因子图发展及其在定位与导航的应用技术

周雅婧, 曾庆化, 2, 3, 刘建业, 2, 3, 孙克诚

(1. 南京航空航天大学 导航研究中心,江苏 南京 211106;2.先进飞行器导航、控制与健康管理工业和信息化部重点实验室,江苏 南京 211106;3. 卫星通信与导航江苏高校协同创新中心,江苏 南京 210016)

0 引 言

图模型是一种可用于描述自然界和人类社会中的多个事物之间关系的可见模型,采用图模型以及图论对各种系统特别是复杂系统进行分析是一种有效而直观的方法．因子图是图模型中的一种,用于表示函数的因式分解[1]．在复杂系统中,系统建模与计算时需要处理具有大量不同变量的复杂全局函数,因此,将全局函数进行因式分解,并改写成多个简单局部函数的乘积,直观地表示哪些变量属于哪些局部函数,提高计算效率．和-积算法是因子图的消息传递规则,该算法能够表示因子节点和变量节点之间传递的消息,是基于因子图模型的各种算法的基础．因子图作为一种图模型可以用来表示任何动态状态空间系统,能够清楚直观地表示系统状态量之间的信息传递关系．因此,因子图模型在统计推断、译码编码、消息传递、滤波平滑等方面都有所应用．

因子图理论起源于编码理论,1981年,Tanner[2]引入了一种二分图来描述Gallager提出的低密度奇偶校验LDPC代码的校验矩阵,称为“Tanner图”,并且还基于该图模型解释了表示消息传递的算法．从因子图的角度来看,编码的Tanner图表示代码的特征函数的特定因式分解．1995年,Wiberg等[3]扩展了Tanner图的定义,将迭代解码算法用广义Tanner图表示,并实现了基于改进Tanner图模型的Viterbi解码算法与BCJR解码．2001年,Kschischang等[4]在用于分析信道编码的Tanner图、Wiberg图等图模型的基础上做了一定的改进和推广,抽象并提炼出了因子图的概念与和-积算法．人工智能,信号处理和数字通信中开发的各种算法可以作为和-积算法的具体应用．Loeliger[5]详细地将卡尔曼滤波器与最小二乘法两种最优估计方法与基于因子图的和-积算法统一起来,通过因子图的模型描述了估计算法．

上述数学层面上的理论分析,建立了因子图建模及算法理论,为因子图理论在导航等实际问题上的应用奠定了基础．导航系统实际上是一个多变量的控制系统,通常以状态空间形式表示,所以导航系统也能够以因子图模型的形式进行建模．在用因子图的建模方法解算系统位置与姿态等导航信息时,组合导航系统的状态方程和观测方程可以用因子图形式表示,为此,研究导航状态量的计算与融合算法也就转换成了研究导航系统因子图上的信息传递方法．

本文在说明因子图基本数学理论的基础上,阐述了因子图算法在典型工程领域中的应用,说明了因子图在定位与导航系统中的算法,对因子图及其在导航系统中的应用进行了综述.

1 因子图基本理论

因子图是用来表示因式分解的二分图模型,二分图的特点是图的顶点能够划分为两个不相交集,使每一条边都分别连接两个不相交集中的节点,即图中的顶点可以分为两个不同的类型．因子图可以用来对各类系统进行建模,基于因子图建模的主要目的是将复杂的系统进行因式化分解．根据实际求解的问题,采用相应的因子图模型进行建模,可以提高解决问题的效率．当因子图的节点表示随机变量和概率分布时,因子图也是一种概率图模型,在导航上的应用也多为概率图．

1.1 因子图的一般模型

在因子图G=(F,X,E)里,包含两种类型的节点:一种是因子节点fi∈F,代表因式分解中的局部函数;一种是变量节点xj∈X,代表全局多元函数中的变量．边缘eij∈E,当且仅当因子图中变量节点xj是与之相应的因子节点fi的自变量时,它们之间存在一条连接边eij[6]．

因子图的构建有两种常用方式,如图1所示的学者Forney提出的因子图与如图2所示的学者Loeliger提出的因子图[1]．两种图都可以表示一个多元函数的因式分解,且两者的本质是一致的,仅仅是符号表示的方法不同．Forney式因子图的优点在于支持分层建模,兼容标准框图,Loeliger式因子图的优点在于方便转换为概率模型．图1与图2都表示了f(x1,x2,x3,x4)的因式分解,可分解为3个因式乘积的形式,即

f(x1,x2,x3,x4)=f1(x1,x2,x3)×

f2(x3,x4)×f3(x4).

