不连续伽辽金积分方程区域分解方法在定常迭代中的收敛性研究

(1.成都师范学院物理与工程技术学院 四川 成都 611130；2.电子科技大学能源科学与工程学院 四川 成都 611731)

引言

表面积分方程方法在电磁散射和辐射问题中得到了广泛的应用。为了降低矩量法求解积分方程时所面临的O(N2)的计算复杂度和存储复杂度，快速算法获得了极大地发展[1]。但对于电大问题来说，其求解过程仍需要大量的计算机存储资源，而这可能超出当前平台的计算能力。为了降低电大问题求解过程中对计算机内存资源的需求，提高当前平台的计算能力，可以通过逐个求解子问题的方式来求解原问题。为此，采用经典的定常迭代思路来求解原始问题的区域分解方法应运而生。文献[2]提出了一种前后向迭代方案，引入了一定长度的缓冲区以抑制不必要的伪边缘效应。文献[3]采用了多边缓冲区，实现了更快的收敛速度。文献[4]使用了一层三角形单元作为缓冲区，降低了子域问题中缓冲区上的额外未知量数目，并通过引入电流连续性条件的方式，抑制伪边缘效应，获得了稳定的收敛效果。

以上方法均属于重叠型区域分解方法。文献[5]提出了一种非重叠型区域分解方法，可以采用定常迭代法进行求解，以实现较少的存储资源占用。为了在不引入人工端面的条件下，构造非重叠型区域分解模型，并使用定常迭代法进行求解，文献采用了显示边界条件来约束边界处两个相邻的半Rao-Wilton-Glisson(RWG)基函数的系数，获得与原问题等价的区域分解问题，同时生成一个超定的线性方程系统。该超定线性系统通常需要法方程方法进行求解，这可能导致迭代收敛相对变慢。最近，文献提出了一种基于不连续伽辽金方法的非重叠型区域分解方法，并采用Krylov子空间迭代法进行求解。但当采用定常迭代法进行求解时，由于其引入的内罚稳定参数具有明显的频率相关性，导致外层迭代的收敛性对工作频率十分敏感，甚至在某些频段内收敛缓慢。

为了在宽频带内实现定常迭代法的快速收敛，本文使用了一个与频率无关的内罚稳定参数，用于求解采用均匀网格剖分的电大导体目标的电磁散射问题。这个参数正比于平均剖分尺寸，并反比于工作波长。为了验证该参数对迭代收敛性的影响，对给定了几何尺寸的某一目标，本文首先考察了该频率无关的稳定参数和原始参数，在频率范围为0.1GHz到10GHz下的迭代矩阵谱半径。然后对比考察了相同工作频率下，使用这两个参数的迭代收敛速度。此外，本文还讨论了不同子域数目对收敛性和精度的影响。

一、区域分解方法回顾

考虑理想导体目标在自由空间中的散射问题。假设目标表面被分为M个子域S=S1∪…∪SM。子域内部的感应电流采用RWG基函数展开，跨边界电流则采用单极RWG基函数展开。利用导体表面的切向边界条件，并采用伽辽金测试方法，可以建立如下的电场积分方程(EFIE)和磁场积分方程(MFIE)：

(1)

(2)

其中

(3)

(4)

(5)

CFIE=αEFIE+(1-α)η0×MFIE,α∈(0,1)

(6)

式中，α为比例因子，通常取0.5。

二、定常迭代形式

对上述方程采用分域基函数离散，并采用伽辽金方法测试后，可以获得如下的线性系统(假设M=2)：

(7)

其中Am是子域Sm上的CFIE阻抗矩阵，Bm,n是子域Sm到Sn的耦合矩阵。为了利用有限的内存资源求解电大问题，上述矩阵方程可以采用定常迭代法来求解，允许计算机一次仅处理一个子域问题。该迭代过程可以表示为：

(8)

