传感器参数误差下的运动目标TDOA/FDOA无源定位算法

孙霆，董春曦

西安电子科技大学 电子工程学院，西安 710071

近年来，无源定位算法由于其本身不辐射电磁信号，具有电磁隐蔽性[1]等优点受到了国内外学者的广泛关注，它已经被大量应用在无线传感器网络、雷达、麦克风阵列以及声呐系统[2-9]等领域中。无源定位技术可以归纳为依靠传感器网络获取不同类型的观测量进行求解，这些观测量主要包括到达时间(Time of Arrival,TOA)、到达时间差(Time Difference of Arrival,TDOA)、到达角(Angle of Arrival,AOA)、以及上述参数的相互结合。当运动目标或者传感器与目标之间存在相对运动关系时，还可以利用到达频率差(Fequency Difference of Arrival,FDOA)观测量对目标的位置以及速度进行估计。

本文主要针对运动目标无源定位算法进行研究。由于其相关的最大似然问题存在高度的非线性以及非凸性，因此寻找全局最优解变得十分困难。为此，国内外学者提出了大量的算法：线性化的最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,MLE)[10-11]是解决定位问题十分有效的算法，但是这种算法的性能以及收敛性依赖于一个好的初始位置值，一旦该值选取较差其性能也会变差。为了克服这个问题，Ho和Xu提出了著名的两步加权最小二乘(Two-Stage Weighted Least Squares,TSWLS)算法[12]，TSWLS算法第1步引入额外变量并且建立了伪线性方程，随后给出了加权最小二乘(Weighted Least Squares,WLS)解，第2步利用额外变量与目标位置的关系建立了新的等式方程以提高定位精度。虽然TSWLS算法实时性较高，但是在定位精度方面还有待进一步提高；半定松弛(SeminDefine Relaxation,SDR)算法[13-14]首先将定位问题描述为具有二次约束条件的优化问题，随后利用合理的近似以及适当的松弛条件将其转化为了半定规划(SeminDefine Programming,SDP)问题，最后利用优化工具箱给出了具有高精度的估计值。但是这个问题的计算复杂度较高，需要在实时性以及精度两者之间进行较好的折中。文献[15]给出了一种基于定位误差修正的算法，第1步与传统的TSWLS相同，第2步对估计误差做了修正并给出了最终的定位估计值。文献[16]首先将定位问题描述为具有二次约束条件的二次规划(Quadratically Constrained Quadratic Programming,QCQP)问题，随后利用WLS的解，将二次约束转化为了线性约束，即将QCQP问题转化为了线性约束二次规划(Linearly Constrained Quadratic Programming,LCQP)问题；最后利用广义逆矩阵的性质对LCQP问题求解，并且形成一种迭代算法，这种算法具有闭式解的优点，同时在高斯噪声模型下，其定位性能优于现存的技术。

除上述提到的非凸性以及非线性问题，传感器参数存在误差时也会对无源算法的性能产生较大的影响，文献[17]详细阐述了不考虑传感器参数误差时产生的影响并且将TSWLS算法扩展到了存在传感器参数误差时的场景中；随后文献[18]中的TSWLS在其基础上进一步提高了算法精度，并且该算法适用非相交多源的定位解算。文献[13]中的SDR算法同样给出了一种考虑了传感器参数误差的情况，但是SDR算法计算复杂度远高于TSWLS算法。而近几年，文献[19-20]分别提出了存在传感器位置误差情况下改进的TSWLS算法以及多维标度(MultiDimensional Scaling,MDS)算法；但是，这些算法是基于TDOA观测量对目标定位解算，并不能应用到对运动目标参数估计的场景之中。因此针对存在传感器参数误差的情况下，研究一种运动目标无源定位的闭式算法十分有必要。

本文主要针对TDOA/FDOA运动目标定位场景，在考虑了传感器存在参数误差的情况下，提出了一种改进的两步加权最小二乘算法；该算法分为两步，其中第1步与文献[18]中经典的TSWLS算法第1步相同，首先引入了辅助向量，并且建立了伪线性方程，给出了辅助向量的WLS解；第2步中，与文献[18]有所区别，利用辅助向量中额外变量与目标参数之间的关系，构造了新的等式方程，并且利用WLS给出最终解。理论分析表明该算法在测量噪声较小时下可以实现克拉美罗下界(Cramér-Rao Lower Bound,CRLB)[21]，并且该算法仍然是闭式解，计算复杂度与TSWLS算法相当，远小于SDR算法。此外，经过适当的维度调整，该算法同样适用于对多非相交源的定位场景。仿真实验验证了所提算法的有效性。

1 定位场景

(1)

将所有可利用的传感器位置和速度值使用向量形式表示为

(2)

(3)

式中：总的测量噪声向量Δβ服从零均值高斯分布，其协方差矩阵为E(ΔβTΔβ)=Qβ。

不失一般性地，选取第1个传感器为参考传感器。因此由M个传感器可以得到(M-1)个TDOA值，乘以信号传播速度之后，得到如下表达式：

(4)

(5)

对式(4)两边关于时间求导有

(6)

(7)

(8)

(9)

2 算 法

本节具体给出所提出算法的推导过程，由于所提出的算法第1步与文献[18]的第1步相同，因此第1步仅给出简单的总结；在新的第2步中，详细给出了推导过程。

2.1 算法第1步

(10)