(1)

式中:f(x1,x2,x3,x4)表示全局函数;f1(x1,x2,x3)、f2(x3,x4)、f3(x4)表示局部函数.

图1 Forney式因子图示例

图2 Loeliger式因子图示例

从两种因子图中可以总结出,每个因子图都是由节点和边组成的,每个局部函数都可以由唯一的一个因子节点表示;每个变量由唯一的一个变量节点表示;当某一个局部函数与某一个变量相关时,相应的因子节点与变量节点通过边相连．

1.2 概率图与因子图模型

概率图模型是应用因子图模型解决工程问题时最为常见的模型．概率图模型是一种以图模型表示变量概率依存关系的理论,它是对复杂不确定性问题进行建模和计算的重要工具之一[7],概率图被广泛应用于需要进行概率推理的场合[8]．基本的概率图一般可以分为两个类别:贝叶斯网络和马尔可夫随机场．贝叶斯网络采用有向图来表达因果关系,马尔可夫随机场则采用无向图来表达变量间的相互作用．

与贝叶斯网络与马尔科夫随机场不同,因子图是从变量全局函数分解的角度考虑,是一种更为精细的模型表示方法,借助因子图的概念可以实现多类模型表示方法上的统一．换而言之,贝叶斯网络与马尔科夫随机场都能与因子图相互转换．举例来说,令g(x1,x2,x3,x4,x5)表示一组随机变量的联合概率密度函数,其可以分解成式(2)的形式:

g(x1,x2,x3,x4,x5)=g1(x1)×g2(x2)×

g3(x3|x1,x2)×

g4(x4|x3)×

g5(x5|x3).

(2)

图3是式2用因子图、贝叶斯网络、马尔科夫随机场分别表示的概率图示例．由三种图对比可以看出,因子图是一种比贝叶斯网络和马尔科夫随机场更为精细的模型表示．例如在图3(a)所示的因子图中,可以用因子节点表示并区分不同的具体分布形式,能够根据因子图写出唯一对应的联合概率密度函数;而在图3(b)贝叶斯网络与图3(c)马尔可夫随机场中,表示的方法更为笼统,对应的联合概率密度函数并不唯一．

普遍的基于概率图推理算法一般是使用贝叶斯网络或者马尔科夫网络,其节点之间的条件独立性是重要的先决条件,但这两种图模型在表达节点间条件独立性方面存在着不足[9]．由于因子图结构能够显式地表示出构造概率分布的因子,因此特别适合通过变量与因子之间传递消息的推理算法的执行．

图3 三种概率图示例

1.3 因子图模型的和-积算法

在因子图中,变量节点到因子节点或者因子节点到变量节点的过程是通过信息交互．和-积算法是基于因子图的消息传递算法,该算法首先将有向图、无向图转化为因子图,然后基于因子图框架进行推导求解．

在图2所示因子图中,已知联合概率密度函数为公式1,随机变量x3的边缘概率可由x1,x2,x3,x4的联合概率求解,具体如公式(3)所示,对x3外的其它变量的概率求和,最终剩下x3的概率．

(3)

由于联合概率的因式分解已知,因此,式(3)可以做如下变化:

=μf1→x3(x3)·μf2→x3(x3),

(4)

式中:μf1→x3(x3)表示因子图中x3左边所有变量的信息汇总；μf2→x3(x3)表示因子图中x3右边所有变量的信息汇总．一个全局的信息汇总可以由连续的子系统的局部信息汇总得到．