对于式(8)所对应的子域Sm上的矩阵方程，可以采用 Krylov子空间迭代法GMRES进行求解。求解式(8)的一次迭代称作内层迭代，而求解所有子域的一次迭代称为外层迭代。在第k外层迭代后的相对残差定义为：

(9)

其中‖·‖表示一个复向量的二范数。当ε(k)小于给定的误差门限后，外层迭代停止。多层快速多极子方法[3]被用来加速(8)中的矩矢相乘运算。

三、收敛性分析

Mx(k+1)=Nx(k)+b

(10)

其中A=M-N是对原始矩阵A的一个分裂。在本文中，分裂后的矩阵M和N可以具体表示为：

(11)

(10)式是否收敛到真解x=A-1b，取决于迭代矩阵G=M-1N的特征值。如果G的谱半径ρ(G)=max{|λ|:λ∈λ(G)}小于1.0，则由(10)式定义的近似解序列{x(k)}将会收敛于x=A-1b。此外，谱半径越小，收敛速度越快。

图1 金属球的表面分区

然后我们考察了固定目标的几何尺寸，改变工作频率对定常迭代收敛性的影响。在这个算例中，目标的电尺寸是随着频率的变化而变化的。考察一个半径为r=1m的金属球，工作频率分别选取为0.1GHz和3GHz。同样地，该目标被分为两个子域，如图1所示，并采用边长为0.1λ0的三角形网格进行均匀剖分。表1给出了采用不同稳定参数收敛到ε=10-3时的外层迭代次数。可以看到，采用本文参数时，定常迭代的收敛性不随频率的变化而变化，且保持较快的收敛速度。

图2 不同稳定参数下的迭代矩阵谱半径

表1不同稳定参数下的迭代收敛情况(ε=10-3)

Freq.(GHz)0.11β=0.15|loghλ-10|77β=0.1|logh|157

四、数值算例

在这一部分，数值算例用于验证改进方法的正确性和有效性。本文数值算例在一个配置为双核CPU(频率为3.2GHz)和2GB内存，搭载Win64操作系统的个人计算机上完成。算例1为金属立方体目标，考察不同子域数目对外层迭代收敛性的影响。算例2为金属球为目标，用于验证分区数目对计算精度的影响。

图3 不同子域数目下的收敛情况

图4 目标区域分解示意图

图5 目标计算结果对比

算例1 选择2m×2m×2m的金属立方体作为计算目标。将该立方体分别划分为 4、16和56个子域，如图3所示。入射波频率为300MHz，入射角度为 θ=0°，φ=0°，电场沿θ方向极化。图3 给出了不同分区数目下该方法的迭代收敛曲线。从4个子域到 56 个子域，收敛到 10-2所需的迭代次数从 8 增加到 11；而收敛到 10-6所需的迭代次数从 26 增加到 34。从该算例可以看到，在子域数目增加的情况下，该方法稳健性良好。此外，采用4,16,56个分区所需计算内存和所需计算时间跟不采用区域分解方法所需计算内存和计算时间对比可知，使用区域分解方法能有效的降低求解过程中的峰值内存需求，但与此同时，计算时间会有所增加。

算例2 考虑半径为 1m 的金属球，如图4 所示，在 300MHz 平面波照射下的电磁散射。目标分别8 个子域。为了获得更多的分区，采用边长为 0.1 波长的三角形单元对原目标进行剖分，并将每个单元视为一个区域，共划分出 2586 个子域，平面波入射角度为 θ=0°，φ=0°，电场沿θ方向极化。对于一般的几何模型，改进后的方法在提高单机求解能力的基础上，较原方法能进一步降低求解时间，提高了求解效率。图5给出了使用两种稳定参数下的计算结果对比，吻合良好。

五、总结

使用与频率无关的稳定参数，并选取合适的系数，使定常迭代法在宽频带内稳定、快速收敛，可在降低内存需求的基础上，进一步降低求解时间，提高当前计算平台的求解能力。在固定目标电尺寸和几何尺寸的情况下，使用本文给出的稳定参数，定常迭代的收敛性均不再表现出与工作频率的相关性。