来估计跳频参数的方法。首先采用特征矩阵联合近似最优(JADE)算法分离跳频信号，再利用多窗口重叠的SPWVD来估计出跳频信号的跳周期等参数。

以上的时频分析针对的跳频信号模型都是理想的矩形跳频信号模型，但实际跳频信号的射频频谱不可避免的会受到基带信号影响。对于经升余弦滤波的跳频信号的跳周期估计，采用基于时频分析的能量最大值会遇到估计性能显著下降的问题[16]。文献[17]给出了包括基带信号在内的跳频信号模型，但并未深入分析基带信号频谱对跳频信号参数估计的影响。

针对传统方法对经过升余弦滤波后的跳频信号周期进行估计出现的性能下降问题，提出了利用时频分析频率重心的跳频周期估计方法，通过对比前后窗的频率重心差值与跳频率间隔，确定一跳内包含的时频窗数目；统计平均窗数目与每个窗时间长度的乘积，得到跳周期估计值。

1 跳频信号的时频分析

1.1 跳频信号模型

跳频信号是载波随机跳变的信号，其数学模型为：

(1)

式(1)中，S为跳频信号功率，TH为跳周期，Tr为跳周期的频率转换时间，T0为起跳时刻，fk为跳频瞬时频率，θ为跳频信号相位，gl(·)为经基带成型滤波之后的等效低通信号。

由式(1)可知，跳频信号的参数集为跳周期、频率转换时间、起跳时刻和瞬时频率，对跳频信号的参数估计，即是估计参数集{TH,Tr,fk,T0}，但TH的正确估计是其他参数估计的前提。同时，跳频信号的参数估计依赖于跳频信号的时频图，但跳频信号的时频图会不可避免的受到基带信号的频谱影响；因为跳频信号的射频频谱，只是将基带信号的频谱进行了射频搬移，其形状完全由基带信号的频谱形状决定，若不设法消除基带信号的频谱影响，只是以时频分析窗能量最大值处的频率值作为该窗的载频值，对未经信基带成型滤波的理想信号尚可，但可能无法正确估计经基带成型滤波之后的跳频信号。

1.2 跳频信号的基带频谱

目前跳频通信常用的基带成型滤波器为升余弦滤波器，其时域模型为：

(2)

式(2)中，B为基带信号带宽，α为升余弦滚降因子。

图1 理想基带信号与升余弦滤波后基带信号的时频域对比Fig.1 Comparison of the baseband signals between ideal baseband and raised cosine filtered signals

可以看出，经过升余弦滤波后，时域波形出现畸变，频谱旁瓣大幅度下降。这是因为升余弦滤波结构通过对时域波形的加权叠加，将前后码元关联起来，破坏了码元的独立性，使时域波形出现畸变，并且引入了码间串扰(Inter Symbol Interference, ISI)；以时域波形的串扰，换取减小理想矩形滤波旁瓣能量过大的问题。对于理想矩形信号，其频谱能量集中于零频(对射频信号而言，集中于载频)，所以文献[1—16]得到的时频图为山峰状(三维)或等高线状(二维)，能够以时频窗内能量最大值所在频率表征该窗载频；但实际跳频信号必然会经过基带成型滤波，经升余弦滤波后，基带频谱变得平坦，使得通带内能量最大值处不一定能对准零频(对射频信号而言，不一定能对准载频)，所以针对升余弦滤波后的跳频信号，文献[3,9,12,16]中通过对时频能量最大值所在频率做FFT得到跳周期估计值的方法性能会大幅度下降。

1.3 时频分析方法

跳频信号是典型的非平稳信号，对于跳频信号的频谱，应同时从时域和频域观察；时频分析能够从时间和频率两个方面同时观测信号的能量密度大小，以及它们随着时间和频率的变化；所以时频分析作为跳频信号的分析工具越来越重要，下面简单介绍常用的时频分析方法。

1) 短时傅里叶变换

STFT的基本思想是在传统傅立叶变换的框架中，把非平稳信号看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性则通过时域上的加窗来实现，并通过平移参数来覆盖整个时域。其定义为：

(3)