因子图与和-积算法的本质即沿着变量节点从因子节点传递出的信息是因子和沿着除该变量以外其余所有变量传入的信息的乘积,然后对除该变量以外其余所有相关变量进行求和结果．基于因子图的消息传递算法是一个高效的求变量的边缘概率分布的算法．

1.4 因子图在通信编码和概率推理方面的应用

因子图在通信编码和概率推理方面已经有了广泛的应用．根据应用领域的不同,因子图变量节点与因子节点的类型也有所不用．在系统概率模型中,因子图可用于表示包括所述系统中变量的联合概率密度函数．该函数的因子分解可以提供关于这些变量之间的统计依赖性的重要信息,如马尔科夫链、后验概率分布都能以因子图的方式表示．除此以外,在动态系统建模中因子图可用于表示给定行为的特征函数,该特征函数的因子分解可以给出关于模型的重要结构信息,如Tanner图．在某些应用中,如系统状态的优化与估计中,将概率模型与状态空间模型相结合用因子图方法表示具有更好的适用性．

1.4.1 因子图在通信编码领域的应用

因子图在通信编码与信号处理领域的相关研究不断发展起来．文献[10]将Turbo编码与LDPC码的译码相结合,对Turbo采用基于其因子图表示的和-积译码算法进行译码,很大程度地降低了译码复杂度,图4为LDPC的译码算法图例,采用因子图模型能够更好地表述和解决问题．文献[11]将因子图与粒子滤波相结合,研究了在较强的相位噪声的情况下基于因子图模型的载波同步算法．文献[12]将因子图算法与Turbo均衡联合起来,研究了基于因子图的高斯消息传递算法．文献[13]提出了一个基于因子图的均衡器,用于软输入软输出信道,降低了均衡器的复杂度．

图4 LDPC译码因子图示例

1.4.2 因子图在概率推理领域的应用

随着概率图模型理论的不断发展与完善,因子图也逐步应用于基于概率模型的推理与预测理论方面．马尔可夫随机场与贝叶斯网络的状态空间被分成几个状态空间的乘积,可以以因子图的形式表示并通过适当的算法进行求解[14]．越来越多的学者不断将因子图模型与梯度算法、期望最大化算法、蒙特卡洛算法、滤波与平滑等其它技术进行融合,因子图作用越来越凸显．

基于因子图的推理算法是以概率图推理算法发展而来的,其中最大后验概率估计法(MAP)是最为常见的,在故障诊断、信息融合、状态估计、即时定位与地图构建(SLAM)等领域都有所应用．文献[15]提出一种采用因子图模型描述链路状态和路径状态间的联合概率分布以估计链路状态当前分布的方法;文献[16]提出使用有向因子图描述系统组成部件间的因果关系,应用概率推理实现故障诊断的方法;文献[17]提出了一种基于因子图的分布式变分稀疏贝叶斯压缩感知算法;文献[18]将因子图作为估计和控制问题的统一表示框架和计算工具并将其应用于无人机避障方向;文献[19]提出了一种基于可信度函数的改进因子图加权信息融合算法;文献[20]提出一种基于因子图消息传递的卫星姿态角速度估计方法;文献[21]提出了一种基于因子图的搜索广告转化预测模型．

因子图作为一种不断发展的理论,其优势在不同领域的研究中也有所发展．近年来,因子图在导航领域中也有所发展与应用．

2 因子图在定位与导航领域应用

近年来,因子图作为一种着重于表示函数分解的系统数学模型,与基于因子图的推理算法一起,在定位与导航领域中也有所研究与应用．定位与导航的目的是实时精准地得到物体的位置、速度与姿态等信息．基于因子图的算法在某些定位与导航应用环境中对定位与导航系统的实时性和精确性有着重要的影响．其中,SLAM问题是因子图的一个重要方向,因子图作为一种状态估计与推理方法,用于解决移动机器人运行时定位导航与地图构建中的优化、建图等问题．因子图在导航领域另一个应用是基于因子图的多传感器信息融合定位与导航系统,因子图能够实现系统传感器的即插即用,已经在组合导航领域受到广泛关注．

