高职数学函数极限概念教学的实践与认识

袁立新

【摘要】从理解的角度，函数极限的概念包括它的形式化定义，对于高职学生而言并非遥不可及.函数极限概念教学的重难点集中于两次抽象过程上，即先把具体教学材料抽象成描述性定义，然后将描述性定义抽象为形式化定义.抽象过程需要用学生熟悉的、可理解的方式进行，如类比、直观、计算.同时，要重视情感在极限概念教学中的作用，积极地从所学内容、教师、教材等方面培养学生的数学情感.

【关键词】函数极限;概念教学;实践;抽象

一、引言

“若从今天的数学中抽去了极限的思想，……，那么说得严重一点，这时的数学几乎近于一无所剩了.”[1]高职阶段的学生具备了一定的抽象思维能力，对极限思想有了初步的了解.函数极限概念是学生进一步理解极限思想的一个重要途径，也是深入学习数学的必要准备.它的ε-δ定义（以下称为形式化定义）更是数学概念符号化的典型代表，能让学生体验到数学的抽象性与严谨性.但是在高职数学的教学中，对于极限概念的理解，要么避而不谈形式化定义，认为它超出学生的思维能力;要么直接给出定义，着重语义分析，忽视形成过程，概念理解也缺乏层次[2].所以，从理解的角度，函数极限概念教学需要过程性、阶段性地展现，即要重视其形成过程（或抽象过程），同时需要从学习者已有的知识经验中，特别是从已学习的数学内容中找到适合的认知根源，努力通过类比、直观、计算等策略帮助其理解.为了能把上述概念教学建议和要求落到实处，实现认识与实践的统一，教学需要构建深入课堂的、整体性的认知与策略，给出基于理解的函數极限概念有效教学框架与过程.同时，教学过程也需要关注学生的学习情感，避免因学习困难导致的情绪障碍.

二、函数极限概念的教学认识

（一） 第一次抽象：形成函数极限的描述性定义

函数极限概念的形成需要经历两次抽象.第一次是从学生已有的现实出发，把具体的教学材料抽象成描述性定义（以limx→x0f（x）=A为例）.教学重点是指出日常“极限”的理解经验与极限概念的不同，以便对极限概念形成恰当的心理表征.除了给出丰富的函数图像外，利用数值表也是一个好的选择，如根据x→2时，x2-4x-2的值的变化情况，直观上帮助学生消除部分“00”的困惑.

（二）进一步抽象的必要性

通过观察、猜想的方法研究极限并不总是可行的.例如，通过函数图像猜测函数y=sin 1x在x=0处的极限比较困难.同样，通过数值表猜测也容易误入陷阱.如对于函数y=sin πx，x分别取0.1，0.01，0.001，…结果都是0，这容易导致limx→0sin πx=0这样的不正确的猜测结果.所以，除了从文化历史角度让学生了解极限形式化定义的重要性外，更重要的是让学生亲身体验描述性定义的不足.类似地，函数单调性概念最初被描述为“函数值随着自变量的变化而变化”，虽然从直观上很容易理解，但不够严谨.后来学习了严格定义后，不需要直观，更能对单调性进行严格讨论.所以，要深入理解极限概念或运用它解决问题，需要形式化定义.

（三） 第二次抽象：形成函数极限的形式化定义

第二次抽象是由函数极限概念的描述性定义转变为形式化定义.第二次抽象过程应以第一次抽象过程为基础，无法逾越，因为极限概念的描述性定义是学生理解形式定义的一个良好的认知根源.但这个过程比较困难，关键是抽象过程中的概念语言的严格化与符号化过程.

1.日常语言的数学化表达

这方面的教学准备工作容易被忽略.只有适应数学化的表达，特别是数学符号语言的表达，学生才能对形式化定义进行分析与理解，避免形式化定义的形式与内容的脱节.事实上，在中学阶段，学生学习如函数单调性或周期性的严格定义时，也会出现由日常语言转化为数学语言的不适应.教学研究表明，这些不适应也会迁移到极限形式化定义的理解上面来[3].数学语言，主要是数学符号语言，可以简化自然语言，扩充和完善其表达范围，使表达更严谨、科学.而数学的严谨性主要体现在逻辑表达与推理上，这也是第二次抽象的难点所在，即不仅要把日常语言转化为数学语言，而且要注重数学语言所表达的逻辑性.对于数学抽象过程中的逻辑困难，弗莱登塔尔给出了一组由日常语言转换为数学语言的逻辑准备工作，并把日常语言“很小的事能产生很大的影响”逐步数学化为函数不连续的ε-δ定义[4]，值得借鉴.教学过程中可以给出，如“没有最大的自然数”“两个实数之间距离可以任意小”等的数学化表达练习.

