某类亚纯多叶函数子类的包含性质

陈 帆,秦 川,李小飞

(1.长江大学 工程技术学院,湖北 荆州 434000; 2.长江大学 信息与数学学院,湖北 荆州 434000; 3.澳门大学 数学系,澳门 999078)

设∑p表示单位去心圆盘E={z∈C,0<|z|<1}=U{0}内具有下列形式

(1)

的p叶解析函数族, 用Pk(ρ)表示单位圆盘U内解析且满足下列条件的函数p(z)的集合

(2)

其中：z=reiθ,0≤ρ<1,k≥2.函数类Pk(ρ)由Padmanabhan等[1]引入并被许多作者研究[2-5].对参数k,ρ进行取值,得到以下特殊函数类

(1)Pk=Pk(0)由Pinchuk[6]引入并研究;

(2)P(ρ)=P2(ρ)为实部大于ρ的函数类,P=P2(0)为正实部函数类, 由Aouf[7]引入并研究.

容易验证,p(z)∈Pk(ρ)当且仅当存在函数p1,p2∈P(ρ)，使得

(3)

若f(z)∈Σp由(1)式给出, 对μ>0,a-b≥0,El-Ashwah等[9]定义了积分算子函数

(4)

其中：μ>0,a-pμ>0,b-pμ>0,a-b≥0,l>0,λ>0,m∈N0,p∈N.

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

1 主要结论

引理1[17]设p(z)在U内解析,且p(0)=1,α∈C,Re(α)≥0(α≠0), 若

则

Rep(z)>γ+(1-γ)(2σ-1),

如果不做特殊说明,下文中参数均满足条件

μ>0,a-pμ>0,b-pμ>0,a-b≥0,l>0,λ>0,m∈N0,p∈N.

证明记

(11)

则p(z)在U内解析.对(11)式两边取导数并运用(5)式,得到

(12)

(13)

且满足

即

(14)

由引理1和(13)式,得

由于pi(z)∈P(ρ1),i=1,2,由(14)式,p(z)∈Pk(ρ1),即

证明记

(15)

则q(z)在U内解析.对(15)式两边取导数并运用(6)式,得到

(16)

(17)

且满足

即

(18)

由引理1和(17)式,得

Reqi(z)>ρ2=ρ+(1-ρ)(2σ2-1),

由于qi(z)∈P(ρ2),i=1,2,由(18)式,q(z)∈Pk(ρ2),即

证明记

(19)

则h(z)在U内解析.对(19)式两边取导数并运用(7)式,得到

(20)

(21)

且满足

即

(22)

由引理1和(21)式,得

Rehi(z)>ρ3=ρ+(1-ρ)(2σ3-1),

由于hi(z)∈P(ρ3),i=1,2,由(22)式,h(z)∈Pk(ρ3),即

设f(z)∈∑p, 文献[17]引入了一类新的积分函数Fβ(z),定义为

容易验证,Fβ(z)满足下列性质

(23)

(24)

(25)

下面讨论关于函数Fβ(z)的包含关系.

证明由定义知

(26)

对(26)式两边取导数并运用(23)式,得到

(27)

即

证明由定义知

(28)

对(28)式两边取导数并运用(24)式,得到

(29)

即

证明由定义知

(30)

对(30)式两边取导数并运用(25)式,得到

(31)

即