2.1 基于因子图模型的SLAM定位与导航问题

SLAM是当前移动机器人自主定位与导航的重要方法．SLAM的概念可以表述为机器人在一个未知环境中运动,移动过程中自身根据运动模型和传感器所得环境观测信息进行定位,同时对周围环境描述地图的一个过程[22-23]．SLAM过程主要分为前端与后端两个过程,前端主要处理传感器获取的数据,后端则主要是对前端的结果进行优化,后端本质上是一个状态估计问题,因此,基于因子图的状态估计推理算法在特定的SLAM后端优化的过程中有着广泛的应用．

2.1.1 基于因子图表示的SLAM优化基本模型

SLAM问题中机器人的每个位姿及地图中每个环境特征都具有不确定性,SLAM的本质其实是一个概率估计问题,也就是对机器人位姿和环境地图特征位置的推算与估计,对它的求解,即是对概率估计问题的求解．

对于给定测量值Z,对未知状态变量X(例如位姿或地标)的概率估计问题,最常用的估计方法是最大后验概率,其原理是在给定测量值Z的情况下,使状态变量X的后密度p(X/Z)最大．最大后验概率估计在最大似然估计的基础上又增加了先验概率的辅助,而先验概率的加入使得估计在较小的数据集中能够保持良好的泛化性能[24],是基于因子图建模的估计问题中最主要使用的估计算法．最大后验概率估计的公式为

(5)

引入因子图模型的主要原因是:1)因子图能够准确区分量测变量与状态变量及其之间的关系;2)因子图的结构为解决大规模推理问题的计算提供了更为有效的新策略．

图5为一个基于SLAM特征图构建的因子图．图中明确地引入了一个额外的节点类型来表示后验概率密度p(X|Z)中的每个因子．在基于图5优化的SLAM 中,机器人的位姿被表示为图中的变量节点,观测信息在经过处理后转变为机器人位姿间的约束关系,并通过连接节点间的边来表示．未知状态变量X以变量节点(白色空心圆)表示,包含xt(t=1,…,i)和lt(t=1,…,i),分别表示机器人的位姿和路标．因子节点(黑色和灰色实心方框)分别代表位姿和路标、位姿和位姿间的概率关系,也称之为里程计因子和路标观测因子．

图5 SLAM中因子图建模方法

在SLAM问题中,全局函数用(Z)表示,通过求解每个因子的结果再求其乘积,来求解全局函数的值．乘积运算通常在对数空间进行更为简单,只须将各个因子函数的结果进行相加．如果因子是连续变量中的可微函数,基于梯度的方法可以快速找到后验的局部最大值．

具体来说,高斯噪声模型的SLAM问题的MAP推断等价于求解非线性最小二乘问题．事实上,对于任意因子图,MAP推断归结为最大化所有因子的乘积,公式如下:

(6)

在高斯噪声模型假设的前提下,可以将每一个因子都可以写为式(7)的形式,表示获取预测的量测信息和实际量测信息的差值.

(7)

式中：hi(Xi)是量测函数,是与状态变量相关的函数；zi是由路标信息得到的实际量测值．对式(7)取负对数,并将式(7)带入式(6),MAP推断则变化为最小化所有非线性最小二形式因子乘的求和:

(8)

求解该目标函数最小值的方法是通过组合量测变量以及先验信息执行传感器信息融合,可以唯一地确定未知数的最大后验概率解．在SLAM过程中,量测函数hi(Xi)通常是非线性的．基于可靠的初始值,通过非线性优化方法(如高斯-牛顿迭代法或Levenberg-Marquardt算法)将能够解算得出收敛到式(8)的全局最小值．求解式(8)的一系列线性近似来达到最小值[25]．

综上,基于因子图模型表示的SLAM优化过程中,通过将全局变量的最优估计转化成因子相乘的形式,在非线性优化算法的具体计算中,有着简化计算量的优点．

2.1.2 因子图模型在SLAM定位与导航中的应用

因子图模型作为一种可以清楚表示节点之间概率关系概率图模型,能够简化SLAM过程中非线性优化算法中的计算量,有着越来越多的应用．

1) 因子图在SLAM密集3D建图优化中的应用.