对式(4)移项并且两边进行平方，将RD测量值ri1、可利用的传感器位置si以及式(10)代入，同时仅保留线性误差项可以得到一组TDOA等式为

(i=2,3,…,M)

(11)

式中：η1i=uo-s1+ri1ρuo,s1。

对式(11)两边关于时间求导可以得到一组FDOA方程为

(i=2,3,…,M)

(12)

(13)

(14)

(15)

同样，矩阵Gt和Gf的每一行元素分别为

(16)

(17)

矩阵方程(14)的加权最小二乘解为

(18)

(19)

2.2 算法第2步

(20)

文献[18]的第2步同样考虑了这种非线性关系，并且建立了等式方程，而本文第2步建立了一个不同于文献[18]的等式方程；另外，文献[18]中的TSWLS第2步得到结果之后还需要进行一些其他操作(如平方根运算等)才能得到最终结果，相比之下，算法第2步更简洁明了，可以直接得到最终的WLS估计结果；第2步的具体过程如下。

(21)

将式(21)代入式(20)，并且只保留线性误差项，则有如下等式：

(22)

另外，第1步得到的位置和速度估计误差可以进一步改写为

(23)

联合式(22)和式(23)，将它们用矩阵形式表示可以建立新的矩阵方程为

(24)

(25)

式(24)的WLS解为

(26)

(27)

同样，由于E(Δφ1)=0，因此当测量噪声较小时第2步的估计近似为无偏估计，其协方差矩阵近似为

(28)

此外，还需要注意：

3 性能分析

本节将对所提出算法的性能进行分析，给出本文定位场景下的CRLB，并且理论推导证明在测量噪声较小时，所提算法可以达到CRLB。

(29)

(30)

式中:

(31)

(32)

即本文提出的算法在测量噪声较小时能够实现CRLB。

4 仿真实验

(33)

表1 场景1中观测站的位置与速度

图1 近场目标参数估计均方根误差对比

图2 近场目标参数估计偏差对比

如图2所示，对于近场目标估计偏差性能而言，没有考虑传感器误差的算法[15-16]具有较大的位置和速度估计偏差。当测量噪声较小时，TSWLS算法能够提供和SDR算法以及本文提出算法比较接近的估计偏差，但是当噪声继续增大时，TSWLS的偏差性能开始下降。当测量噪声达到5 dB时，TSWLS算法的目标位置估计偏差比本文提出的算法大约高出了6 dB，同样，目标速度估计偏差比本文提出的算法大约高出了6 dB。SDR算法与本文所提出的算法在整个噪声功率范围内对于目标参数估计的偏差比较接近，均能够实现较小的位置与速度估计偏差，这两种算法具有较好的定位性能。但是需要强调的是，SDR算法求解优化问题需要大量的计算复杂度，该算法实时性难以保证；本文算法是一种闭式解法，因此具有较高的实时性(见第5节表2)。

图3 远场目标参数估计均方根误差对比

图4 远场目标参数估计均方根误差对比

如图5所示，对于位置估计均方根误差，当噪声小于-5 dB时，2种算法均能够实现CRLB。但是当噪声继续增大时，2种算法定位性能开始下降，当噪声为0 dB时，本文算法得到的均方根误差比文献[18]的TSWLS得到的均方根误差大约降低了4 dB。对于速度估计均方根误差，当噪声大于-15 dB时，文献[18]TSWLS算法的估计性能出现了较大的下降，而本文算法在噪声大于-5 dB时才开始偏离CRLB，本文算法具有更好的鲁棒性。图6给出了2种算法对于目标参数估计的偏差性能，对于位置估计偏差性能，文献[18]的算法与本文算法十分接近；但是对于速度估计偏差，本文算法显然比文献[18]的算法具有更小的偏差，当测量噪声等于-5 dB时，本文算法比文献[18]算法的估计偏差大约减少了7 dB。

图5 两个不相交目标参数估计均方误差对比

图6 两个不相交目标参数估计偏差对比

5 计算量分析

本节主要对所提出算法的计算复杂度进行分析，为了分析简便，主要以实数乘法进行分析。

首先分析本文算法第1步的计算量。

接下来给出第2步计算量的分析过程，第2步中计算与观测站数目无关，因此能够得到准确的乘法次数。

此外，由于TSWLS的第1步需要对加权矩阵初始化，并且更新加权矩阵W1一般需要重复计算两次，则第1步中1)需要计算2次，2)需要计算3次，因此本文提出的算法一共需要(120M3-120M2+688M+5 688)次的实数乘法运算。同样，文献[17-18]中的TSWLS算法第2步均与观测站数目无关，计算量主要都体现在了第1步中，因此本文算法与它们计算量相当，这从表2中也可以看出，表2中给出了考虑传感器参数误差存在情况下不同算法的平均CPU运行时间，显然TSWLS算法以及本文算法计算量相当。而SDR算法需要进行大量的运行时间。本文算法具有相当高的实时性，这一点在定位解算中具有重要意义。

表2 不同算法平均CPU执行时间

6 结 论

1) 所提出算法在测量噪声较小时能够实现CRLB。另外，经过适当的维度调整，可以应用于多非相交源的定位场景中。

2) 所提算法计算复杂度与TSWLS算法相当，同时能提供不高于SDR算法的均方根误差和偏差估计性能。