式(3)中，h*(·)为窗函数的共轭。STFT的含义可解释为：在时域用窗函数h*(·)截取信号s(t)，对截取结果进行FFT，即可得到在t时刻该段信号的频谱情况；不断地移动窗函数h*(·)的中心位置，即可得到不同时该的频谱值；这些频谱值集合，即是STFT(t,f)。

2) Cohen类时频分析

Cohen类时频分析把众多二次时频分布统一成一种形式，可改善STFT等线性时频分析方法的时频聚集性，其定义为：

(4)

式(4)中，φ(ν,τ)为分布的核函数。

核函数φ(ν,τ)决定了Cohen分布可能的形式及时频分析的性能；当φ(ν,τ)=1时，Cohen分布变成WVD分布；当φ(ν,τ)=h(ν)时，h(ν)为平滑窗函数，此时Cohen分布变成PWVD分布，即未加窗的WVD和窗函数在频域的卷积；当φ(ν,τ)=h(ν)l(τ)时，相当于WVD在时域和频域同时做平滑滤波，变为SPWVD分布。

因为Cohen类时频分析采用二次非线性变换，在改善聚集性的同时引入了交叉项干扰，如何选择性能更优的核函数是减弱Cohen类时频分析交叉项影响的重点。

3) 性能对比

以信息熵为指标，可以定量分析了几种时频分析的聚集性和交叉项性能，如表1所示。表1中，N为分析时段内的采样点数，H，G为相应的窗长度。

由表可知STFT的熵值最大，其聚集性相对较差；对于WVD，PWVD和SPWVD等时频分析方法，由于增加了时、频域滤波等相关处理，提高了其时频聚集性。

表1 几种时频分析的信息熵Tab.1 Information entropy of time-frequency analysis

同时较好的时频分析通常会消耗更多的运算量，各种时频分析的运算量比较，如表2所示。

表2 几种时频分析的运算量比较Tab.2 Comparison of the computation of several time-frequency analysis methods

表2中，N，H和P定义与表1一致。由表可知，对于相同长度的采样点数和时频窗长，WVD的运算量最小，但其交叉项干扰较大，当跳频频点和信号数量较多时，不能得到清晰的时频图。STFT的运算量相对较小，经过增大时频分析窗长度，可得到聚集性较好的时频图。同时对于跳频信号，需要在一个跳周期时间内完成信号的时频分析和参数估计等操作，运算量是主要考虑因素，所以运算量较小的STFT方法应用较多。

2 跳周期估计算法

对于经升余弦等基带成型滤波的跳频信号，其中心载频处的时频能量值不一定最大，故而以时频窗内能量最大值所在频率可能无法表征该窗的真实载频，提出以时频分析的频率重心表征该窗的载频值；通过对比前后窗的频率重心差值与跳频率间隔，确定一跳内包含的时频窗数目；统计平均窗数目与每个窗时间长度的乘积，得到跳周期估计值。利用时频分析频率重心的跳频周期估计步骤如下：

2) 借鉴平面重心公式，计算第n个时频分析窗的频率重心：

(5)

3) 计算前后两个窗的频率重心差值：

(6)

4)计算一跳内包含的时频分析窗数目Nh：

(7)

式(7)中，ΔF为跳频率间隔。该式意义为若相邻时频窗的频率重心差值Δfn-1小于跳频率间隔ΔF，则此相邻窗处在同一跳周期内；反之，出现了频率跳变。

5) 统计平均Nh与窗时间长度T的乘积，得到跳周期估计值：

(8)

3 仿真实验与分析

为验证跳周期估计算法的正确性，利用Simulink软件进行仿真实验，其仿真参数如表3所示。

表3 跳周期估计实验仿真参数Tab.3 Simulation parameters of TH estimation experiment

1) 频率重心法与能量最大值法性能对比

针对升余弦滤波后的跳频信号，通过仿真实验对比频率重心法与能量最大值法的性能。两种方法对升余弦滤波后跳频信号的时频分析结果如图2所示。

如图2所示，对升余弦滤波后的跳频信号而言，频率重心法比能量最大值法有更好的时频聚焦性。这是因为升余弦滤波后，基带信号频谱变得平坦，时频能量最大值处不一定能对准该窗的载频，所以出现图2(b)的频率发散结果；频率重心法以该窗内的频率重心所在载频作为该窗的载频，可以减弱频谱扩展和平坦带来的影响。对频率重心法而言，由于统计因素也会出现个别窗的重心计算偏差，但该偏差远远小于跳频率间隔，在载频判断时可以归为一跳信号，不影响后续的跳周期TH估计，同时从频率重心所在处的时频能量值也可看出，重心所在载频并不是能量最大值所在载频处，也证明了应用频率重心法比能量最大值法更适合于分析升余弦滤波后的跳频信号。