3D建图是SLAM定位与导航中的重要过程．虽然稀疏点云对于保持机器人本地化是足够的,但是与环境的交互需要更完整的地图表示,因此因子图模型在SLAM建图中的系统建模有着越来越多的应用．

Whelan等[26-27]提出了一个基于密集SLAM解决方案,它将局部密集方法Kinect Fusion三维重建法扩展到大型环境,将环闭合方法应用于表示轨迹姿势的因子图中,并且通过应用网格变形将相应的校正传递到地图,表示为三角形网格．

Salas-Moreno等[28]提出了SLAM++,即一种基于对象的SLAM系统．系统中的地标对应于环境中的椅子之类的对象,这些对象可以获得先前的密集模型． SLAM++系统的整个推理过程是基于因子图优化方法进行计算的．Trevor等人[29]在因子图优化的背景下对平面SLAM下信息融合进行研究． Kaess等[30-31]使用无限平面作为因子图中的界标,在大型环境的SLAM建图中,可以实时地进行优化．

2) 因子图在水下机器人SLAM定位与导航中的应用.

因子图算法已经应用在水下机器人定位与导航的研究中． Hover等[32]应用它们来检查船体和港口基础设施与悬停的自主水下航行器(HAUV)．

对于自主水下航行器的定位与导航方式,声呐定位、视觉定位都是其常用技术．因子图在声呐[33-34]、视觉定位[35]以及Mosaics技术[36]中都有所应用．Carlevaris-Bianco等人提出的稀疏化算法[37]已用于水下情景中的长航时和多重区段任务执行． Beall等[38]使用因子图来描述水下三维重建的大规模束调整．Bichucher等[39]提供了测深因子图SLAM算法,该算法使用从多普勒速度测井生成的稀疏点云．

3) 因子图在其他SLAM定位与导航中的应用.

因子图模型也已在其他SLAM定位与导航得到应用． Tweddle等[40]使用因子图来模拟空间中旋转物体的刚体动力学．该系统已经在国际空间站上被称为Spheres的微型卫星进行了测试．Zhang等[41]提出了一种视觉测距方法,其能够使用稀疏深度信息,例如用于单独的LIDAR传感器,或者来自RGB-D相机,其仅具有传感器范围内的部分场景,该优化使用因子图实现,并使用iSAM库进行优化．

许多SLAM系统的应用中需要得到细粒度的轨迹分辨率,旋转的激光距离传感器也会沿着轨迹在每个测量位置稍微不同的位置进行移动,因此需要在每一秒钟内进行位姿估计．因为因子图中的位姿之间可能存在插值,所以关于可以直接连接测量和图优化的连续时间表示的研究也应运而生．Anderson等[42]使用高斯过程回归提出了基于因子图的解决方案．在后续文章中[43],他们在因子图中加入了分层小波分解思想,在需要时选择性地提供更高的时间轨迹分辨率． Yan等[44]提出了在连续轨迹估计的背景下基于因子图的稀疏GP回归的增量算法．

2.2 基于因子图在组合导航信息融合问题

随着导航技术的不断发展,单一导航系统已经不能满足高精度导航的要求了．为了提高导航系统的精度和可靠性,需要利用卫星导航系统、计程仪、天文导航系统、视觉辅助导航等传感器来协助导航．基于因子图模型的融合框架可以有效解决数据融合中的异步问题,而且针对多传感器具有很好的扩展性,可以对传感器灵活配置．

2.2.1 基于因子图的组合导航信息融合基本模型

因子图算法的基本思想是通过构建系统某一时间段内的图模型,将系统状态与导航信息相关联,基于后验估计理论实现数据的融合．即在给定所有可用量测值后,计算所有状态的联合概率分布函数的最大后验概率估计．在多源组合导航的应用中,由于惯性导航拥有较高的数据生成率和抗干扰性,所以一般被视作组合导航系统中的参考源．

