一个新的离散TVp模型*

彭 英，杨奋林

(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)

1 问题的提出

图像去噪是从已知的噪声图像z中提取近似于z的光滑图像u.基于梯度模|u|的L2范数的模型具有较好的平滑效果，但边缘会模糊.1992年，Rudin等[1]构造出用|u|的L1范数做正则项的TV模型，该模型虽能很好地保持图像的边缘，但图像的光滑过渡部分会产生阶梯效应.1997年，Blomgren等[2]构造出自适应TVp模型

其中p(·)是单调递减且值域为区间[1,2]的函数.该模型在|u|较小时近似于L2正则，而在|u|很大时接近于TV正则，因此它能有效减少TV模型的阶梯效应.但是，因TVp模型正则项的核函数是幂指函数，故求解十分困难.2010年，Chen等[3]将能较好地区分噪声图像的边缘部分、光滑部分和噪声的差分曲率

引入到自适应TVp模型中，建立了核函数指数部分只与z有关的自适应TVp模型

为了更有效地降低TVp模型的非线性程度，笔者拟在文献[3]的基础上对离散的TVp模型进行改进.

2 改进的离散TVp模型

为了降低离散TV模型的非线性程度，滕鲜等[4]提出用梯度的向前、向后差分的几何平均

(1)

来代替像素点(i,j)的梯度模

建立了带Nuemann边界条件的四方向TV模型.笔者将(1)式运用到离散的TVp模型中以降低TVp模型的非线性程度，建立了MTVp模型，即

其中

MTVp模型的求解可以转化为求解Euler-Lagrange方程

(ui,j-zi,j)=0,i,j=1,2，…，n.

(2)

采用z滞后非线性方程组(2)中的分母使其线性化，求解线性方程得到u(1)；再将u(1)滞后(2)式中的分母使其线性化，求解得到u(2)；……依此步骤继续，得到序列{u(k)}.当{u(k)}前后2项相差很小或者k达到预先设定的最大迭代次数时，终止并返回u(k).

3 数值实验

利用TV模型、TVp模型与MTVp模型对标准的256×256Boat图像(图1)和含有较多细节、光滑过渡部分的400×400Barbara图像(图2)进行去噪.3种模型的求解均采用最大迭代次数为10的滞后分母的不动点迭代方法，线性方程组的求解采用预处理共轭梯度(Preconditioned Conjugate Gradient，PCG)法.图3和图4分别是Boat和Barbara的恢复图像.

图1 Boat图像

图2 Barbara图像

图3 Boat的恢复图像

图4 Barbara的恢复图像

图3显示3种模型恢复的图像的边缘都很清晰，但TV模型恢复的Boat图像的船底部分能看到明显的阶梯效应，而TVp模型和MTVp模型恢复的图像更光滑.图4显示MTVp模型和TVp模型恢复的Barbara图像的脸蛋和手臂部分都比TV模型的更光滑，MTVp模型恢复的背景和围巾部分的纹理细节都比TV模型和TVp模型的更好.

表1记录了利用3种模型求解2幅图像的耗时、PCG迭代次数和恢复图像的信噪比.

表1 TV模型、TVp模型与MTVp模型的耗时、PCG迭代次数和信噪比

由表1可知，MTVp模型耗时最少，PCG迭代次数是TV模型的1/10～1/6，是TVp模型的1/3～1/2，但信噪比明显高于TV模型和TVp模型.

4 结语

图像去噪中兼顾保持图像边缘清晰和画面光滑是比较困难的，TVp模型能减轻TV模型的阶梯效应，保持图像光滑，但保持边缘清晰的效果不及TV模型.笔者通过引入四方向梯度模建立了MTVp模型，它能有效降低TVp模型的非线性程度，且信噪比更高.接下来，笔者将围绕在采用滞后不动点迭代方法求解MTVp模型的过程中，如何进一步提高滞后不动点迭代方法的收敛性展开研究.