探究一类解析几何最值问题解法

李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

一、典型题目

2.(2017年全国高考数学理科Ⅰ卷第10题) 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为( .

A.16 B.14 C.12 D.10

二、试题分析

从高考题题号我们不难发现，这两道题分别是当年全国高考数学理科卷的把关题、重要题.题目综合考查直线和椭圆、抛物线的知识，背景简单，问题朴实，本质相近.学生上手容易，深入难，得高分更难，对学生的运算能力要求较高，若直线方程形式选择恰当，可以大大减小难度.反之，一筹莫展.

三、解法探究

解答此题的一般思路是先求出焦点坐标，再设直线PQ的斜率为k，用点斜式(特殊情况,另行说明)写出直线PQ的方程，然后将直线代入曲线，利用韦达定理、弦长公式求出|PQ|，借助两直线的垂直关系，同理求得|MN|.最后建立四边形PMQN的面积关于k的函数，求其最值，得解.事实上，这种方法学生很难处理最后的函数关系以及最值求解，导致前功尽弃！(有兴趣的老师可以试一试)

通过研究发现，直线标准式参数方程是解决此类与“长度”相关的解析几何最值问题的好办法.

1.介绍直线参数方程

2.应用直线参数方程

例1(2005年全国高考数学理科Ⅱ卷第21题)

整理得(1+cos2θ)t2+2sinθt-1=0，由韦达定理得

由已知得，直线MN与直线PQ垂直，则直线MN的倾斜角为θ±90°，则

评析此法避开了直线斜率存在与不存在引发的讨论.S与θ的函数关系简单明了，思路连贯，解答所用知识都是最重要、最常见，学生易于掌握的的内容.最重要的是最值容易求得.此法有效避开了传统解法的繁杂运算，不失为一种捷解！

例2 (2017年全国高考数学理科Ⅰ卷第10题)

整理得sin2θt2-4cosθt-4=0，

由已知得，直线AB与直线DE垂直，则直线DE的倾斜角为θ±90°，则

所以选A.

例3已知F为抛物线C:y2=2x的焦点，过F作直线l，与C交于A、B两点，则三角形OAB面积的最小值为.

整理得(sin2θ)t2-(2cosθ)t-1=0，

四、总结提升

对于直线与圆锥曲线相交，并且是以长度为基础的最值问题，解答方法较多.其中利用直线的标准式参数方程作答最为简捷.解题步骤是：先找到直线经过的定点，再设定直线的倾斜角，再写出直线标准式参数方程，然后联立直线和曲线，依靠韦达定理，应用参数t的几何意义得到弦长，最后借助三角函数求得最值.

变式题已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点(B,E在第一象限)，则四边形ADBE面积的最小值为____.

略解由例2解答知，

一般地,由直线参数方程易得：若MN，PQ是过抛物线y2=2px的焦点F的两条互相垂直的弦，则|MN|+|PQ|的最小值为8p；四边形ADBE面积的最小值为8p2(N，Q在第一象限).

波利亚说过：中学数学教学的首要任务是加强解题训练.但是数学教师如何才能让教学不掉入“题海”之中呢？关键在于对问题的全面深入研究，教给学生最为简捷的方法，使之能成为学生的技能，在解题中能熟练运用！使学生能举一反三，触类旁通.达到“做一题，会一片，懂一类”的效果.只有这样，我们才能保证教学的有效性.