为了实现导航系统中的数据融合,首先建立基于因子图的组合导航系统模型．设k时刻的状态变量为Xk,Zk为直到当前时刻tk接收到的所有量测值．

Xk=[pTvTqTaTgT]，

(9)

其中:P=[xyz]T为载体位置向量;v=[vxvyvz]T为载体速度向量;q=[q0q1q2q3]T为载体姿态四元数向量;a=[axayaz]T为加速度计随机游走项;g=[gxgygz]T为陀螺仪随机游走项．

与基于因子图的SLAM优化类似,基于因子图的组合导航算法,需求解待估参数的最大后验概率,同时根据因式分解,最大后验估计公式为

(10)

式(10)表示因子节点获取预测的量测信息和实际量测信息的差值．其中hi(·)是量测函数,是与状态变量相关的函数,在导航框架中hi(·)可以根据给定的状态估计预测传感器的量测值,而zi是由各类传感器得到的实际量测值．

图6 组合导航因子图建模方法

根据组合导航系统的实际特点以及可选择的导航传感器设备,构建基于因子图的组合导航框架．图6所示为一个基于因子图的组合导航系统框架,采取惯性导航系统(INS)为主要参考源,辅以全球卫星导航系统(GNSS)以及超宽带(UWB)定位系统三种导航方式,将三种导航系统量测方程抽象为三类因子节点．图6中,圆圈代表状态变量节点,黑色方块代表因子节点,Xk代表系统的导航状态,f代表各传感器量测信息．fIMU表示来自IMU的量测信息,与tk时刻和tk+1时刻的导航状态相关,fGNSS和fUWB也分别是来自GNSS和UWB的量测信息．

基于因子图构架的组合导航系统能够有效地实现导航传感器的即插即用．若需在导航系统中加入其他导航传感器量测信息如气压高度计、磁力计等,只需要定义相应的新因子节点拓展因子图,根据传感器的观测方程以及相应的代价函数进行变量边缘的状态更新．基于因子图的多传感器信息融合方法,是解决多传感器观测数据异步问题的一种有效方法,当接收到传感器的输出数据后,对因子图节点进行扩充,根据系统的状态方程和量测方程快速有效地进行系统状态的更新,实现导航系统多传感器的数据综合处理．

2.2.2 因子图在组合导航中的应用

惯性导航系统是导航系统中的重要传感器,因为它能够提供有关载体运动的高频信息,但由于惯导的误差会随着时间的推移累积发散,所以,需要引入其他传感器系统进行数据融合．因此,因子图提供了一个非常灵活的框架,可以融合这多个互补的信息来源[45]．

1) 因子图在惯性/视觉组合导航的应用

由于对基于惯性导航的组合导航以及SLAM两方面的研究越来越深入,越来越多的研究人员将SLAM图优化算法使用在组合导航信息融合过程中,在惯性/视觉为主的信息组合导航领域中对它的使用也越来越多．

Indelman等[46]提出了一种基于因子图的惯性/视觉信息融合方法,该方法将信息融合问题用因子图模型来表示．因子图将未知变量节点和已知测量值的关系进行编码,融合来自不同的、非同步的传感器观测值的问题就变成在因子图中连接测量值定义的因子与相应节点的问题．使用因子图可以使系统具有即插即用的功能,当有新的传感器接入系统时,只需要在因子图中增加新的节点;同样的,当某个传感器由于信号丢失或者传感器故障变得不可用时,系统只需要限制增加相应的因子,而不需要特别的处理．

Indelman等[47]提出了基于因子图的增量平滑和映射(iSAM)算法．该方法能够自动确定每个步骤重新计算的状态数,有效地充当自适应固定滞后平滑器．这为信息融合提供了有效且通用的框架,提供了近乎最优的状态估计．该算法提出的构架基于IMU/GPS/立体视觉测量组合导航系统进行仿真验证,和传统的扩展卡尔曼滤波器获得的最优解进行比较,能够显著提高计算效率．

