考虑绕组间全电容参数的牵引变压器频率响应建模

周利军，李 威，江俊飞，刘桓成，高仕斌

(1.西南交通大学 电气工程学院，四川 成都 610031;2.中国工程物理研究院 材料研究所，四川 绵阳 621908)

牵引变压器是牵引供电系统的核心设备之一，其能否可靠运行直接关系到牵引供电系统的安全与稳定[1]。由于牵引负荷波动性较大，短时可能出现严重的过负荷现象，且易发生短路故障。绕组在大电流冲击下承受巨大的电磁力，当其机械强度不足时，可能发生各种形变、整体的轴向移位、局部的曲翘变形等[2-4]。因此，开展变压器绕组变形诊断技术的研究尤为重要。

频率响应法由于具有抗干扰能力强、灵敏度高、重复性好等优点，是目前国内外诊断绕组变形的主要方法之一[5-7]。该方法的研究工作主要集中在建模仿真、小型化物理模型实验以及现场实测这三类。在仿真建模方面，目前主要采用的仿真模型有黑箱模型、多导体传输模型、集总参数电路模型。黑箱模型是通过矢量匹配法拟合测量得到的导纳矩阵来对变压器绕组进行建模，但其无法反映变压器内部绕组的具体信息[8-9]；多导体传输线模型是基于传输线理论的分布参数模型，是将线匝模拟成多根相互耦合并且首尾相连的多导体传输线，由于大型变压器线匝数量庞大，该方法的计算工作量大[10-12]；混合多导体传输模型基于行波理论和多导体模型提出，将一个线饼作为一根传输线以简化建模，但是模型的精确度降低，更多用于高频分析[13-14]；集总参数电路模型以单个或多个线饼为单元，通过电阻、电感、电容等基本单元构建绕组等效电路，该方法既简化了建模计算，又能够准确反映变压器内部的具体结构信息[15-17]。

小型变压器的集总参数电路模型的线饼单元较少、结构简单，受不同线饼间电容的影响较小，其仿真结果精确度较高。但随着变压器容量的增加，其内部线饼数量增加体积增大，绕组结构更为复杂，内部绕组间线饼的不对称性加剧，受线饼间电容的影响较大，而传统集总参数电路模型忽略了该电容的影响，不能准确的描述绕组间电容的耦合关系。为进一步提高大型变压器的频率响应仿真精确度，本文在传统集总参数电路模型的基础上，考虑了绕组间全电容参数，对模型进行了改进。

1 牵引变压器模型

型号为QYS-R-(31500+25000)/220的牵引变压器是组合式V/X接线牵引变压器，由两台单相双柱3绕组变压器置身于同一油箱组成，其中每柱由牵引绕组(T)、馈电绕组(F)和高压绕组(H)构成，T绕组首端与接触网相连，F绕组首端与正馈线相连，T绕组和F绕组的末端相连形成中性点N与轨道相连，具体的接线形式见图1。25 MVA的单相变压器其绕组具体排列结构及尺寸见图2。T绕组和F绕组都是连续式绕组，由70个线饼构成，而H绕组是组合式绕组，其绕制结构较为复杂，包含连续式、纠结式和内屏蔽式绕组三种绕组形式，由82个线饼构成。

图1 V/X牵引变压器接线图

图2 变压器绕组排列结构及尺寸图(单位：mm)

图3 牵引变压器常规集总电路模型

1.1 传统集总参数电路

根据传统集总参数电路模型，建立牵引变压器常规集总参数电路模型见图3，考虑到牵引变压器的线饼数量较多，为减少模型计算量，以双线饼为基本电路单元。n1、n2、n3分别为H绕组、F绕组和T绕组的基本单元数。基本单元由纵向等值电容(Cs1、Cs2、Cs3)、纵向电导(Gs1、Gs2、Gs3)、电感(L1、L2、L3)、电阻(R1、R2、R3)构成，并且考虑绕组之间对应位置的电容(Ck1、Ck2)和电导(Gk1、Gk2)，H绕组和T绕组的对地电容(Cg1、Cg2)和电导(Gg1、Gg2)，以及每个基本单元之间的互感M。其中，T绕组和F绕组饼数一致，都有70个线饼，35个基本单元。而H绕组有82个线饼，41个基本单元，与F绕组基本单元数不对称，利用等效的方法，将H绕组的41个基本单元等效为35个基本单元，建立了传统的集总参数电路模型。

1.2 改进型集总参数电路

由于传统的集总参数电路模型对H绕组单元数进行了等效，并且只考虑了绕组间对应位置的电容，存在较大的误差。为了提高模型的准确性，对传统的电路模型进行改进，不采用等效的方法，而是考虑绕组间每两个基本单元之间的交叉电容，提出全电容集总参数电路模型。图4为全电容电路模型，考虑H绕组的第p个基本单元与F绕组第q个单元之间的交叉电容Cp,q，以及F绕组的第q个基本单元与T绕组第s个单元之间的交叉电容Cq,s。