图2 两种方法对升余弦滤波跳频信号的时频分析结果Fig.2 Time-frequency analysis results of frequency hopping signal by two methods

2) 不同时频分析方法下跳周期估计性能对比

通过仿真实验，分析采用STFT时频能量、WVD和SPWVD三种方法对跳频信号进行时频分析。实验用的跳频信号由伪随机序列生成，采用随机选取间隔作为一次跳频信号的起点，共选100组信号进行实验，然后利用频率重心法估计跳周期，分析三种方法的性能，不同时频分析方法得出的跳频周几估值归一化方差结果如图3所示。

图3 不同时频分析估计方法的TH估计性能对比Fig.3 TH estimation performance comparison of the different estimation methods

从图3中可以看出，给出了不同信噪比条件下应用三种时频分析方法进行估计的跳周期归一化方差。可以看出，当SNR较小时，基于STFT的频率重心法估计性能较好，在SNR较大时，基于WVD和SPWVD的频率重心法估计性能较好。

以跳频周期的5%作为阈值，对估计结果进行准确定度量，即估计值与真实值的偏差小于实际周期的5%则判为正确，否则为错误，统计SNR为0，5，10三种不同信噪比下的估计正确的次数，共900组仿真实验的结果如表4所示。

表4 不同方法不同信噪比条件下估计结果Tab.4 Estimation results under different methods and SNR conditions

结合上述仿真结果进行分析可知，利用时频分析频率重心的跳频周期估计性能主要受到三个因素制约：一是噪声干扰频率重心的正确位置，二是时频分析的交叉项，三是时频分析的聚集性。在SNR较小时，前两个是主要影响因素，而对于STFT不受交叉项干扰影响，此时其估计性能较好；而SPWVD通过时、频域加窗，消除了部分交叉项干扰，此时其估计性能次之；而WVD方法交叉项干扰严重，此时其估计性能较差。当SNR较大时，后两个是主要影响因素，并且在SNR充分大后，与噪声的交叉项干扰可忽略，此时估计性能主要是时频聚集性影响，并达到时频聚集性的极限界；STFT的时频聚集性无法达到测不准原理的性能界，二次时频分析如WVD和SPWVD可以达到该性能界，所以在SNR较大时，基于STFT频率重心的估计性能差于基于WVD和SPWVD频率重心的估计性能。

3) 不同时频分析估计方法的运算开销

分析第2节的算法步骤可知，对于不同的利用时频分析频率重心的跳频周期估计算法，在得到时频分析结果之后的运算开销是一样，都经过了H次乘法，H+3N/H次加法。能量最大法的运算开销是在时频分析的结果之后，直接查询时频窗内能量最大值所在的频率。因此，能量最大法的运算量比频率重心法的小。

不同时频分析估计方法的运算量不同，主要取决于各种时频分析的运算量不同。由表2可知，WVD的运算量要远远小于SPWVD的运算量，对于慢跳频系统(时频窗内采样点数小于跳周期内采样点数[1])，跳周期的采样点数N大于时频窗的采样点数H，所以对于STFT的运算量远远小于WVD，这是因为为保证慢跳频系统的时间分辨率，H要远远小于N。所以对于跳速快的慢跳频系统，基于STFT的频率重心估计跳周期更加适用。

4 结论

本文提出了一种利用时频分析频率重心的跳频周期估计方法，该方法消除了基带成型滤波对跳频信号的频谱扩展和平坦的影响，以某时频分析窗内的频率重心表征该窗的载频，避免了能量最大值对于基带成型滤波的载频估计发散问题，得到了较好的估计性能。仿真实验表明，频率重心法比能量最大值法更适合于分析升余弦滤波后的跳频信号。本文所提算法和结论为经基带成型滤波的跳频信号及实际跳频信号的参数估计提供了参考和借鉴。