为了处理基于因子图的组合导航系统中IMU更新率较大的问题,Lupton等[48]提出了一种IMU因子预积分算法,在其他传感器(如摄像机和激光雷达)的低速率测量之间预先集成IMU测量,使用IMU预积分算法是平衡因子图的平滑计算效率的好方法．

Forster等[49]将IMU预积分算法应用在了基于因子图的视觉/惯性融合中,提出更为复杂的积分方案并且将其与固定滞后平滑相结合,以产生更优的性能．Leutenegger等[50]还提出了基于可视化因子图的VIO/SLAM算法．Usenko等[51]将半直接测距算法与惯性信息相结合,提出了基本遵循基于因子图的iSAM算法,应用边际化来估计最近的状态．

2) 因子图在多传感器信息融合导航中的应用

传统的多传感器信息融合方法大多采用基于联邦卡尔曼滤波器的组合导航方法,虽然该方法能够通过数据同步处理方法融合不同速率的传感器信息并实时计算出导航解,但是为了保持数据的同步往往需要丢弃一部分测量值,这样就会造成信息的浪费;同时,标准卡尔曼滤波器只能够解决线性问题,而大多数的传感器模型都包含非线性成分．至于扩展卡尔曼滤波器,由于边缘化了过去的状态而只使用了最近的状态估计,导致表示这些测量值的非线性因子在估计过程中不能够很好地重线性化,因此,该优化过程可能是概率不连续的,估计值并不是最优的．此外,当某个传感器的信息出现故障变得不可用时,联邦滤波器需要进行较复杂的系统重构处理[52]．基于因子图的多传感器信息融合导航算法可解决传统方法的问题,拥有即插即用的优点．

Zeng等[53]提出了一种改进的因子图多传感器融合导航算法,为了实现多类型传感器的测量信息融合并实时计算导航解,根据因子图的链结构对全局最优解进行因式分解．将该算法应用于无人机组合导航系统中,与传统的联邦滤波算法对比,能够更快的重新构建组合导航系统结构,更好地减小导航传感器精度下降或故障带来的影响．

Chiu等[54]在因子图构架的基础上，进一步将滑动窗的概念引入到多源组合导航因子图算法中．滑动窗使得因子图的全局最优化过程仅发生在最新生成的若干个节点间,它的引入不仅提高了融合算法的估计速度,而且减少了算法的计算量．

高军强等[55]在因子图算法的基础上,采用变量消除算法将因子图转化为贝叶斯网络,并通过贝叶斯树的形式实现增量推理,降低了传感器有效性,以及传感器存在异步和时延对导航精度的影响．因子图算法具有很强的鲁棒性和灵活性,在处理多传感器信息融合问题中具有较大优势．

针对GNSS信息滞后而导致INS组合导航系统实时性差的问题,高军强等[56]利用因子图算法可以在一个信息融合时刻处理各信息源不同时刻量测信息的特点,提出了一种基于因子图的INS/GPS信息滞后处理方法．待系统接收到GPS 信息之后,再将关于 GPS 信息的因子节点添加到因子图模型中,修正 INS 误差,从而保证系统长时间高精度运行．因子图算法在保证系统精度的前提下,避免了 GPS 信息滞后对 INS/GPS 组合导航系统实时性的不良影响．

近些年结合因子图方法的全源导航技术发展迅猛,形成一个重要的全源导航分支,其在即插即用的方式配置组合传感器方面[57],有望较好地解决导航系统中某些状态方程和观测方程具有不同程度的非线性问题,为实现高精度、鲁棒性强的定位与导航技术奠定基础．

3 结束语

因子图作为一种能够表示函数因子分解的图模型,由于其数学特性,在特定的模型建立、状态估计算法中有其独特的优越性．因子图可以实时求解大规模最优估计问题,简化了最优估计问题中的计算量,提高了系统的实时性．

基于因子图的导航方法是全源导航系统的重要研究内容和方向,结合因子图方法的信息融合导航方法具有高度适应性的框架,可以满足各种不同类型的传感器的即插即用,有利于促使人们根据导航系统的特性,去探索更加有针对性的信息融合导航滤波方法．