巧构模型妙解题

王洪信

(甘肃省合水县第一中学 745400)

新的数学课程标准(2017年版)提出了数学学科核心素养的六个方面，其中之一——数学建模，是数学应用的重要形式，是解决问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.构造数学模型解题是一种创造性思维.通过对题设条件和目标的观察、分析、联想，根据题目特征，构造出熟知的数学模型来解决问题.这样往往能化隐为显，化繁为简，从而获得新颖而别具特色的解题方法.

一、构造函数模型

分析不等式结构复杂，不易观察识别.若记log3x=u，则这是一个关于u的二次不等式，但各系数较为复杂且在变化，不易把控.若改变视角，设log2m=t为主元，则这是简单的一元一次不等式在定区间上恒成立的问题.

解设log2m=t(0≤t≤1),记log3x=u，关于t整理成f(t)=(u2-6u+1)t+1-u2>0(0≤t≤1)时，求u的取值范围.

二、构造方程模型

分析可视目标式a+b=t为一整体，从已知式中导出ab关于t的表达式，从而利用熟知的韦达定理之逆，构造出一元二次方程，再用判别式求解.

证明由已知式有(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b).而a>b⟹a-b≠0，故有a2+ab+b2=a+b⟹(a+b)2-ab=a+b.

记a+b=t,则ab=t2-t.由此可知a、b是一元二次方程u2-tu+(t2-t)=0的两个不等的正根，故有

点评解题中要注意两个不等正根的充要条件，防止仅列出u1+u2>0,u1u2>0，而遗漏Δ>0的错误发生.

三、构造不等式模型

Δ=4a2-4(b+1)≤0,且Δ=4a2-4(b+1)≥0.

从而有Δ=0,得a2-b-1=0 ①.

同理由f(x)的最大值是4，可得a2+4b-16=0 ②.

点评本例解答的亮点是一方面将最值转化为二次不等式恒成立，另一方面又将最值转化为二次方程有实根，那么既有Δ≤0又有Δ≥0，从而夹逼出Δ=0.本例解答过程中，不断实施函数、方程、不等式模型间的转换，体现了思维的灵活与严谨.

四、构造数列模型

例4 设0

证明构造数列bn=(1-a1)(1-a2)…(1-an)+(a1+a2+…+an),只要证bn≥1.而

bn+1-bn=-an+1(1-a1)(1-a2)…(1-an)+an+1

=an+1[1-(1-a1)(1-a2)…(1-an)].

由题设00，从而bn+1>bn,{bn}是递增数列.

所以bn≥b1=(1-a1)+a1=1,从而得

(1-a1)(1-a2)…(1-an)≥1-(a1+a2+…+an).

点评对于形如f(n)>g(n)的数列不等式的证明，常可构造新数列模型F(n)=f(n)-g(n)，来证明两条：①F(1)>0;②F(n)是递增，由此得到F(n)≥F(1)>0,即f(n)>g(n).

五、构造三角模型

分析从条件等式的分母是1+a2的结构，联想到三角中的正切代换.

同理得cos2β≥2sinγsinα,cos2γ≥2sinαsinβ.

这三个不等式相乘，可得

(cosαcosβcosγ)2≥8(sinαsinβsinγ)2.

点评本例有多种证法，但由式子的结构特征，引入三角的正切式，简化了原来的式子，利用熟悉的三角公式模型，迅速获证.

六、构造向量模型

分析由左端根式中的平方和形式，联想到向量的模，因此可构造向量模型，再用模的不等式.

七、构造概率模型

例7 设x、y、z∈(0,1)，求证x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

分析由条件范围(0，1)，联想到随机事件的概率取值范围，构造概率模型.

从而得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

点评本例对于数值范围(0，1)赋于实际意义——随机事件的概率——投篮的命中率，又结合集合图形来理解各事件间的关系.本例解法展现了数字模型——概率模型——集合模型间的转换，方法新颖且易于理解.