第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷第13题的另两种解法

侯位锋

(浙江省诸暨中学 311800)

原题：电荷量为q的正电荷，均匀分布在由绝缘材料制成的质量为m半径为R的均匀细圆环上，现设法加外力使圆环从静止开始，绕通过环心的轴线匀加速转动．试求从开始转动到环的角速度达到某一值ω0的整个过程中外力所做的功．已知转动带电圆环的等效电流为I时，等效电流产生的磁场对整个以圆环为周界的圆面的磁通量为Ф=kI，k为一已知常量．不计电荷作加速运动所产生的辐射效应．

原解法

解析当环角速度达到ω0，环的动能为

(1)

若在时刻t，环转动的角速度为ω，则环上电荷所形成的等效电流

(2)

(3)

(4)

环加速转动时要克服感应电动势做功，功率为

P1=εI

(5)

因为是匀加速转动，所以ω和I都随时间t线性增加．若角速度从零开始增加到ω0经历的时间为t0，则有

(6)

若与ω0对应的等效电流为I0，则整个过程中克服感应电动势做的功为

(7)

(8)

外力所做总功

另解法一动力学方法

解析如图1所示，圆环在匀加速转动过程中，形成等效电流(变化)，产生一变化的磁场，变化的磁场产生一涡旋电场，而带电圆环在涡旋电场中会受到电场力F电作用(沿圆环的切线方向且与圆环转动方向相反)，要使圆环匀加速转动，则外力F外应该沿圆环的切线方向且与圆环转动方向相同．为求外力F外做的功则圆环匀加速转动过程中可以等效为一质量为m的质点，在外力F外和F电作用下做匀加速运动，速度为v=ωR．

若在时刻t，环转动的角速度为ω，则环上电荷所形成的等效电流

(1)

(2)

由v=ωR及(1)(2)式可得

(3)

设等效匀加速运动质点的加速度为

(4)

(5)

最后角速度为ω0，此时等效质点运动的速度为

v0=ω0R、位移x

(Rω0)2=2ax

(6)

由于外力为恒力，则外力做的总功

W=F外x

(7)

另解法二能量方法

解析带电圆环在外力作用下，由静止到运动，同时形成电流，电流产生磁场．则由功能关系可知，外力做功W一方面使圆环获得动能Ek，另一方面产生磁场即获得磁场能W1，所以W=Ek+W1．

当环角速度达到ω0，环的动能为

(1)

环转动的角速度为ω0，则环上电荷所形成的等效电流

(2)

(3)

(4)

由⑶⑷式得L=k

(5)

(6)

(7)

外力做的总功为

对于上述三种解法，笔者认为原解法没有比较直观的揭示题中物理现象的本质，而另解法一从动力学角度揭示了题中物理现象的本质，另解法二从能量的转换角度揭示了题中物理现象的本质．从解答过程来看另解法一、二物理原理更加直观．所以笔者认为从学生思维的角度来看，另解法一和二更容易学生理解，也利于培养学生的动力学观和能量观．