2.函数极限描述性定义的形式化转换

这样的转换过程是一种数学建模的过程，即定量、具体地刻画两个无限过程及其联系.其中需要一套符号表示这两个过程，并通过符号系统化体现两者的联系.为了方便理解，教学时需要借助具体的函数进行转换，并尽可能用学生熟悉的语言表达.

在形式化过程中，重点有两方面：一是“函数值f（x）无限接近A”表述为：对任给的正数ε，|f（x）-A|都能小于ε.二是“自变量x充分接近x0”的表述转换.上表中的进程由第④步推进到第⑤步是关键.因为教学时不仅要把“自变量x充分接近x0”数学化、符号化，更要定量地建立两个无限过程之间的联系，因此，为了使学生理解转换过程，教学需要具体化.如第④步能否实现，可以通过计算试一试：ε取一具体值ε1，要使|f（x）-A|<ε1，那么x离x0有多接近？即x与x0的距离在多少以内，能使函数值f（x）与A的距离在ε1以内？即“0<|x-x0|<？时，|f（x）-A|<ε1.”通过图形计算（即函数图像上的点的坐标计算）或不等式|f（x）-A|<ε1计算寻找这样的范围（即δ）.ε可再取一些值，体会寻找具体的δ的过程和方法.在此基础上，形成第⑤步的表述水到渠成.

3.对极限形式化定义的整体意义的领悟

经过上述抽象过程获得形式化定义之后，因为定义中的符号多，逻辑层次复杂，需要对符号的关系及逻辑结构的语义作整体性认识.整体领悟的方法通常有如下几种：一是函数极限形式化定义的几何意义;二是用更为简洁或易于理解的等价表述方法;三是定义的否定形式;四是类比或比喻.例如，定义可以看成甲与乙两个人之间的竞赛或对抗[5].

4.关于函数极限形式化定义的两个关键问题

函数极限形式化定义教学中的难点众多，但在教学中以下两个问题甚为关键.

（1）形式化定义如何以“有限”展示“无限”

有学生提出，“根据函数极限的ε-δ定义，要说明‘A是x趋于x0时函数f（x）的极限需要无数步的验证，给出具体的ε1，ε2，ε3，…，找出相应的δ1，δ2，δ3，….这是不可能实现的，从而不能保证A是它的极限.”事实上，涉及类似无限的命题是常见的，并非极限概念特有的.例如，要说明一个函数是偶函数，不必把无数对互为相反数的函数值求出来检验;利用定义证明直线与平面垂直，也不必检验直线是否与平面内所有直线都垂直.一步的完成，意味着无穷多步类似推理的完成，或者说一件事等价于无穷多件的现象，这在变量数学里是常见的.这种现象恰恰反映出数学统一的思想和经济思维的特点[6].只要能找出ε与δ的关系，即可替代无数步的检验，以有穷的方式讨论无穷.

（2）形式化定义的否定形式

逻辑关系复杂的命题，要给出其否定形式也会很困难.要理解形式化定义的否定形式，需要从具体的函数出发.例如，要说明limx→3（2x-1）不等于5.1，假设5.1是x趋于3时函数f（x）=2x-1的极限，那么对任意给定的正数ε，都能找到正数δ，当0<|x-3|<δ时，使|f（x）-5|<ε.例如当ε=0.5时，则能找到δ=0.2时，使|f（x）-5|<0.5.但是当ε=0.05时，通过计算发现，这样的δ找不到了，或者说此时不管δ取什么样的正数，在集合{x|0<|x-3|<δ}中都能找到x不滿足|f（x）-5.1|<0.05.这说明limx→3f（x）不等于5.1.在此基础上讨论函数在某点极限不存在的情况就变得容易了.当然也可利用一些可探索的信息技术环境帮助学生表达和理解极限定义的否定形式，而不必只从纯逻辑角度机械地以对偶形式给出否定形式，以避免“只讲推理，不讲道理”.

