双曲导数的Schwarz-Pick不等式的一个推论

李晓焱

(榆林学院 数学与统计学院，陕西 榆林 719000)

Schwarz引理在单复变函数论中的重要理论,被人们熟知并广泛应用。从几何观点来看，它主要阐述对于任意的解析变换(满足)，当它把单位圆变换到一个单位圆内的区域上时，圆内任意非零点矩坐标原点的距离没有它的像距坐标原点的距离近，如果某一点的像和该点离坐标原点距离相同，则这个区域是单位圆，变换只是旋转而已。1881年，Poincaré,J.H引入单位圆盘的非欧度量后，得出在单位圆解析自同构映射下，Poincaré度量是不变的。1916年，Pick,G.A在此基础上进行推广，将Schwarz引理重述为在非欧度量下，每一个单位圆盘到它自身的解析映射是距离逐减的映射，即任意两点的像点间的Poincaré度量小于等于这两点的Poincaré度量。

Schwarz-Pick不等式主要探讨解析函数的局部性质，同样也是研究解析函数的主要问题。因此，众多数学学者在此方面进行了大量分析研究并推导。

1 Schwarz-Pick引理[1]及相关定理

(1)Poincaré度量

在单位圆盘D内，对于∶∀z∈D，有

称这个度量为单位圆盘上的Poincaré度量,或是双曲度量。在这个度量下,称

为D内一条可求长弧y的非欧弧长。

在单位圆盘D∈复平面C上,两点间的双曲度量d为

在文献2中，已证明在单位圆解析自同构映射下，Poincaré度量是不变的。任意可求长的曲线的Poincaré度量与其像的Poincaré度量都是相同的。因此，在单位圆内，连接任意两点的最短线是一条圆弧，它所在的圆周与单位圆周垂直，这条弧的非欧长度就是两点间的非欧距离。

设∀Z1，Z2∈D,则z1,z2间的Poincaré距离为

在Poincaré度量下，这两点的距离可定义为连接这两点的曲线弧长的下确界。

对于上述命题，首先可证明z=0到z=r(0

设r是连接0到r的一条曲线，则

若f是分式线性变换，且保持单位圆不变，把z1变为0，z2映在正实轴上，取

要使f(z2)>0，选取适当使其满足。设r=f(z2)，那么z1和z2间的Poincaré距离为

Pick,G.A将Schwarz引理进行改述并推广,设f∶D→D是解析的，则对∀z1，z2，有

由此可知，单位圆到其自身的解析映射使得两点间的非欧距离和弧的非欧长度减少。

若式取z=0，后式z1=Z和Z2=0,就是Schwarz引理的结论。上述结论即为Schwarz-Pick不等式。

(2)Schwarz-Pick不等式

若f是单位圆盘D内的一个解析函数,且有f(D)⊂D,设d(*·*)表示单位圆盘内任意两点间的Poincaré距离,则

d(f(x1)，f(x2))≤d(x1，x2)，∀x1，x2∈D

当且仅当f∈AutD时取等号,上式被称为Schwarz-Pick不等式。

这一引理旨在说明任意解析函数在双曲度量下是不增的，仅仅是一个收缩。于是,Peter.R.Mercer[3]在1997年给出双曲导数的Schwarz-Pick不等式的加强定理。

(3)双曲导数[3]

设f(z)是双曲度量下的解析函数,在单位圆盘D内赋予双曲度量

那么在点z处,f(z)的双曲导数f*(z)是

(4)Schwarz-Pick不等式的相关定理

由此可知,两个双曲导数间的双曲度量是可测的。所以Beardon建立了有关双曲度量下导数的Schwarz-Pick不等式，即得以下定理。

定理1[4]若在单位圆盘D内,f∶D→D是解析函数，但未必是D上的共形自同构，且有f(0)=0,则

d(f*(0),f*(z))≤2d(0,z)

∀z∈D,等号成立的条件是f(z)=z2。

苑文法在此基础上,对前式作改进,得出在双曲度量下得导数更强的Schwarz-Pick不等式，即下述定理2。

定理2[5]若在单位圆D盘内,f∶D→D是解析函数,但不是D上的共形自同构，且有

f(0)=0,z∈D，

则

d(f*(0),f*(z))≤2d(0,z)-2B0,

其中

这里A0即为上述所定义.∀z∈D,当f(z)=Z2时,等号成立。

定理3[6]若在单位圆盘D内,f∶D→D是解析函数,但不是D上的共形自同构,且有f(0)=0,z∈D,则d(f*(0).f*(z))≤2d(0,z)-3B0

这里B0和A0亦是上述所定义的.∀z∈D,当f(z)=z2时,等号成立。

2 双曲导数的Schwarz-Pick不等式的推论

从以上定理可看出，在双曲度量下，导数的Schwarz-Pick不等式是动点到定点的距离,自然而然,我们会想到是否可以将这一不等式进行推广呢,于是得到以下推论。

推论 若在单位盘D内,f∶D→D是解析函数,但不是D上的共形自同构,且f(0)=0,z1,z2∈D,

则

d(f*(z1),f*(z2))≤2[d(0,z1)+d(0,z2)],

其中

是双曲导数。

证明：由定理2 有

d(f*(0),f*(z1))≤2d(0,z1)-2B0,

d(f*(0),f*(z2))≤2d(0,z2)-2B0,

以上两式相加,如上定义,可得到

d(f*(z1),f*(z2))≤d(f*(0),f*(z1))+d(f*(0),f*(z2))≤2[d(0,z1)+d(0,z2)]证毕。

3结语

综上所述，在非欧度量下，Pick将Schwarz引理重述为任一个单位圆盘到自身的解析映射是逐减的映射。并给出了Schwarz-Pick引理的积分形式和微分形式，说明在非欧度量下，弧长在单位圆盘到它自身的解析映射也是逐渐的映射。再对Schwarz-Pick不等式作进一步研究，得到双曲度量下导数的Schwarz-Pick不等式。而关于这一不等式，多数是研究动点到定点的,本文推导出两动点之间的Schwarz-Pick不等式自然具有一定的理论意义和普遍性。