图4 全电容电路模型图

2 等效参数计算

基于简化的牵引变压器的实际结构，利用数值公式与有限元相结合的方法进行参数计算，其中纵向等值电容、电阻和对地电容用数值公式法计算。考虑到电感参数和3个绕组间的全电容的计算量较大且数值计算误差较大，所以电路模型中的电感、绕组间的电容参数通过在Ansoft Maxwell 软件中搭建变压器有限元模型计算。

2.1 纵向等值电容参数

纵向等值电容Cs包括线匝之间的匝间电容Ct和线饼之间的饼间电容Cd。匝间电容和饼间电容的计算可按平板电容公式[18]

(1)

式中：ε0为真空介电常数；εp为匝间的等效介电常数；da为线饼的平均直径；h1为线匝的净金属高度；ap为匝间绝缘厚度；εd为饼间的等效介电常数；B为线饼的径向宽度；ad为饼间绝缘厚度。

计算纵向等值电容时，基于能量相等的原理，假定电压均匀分布在线饼的各线匝上。对于连续式绕组，运用能量相等的原理，得到双饼的纵向等值电容Cs1[19]为

(2)

式中：N1为连续式绕组双饼的匝数。

由于牵引变压器的H绕组包含普通纠结式绕组，其双饼匝数为42匝，与连续式绕组相比，其相邻线匝的电压差增大。其匝间电容数值会远远大于饼间电容的数值，所以饼间电容的数值可以忽略不计。利用匝间总能量计算得到纠结式绕组的纵向等值电容Cs2[19]为

(3)

式中：N2为纠结式绕组双饼的匝数。

内屏蔽式绕组是将附加的电容线匝直接卷入连续式线饼的内部，并将其端头包好，绝缘悬空断开，所以屏蔽线匝并不参与变压器的正常运行。牵引变压器H绕组包括屏9、屏7、屏5、屏2四种内屏蔽跨二段屏式绕组，具体结构形式见图5，内屏蔽式绕组的纵向等值电容Cs3[19]为

(4)

式中：N3为单饼屏蔽线匝的匝数；N4为单饼工作线匝的匝数；b为工作线匝的总厚度；b′为屏蔽线匝的总厚度。

图5 内屏蔽式绕组

2.2 对地电容参数

电路模型中的对地电容，按同轴圆柱的电容公式，包括H绕组对油箱壁的电容Cg1和T绕组对铁心的电容Cg2为

(5)

式中：εg1、εg2分别为H绕组与油箱壁间的等效介电常数和T绕组与铁芯间的等效介电常数；Ry为油箱内壁的等效半径；Rw为H绕组的外半径；Rn为T绕组的内半径；Rt为铁芯的外接圆半径；hz为线圈的高度。

2.3 电阻参数

计算串联电阻时，考虑高频情况下的集肤效应，每个基本单元的电阻

(6)

式中：l为基本单元的长度；w为导体横截面的径向厚度；h为导体横截面的轴向高度；μ为导体的磁导率；f为频率；σ为导体的电导率。

2.4 电感参数

根据牵引变压器的实际结构尺寸和材料特性，在Ansoft Maxwell 软件中搭建变压器有限元模型，见图6。由于垫块、纸筒等对电感的计算影响较小，建模时忽略线饼之间的垫块以及线圈之间的绝缘纸筒和撑条。为了得到变压器模型的电感矩阵，进行一系列的3维静磁场模拟，对于n个导体的系统，系统自动进行n次场模拟，基于静电储能原理得到导体间的电感

(7)

式中：Wij为第i个单元与第j个单元之间的储能；Bi为第i个单元施加电流产生的磁通密度；Hj为第j个单元施加电流产生的磁场强度。

(8)

式中：Lii为第i个单元的自感；Wii为对第i个单元施加电流I后的磁场储能。第i个单元与第j个单元之间的互感Mij

(9)

图6 变压器有限元模型

2.5 绕组间的电容参数

求解绕组间的电容时，将求解区域的介电常数设为绕组间的等效介电常数。利用三维静电场分析得到绕组间的全电容矩阵C

(10)

式中：Cij为第i个单元与第j个单元之间的互电容；Cii为第i个单元的自电容，其数值是与其他单元互电容的总和。电容和静电能量的关系为

(11)

式中：W为静电能量；在三维静电场下电容矩阵C中的元素为

(12)

3 集总参数电路的数学模型

根据改进后的集总参数电路模型，建立以电感电流和节点电压为状态变量的多端口状态空间方程

(13)

式中：G为电导矩阵；L和R分别为电感矩阵和电阻矩阵；V和I分别为节点电压向量和电感电流向量；Г为系数矩阵；电导矩阵G=2πfCtanδ，δ为导体绝缘介质损耗角；矩阵C和Г可通过下面的式子构造得到

(14)

(15)

式中：CHF为H绕组与F绕组的全电容矩阵；CFH为CHF的转置矩阵；CFT为F绕组与T绕组的全电容矩阵；CTF为CFT的转置矩阵；O1和O2为零矩阵。

当在外部给节点k注入一个电压Vk时，有

(16)