三、 函数极限概念教学中的情感支持

数学情感是数学学习是否满足学生自身求知欲需要的一种体验，它是在数学学习过程中产生和发展起来的.数学概念的抽象性与严谨性决定了要形成对数学学习的兴趣，需要长期积极情绪体验的积累.厌恶甚至痛苦的数学体验会让学生失去学习的兴趣，进而影响对数学的认知.而函数极限概念符号众多，语义抽象，令学生望而生畏.

首先，要努力融化极限形式定义的“冰冷”形式.事实上，极限形式定义是一种普通的静态定义形式.从逻辑角度看，其外层逻辑结构在中学里是常见的[7]，如“函数f（x）（x∈D）是无界的”，可定义为“M>0，x∈D，使|f（x）|>M.” 只是里层的结构由一个简单命题变成了一个复合命题（假言命题），增加了理解的困难.对此，只要坚持从特殊到一般、从具体至抽象的概念教学原则，努力展示定义中的抽象符号与图形、数值或者可理解的自然语言的联系，甚至借助信息技术手段，完全能让学生产生火热的思考.

其次，弥补教师教学中的情感缺失.无法动之以情，何以晓之以理？教师需要“以情生情”，如果学习极限概念时向学生夸大其“枯燥、困难、高度抽象”，不宽容学生的错误，那么教学效果会适得其反.张奠宙先生谈到他自己开始学习ε-δ定义时，他的老师徐润炎先生在黑板上写“ε”的读法是“一不是龙”，至今使其印象深刻[8].有时教师的一个小小的轻松幽默，一个符号的历史挖掘，或者一个有趣的类比，让学生不仅对教师印象深刻，还能把这样的情感迁移到所学知识上来.M·克莱因主张，教师不应害怕幽默，而应随意使用它[9].波利亚的教学三原则，特别是最佳动机原则，强调了培养学生对数学情感以及利用它进行教学的重要性[10].所以教师在教学的时候，也需要情感设计，努力让学生在学习过程中保持积极的情绪状态，获得更好的情感与成就体验.

最后，向学生提供通俗易懂的极限相关的阅读材料.培养学生的数学阅读兴趣是培养学生积极的数学情感的有效途径.以深入浅出的方式讲解极限的概念，特别是其形式化定义的阅读材料还很缺乏.正如柯朗所言：遗憾的是有些作者故弄玄虚，他们不做充分的准备，而只是把这个定义直接向读者列出，好像作些解释就有损于数学家身份似的[5].

四、结束语

从其历史过程看，“历经数千年时间，仍然没有ε-δ的影子，那么要让学生短短数十分钟掌握‘ε-δ语言并不是一件容易的事情”[11]，因此，极限概念的理解与其他许多数学概念一样，需要经历特殊到一般、实践与认识的不断反复与深化.另外，虽然极限形式化的定义是为了摆脱对朴素直观的依赖，但在学生头脑中的心理表征并非是相应的形式化定义，所以有必要充分发挥图形图像、数表的教育功能，采用类比、数形结合、一般化或特殊化等方法，借助信息技术手段，创设出与形式化定义相一致的精致直观，使学生产生恰当的概念意象.总之，极限形式化定义是一种普通的静态定义形式，通过精准施策，学生是可以理解的，多年的教学实践也表明了这一点.

【参考文献】

[1] （日）米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛正中，吴素华，译.四川：四川教育出版社，1986：73.

[2]涂荣豹.数学教学认识论[M].江苏：南京师范大学出版社，2003：294-301.

[3]张伟平.文科学生学习微积分前对无限的认识层次分析[J].数学教育学报，2006（3）：54-59.

[4] （荷）弗莱登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等编译.上海：上海教育出版社，1995：346-349.

[5] （美）R·柯朗，H·罗宾.什么是数学[M].左平，张饴慈，译.上海：复旦大学出版社，2008：299.

[6]阴东升，卞瑞玲，徐本顺.数学中的特殊化与一般化[M].江苏：江苏教育出版社，1996：47.

[7]郑君文，张恩华.数学逻辑学概论[M].安徽：安徽教育出版社，1995：202-204.

[8]张奠宙.微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考[J].高等数学研究，2006（2）：2-4.

[9]汪晓勤.M·克莱因的数学教育思想与高等数学教学[J].曲阜师范大学学报，2004（4）：106-110.

[10] （美）G·波利亚.数学的发现[M].刘景麟，曹之江，邹清莲，译.北京：科学出版社，1981：158.

[11]任芬芳，汪晓琴，陈玲玲.美国早期数学教科书中的极限概念[J].数学教育学报，2017（4）：38-43.