式中：P为由矩阵Г去掉第k行后的第k列元素构成的矩阵；Q为由矩阵C和矩阵G去掉第k行后的第k列元素相加再乘以jω构成的矩阵，ω为角频率。

据式(16)，得到

(17)

对式(17)进行拉普拉斯变换，得到所有节点电压和电感电流相对于施加电压的传递函数H(s)

(18)

式中：E为单位对角矩阵；s为拉普拉斯算子。

4 仿真分析及试验结果验证

为了验证本文所提的改进型集总参数电路模型的准确性，根据实际的牵引变压器进行建模，利用公式法和有限元法得到电路模型中的各个参数，然后通过状态方程计算得到频率从1～100 kHz的改进模型和传统模型的频响仿真曲线，将其与现场实测曲线进行对比。图7为现场的测试图，试验对象是QYS-R-(31500+25000)/220牵引变压器，试验采用的仪器是FRAX99绕组变形测试仪，分别测量了其中25 MVA变压器3个绕组的频响曲线。

图7 现场测试牵引变压器

图8 不同绕组牵引变压器仿真与实测频响曲线

图8为牵引变压器3个绕组仿真频响曲线与实测曲线的对比图。由图8(a)和图8(b)可以看出，T绕组和F绕组的仿真曲线与实测曲线图的吻合程度较高，显示出相同的变化特征，并且曲线中存在两个明显的特征频率谐振带，在特征频率带内，改进模型的频响曲线更加接近实测曲线。频率较低时，虽然绕组的容抗较大，感抗较小，频率响应在低频部分主要受电感的影响，但是考虑绕组间的全电容更加能够反映出绕组内部的耦合关系，所以改进型的频响曲线比传统曲线更加接近实测曲线。随着频率的增大，绕组的感抗增大，容抗减小，频响曲线受外部接线及杂散电容的影响较大，并且铁芯的涡流效应以及导体的集肤效应和邻近效应会导致电感参数随频率变化，所以仿真曲线与实测曲线相比，谐振频率点有一定的偏移。图8(c)为H绕组的传统模型曲线、改进模型曲线和实测曲线对比图，与T、F绕组的频响曲线明显不同，由于H绕组是组合式绕组，由连续式绕组、纠结式绕组和内屏蔽式绕组构成，绕组串联电容参数相比T、F绕组复杂。H绕组的频率响应具有阻尼共振和反共振的“驼峰”形响应特征，这些反谐振是由绕组屏蔽部分的高串联电容引起的。H绕组在30 kHz左右出现明显的反谐振点，之后随着频率的增大，曲线幅度平缓的增加，平滑的响应清晰地描述了组合式绕组的FRA特性。从图8(c)中可以看出H绕组频响曲线也存在两个明显的特征频率谐振带，仿真曲线与实测曲线在特征频率带内的谐振点频率上吻合较好，且曲线的变化趋势一致，显示出相同的变化特征，但是整体仿真曲线上比实测曲线表现出更快的幅值增加趋势。由于高压绕组结构上的特殊性和复杂性，仿真结果是经过一定的等效和简化，对地电容、纵向等值电容以及电感的计算与实际值会存在一定的偏差。H绕组对地电容包括对油箱壁的电容、对另一柱高压绕组的电容以及对同一油箱内另一台变压器的电容，电容效应较为复杂，简化为利用同轴圆柱电容计算公式导致了误差的存在。数值计算H绕组的纵向等值电容时，由于H绕组线饼间油道有不同的高度，为了简化建模和计算，取油道的平均高度作为等效的油道高度，所以纵向等值电容的计算值与实际值也存在一定的偏差。有限元计算H绕组的电感的误差在于将内屏蔽式绕组的屏蔽线匝的厚度计入了正常运行的工作线匝中，导致高压绕组的电感值较实际值偏大，并且没有考虑绕组电感随频率的变化。

表1～表3分别记录这三个绕组在特征频率带下的谐振频率和幅值，由表1～表3可知，对比传统模型的谐振点，改进的集中参数电路模型的谐振点更加接近实测值。

由图8和表1～表3可以看出，与传统模型相比，改进的集总参数电路模型的仿真频响曲线与实测曲线的吻合程度更好，从而验证了改进的集总参数电路模型的准确性。

表1 T绕组不同特征频率带谐振点仿真与实测值

表2 F绕组不同特征频率带谐振点仿真与实测值

表3 H绕组不同特征频率带谐振点仿真与实测值

5 结论

(1)低频下，考虑绕组间的全电容参数更能反映出绕组内部的耦合关系，使谐振点与实测曲线更加吻合。

(2)随着频率增大，频响曲线受外部接线及杂散电容的影响较大，铁心的涡流效应以及绕组自身的集肤效应与邻近效应越来越明显，电感参数数值会随频率改变，所以集总参数电路的频响曲线与实测曲线相比，谐振频率点存在一定的偏移。

(3)对比传统的集总参数电路模型，本文提出的考虑绕组间全电容的改进型集总参数电路模型，在仿真变压器绕组频响曲线时更加精确，能为绕组的故障模拟及预测提供更为可靠的理论依据。