点腐蚀碳素钢管系统随机失效概率模型研究

(西安建筑科技大学管理学院，陕西 西安 710055)

1 前言

碳素钢管是油气输送的主要工具，管道破损不仅影响油气正常输送，还会带来环境污染等问题[1，2]。根据管道事故统计可知，腐蚀是造成碳素钢管结构失效的主要因素之一，它严重影响了钢管的使用寿命[3，4]。因此，合理预测腐蚀钢管的失效概率，为碳素钢管系统提供最优的维修策略，对保障碳素钢管系统的安全运行具有深远的经济和社会效益。

碳素钢管腐蚀损伤主要指由均匀腐蚀、局部腐蚀(点腐蚀)和腐蚀疲劳引起的管道壁变薄和开裂，从而对系统的安全运行造成影响[5，6]。对于发生均匀腐蚀的碳素钢管，面对钢管表面相同的腐蚀损耗厚度，只需要依据钢管的剩余壁厚就可以评估其剩余强度[7]。由于点腐蚀碳素钢管的不同腐蚀位置厚度减少不同，其剩余强度的求解相对较难，目前尚未针对钢管点腐蚀损伤问题形成工程适用的可靠的评定方法。传统的做法是通过等截面损失将点腐蚀等效为均匀腐蚀，该方法评价结果偏于保守[8-10]。因此，针对碳素钢管系统中普遍存在的点腐蚀威胁，对点腐蚀碳素钢管的随机失效概率计算方法进行研究是非常必要和迫切的。

本文根据结构可靠性原理，在合理计算点腐蚀碳素钢管剩余强度的基础上，基于首次穿越概率理论，构建点腐蚀损伤碳素钢管随时间变化的随机失效概率模型，研究了不同因素对预测的安全运行时间影响，为管理者开展腐蚀防护工作提供依据。

2 点腐蚀碳素钢管剩余强度随机模型

2.1 腐蚀点剩余强度

碳素钢管局部腐蚀缺陷会造成钢管薄膜应力集中现象，集中应力达到管材强度极值时钢管结构将会失效[11]。由文献[12]可知，当前国内外腐蚀管道剩余强度评价主流标准有ASME B31G 和SY/T6151，而采用SY/T6151 预测的剩余强度比ASME B31G 更保守，所以采用标准ASME B31G 对局部腐蚀钢管的剩余强度Q进行计算更适用，剩余强度Q求解公式如式(1)～(3):

其中，D为钢管外径，mm；b为钢管壁厚，mm；h为局部腐蚀的深度，mm；L为局部腐蚀缺陷的长度，mm；σf为管材流变应力，MPa；σs为管材最小屈服强度，MPa；mf为流变系数，一般取值1.1；M为膨胀系数。

虽然上述公式给出了局部腐蚀碳素管道剩余强度的计算方法，但是根据碳素钢管点腐蚀缺陷轴向剖面示意图(图1)所示，在忽略相邻蚀坑间完整厚度材料强度的条件下，采用上述公式直接计算点腐蚀碳素钢管的剩余强度，其结果偏于保守[13]。

图1 碳素钢管点腐蚀缺陷轴向剖面Fig.1 Axial profile of pitting corrosion defects on carbon steel pipe

在文献[13]中，通过引入一项强度补偿量(腐蚀层厚度完整材料强度的一半)来弥补上述公式的计算缺陷，所以点腐蚀碳素钢管的实际剩余强度估算公式如式(4):

点腐蚀碳素钢管的剩余强度随腐蚀点的增长而降低，若已知钢管的点腐蚀增长率，可对碳素钢管t时刻的剩余强度进行预测，假设点腐蚀的腐蚀增长率符合线性模型，具体表示如式(5)和式(6)[4]:

其中，h0和L0分别表示局部腐蚀点初始的深度和长度，v1和v2分别表示局部腐蚀点深度和长度方向的腐蚀速率。

综上所述，点腐蚀碳素钢管的剩余强度表达式如式(7):

2.2 随机过程模型

碳素钢管系统运行过程中，点腐蚀钢管的剩余强度发生随机变化，根据点腐蚀相关的基本变量可构建碳素钢管剩余强度随机变化过程模型，所以公式(7)可以表示为式(8)[14，15]:

其中:h0，L0，σs，v1，v2，b，D为基本随机变量，在已知各变量概率分布条件下，结合蒙特卡洛(Monte-Carlo)模拟分析可以获取Q(t)的统计数据。

通过引入随机变量ω来描述Q(t)的随机变化过程，ω的均值具有统一性(E(ω)=1)，其变化系数λ是一个常量(λ=0.15～0.25)，所以公式(8)中的随机过程模型可表示如式(9):

其中:Q1(t)是公式(7)中的纯时间函数。由公式(9)可求出Q(t)的均值函数和自协方差函数如式(10)和式(11)所示[16]:

其中:ρ1是Q(t)在ti和tj时刻的相关系数。

3 点腐蚀碳素钢管系统随机失效概率模型

3.1 结构可靠性原理

针对点腐蚀碳素钢管进行结构可靠性分析，首先要建立钢管结构的极限状态函数，表示如式(12)[17]:

其中:G称为安全裕度，xi(i=1，2，…，n)为处于极限状态的变量。

若安全裕度仅与钢管结构承载能力Q和荷载效应P两个随机变量有关，则公式(12)可表示为式(13):

其中:当G＞1 时，管道结构可靠；当G=1 时，管道结构处于临界状态；当0＜G＜1 时，管道结构失效。在点腐蚀碳素钢管系统中，系统在t时刻的状态可用故障函数如式(14):

其中:Q(t)是点腐蚀碳素钢管在t时刻的剩余强度，P0是系统正常运行的操作压力。在钢管结构可靠性问题中，通常采用失效概率Pf衡量钢管结构的安全性，表示如式(15):

其中:P是事情发生的概率。

碳素钢管系统在点腐蚀影响下的失效概率Pf(t)大于系统的故障概率阈值Pa时，系统安全运行存在风险，具体表示如式(16):

其中:TL是特定评估准则下点腐蚀碳素钢管的使用寿命。

3.2 首次穿越概率理论

公式(15)是标准不等式，可以用时变可靠性方法对其中随机变量进行分析求解。在点腐蚀碳素钢管剩余强度Q(t)随机变化过程中，钢管结构的可靠性大小与系统的运行时间紧密相关，由结构可靠性理论中的首次穿越概率可知，在特定的时间段内Q(t)初次小于系统操作压力P0的概率就是系统的失效概率P(t)，具体表示如式(17)[18]:

其中，Pf(0)是系统初始时刻的失效概率，v是Q(t)不断降低的平均速率。由于v在很多实际问题中取值较小，所以公式(17)可以表示如式(18):

根据赖斯准则可以对v进行求解，具体如式(19)[19]:

其中:v0是Q(t)逐渐小于P0的上通速率，分别是时间t时P0和Q(t)的导数，是Z 和的联合概率密度函数。由文献[19]可知，v0可以表示如式(20):

其中:μ和σ是关于Q和的均值和标准差，φ和Φ是关于Q和的标准正态密度函数和标准正态分布函数。由随机过程理论可知，公式(20)中的变量根据函数μQ(t)和CQQ(ti，tj)的取值可按式(21a)和式(21b)求解[20]:

其中，Q和的互协方差函数如式(21f):

由随机过程理论可知，通过对式(10)和式(11)进行求解，式(21a)～式(21f)可以得到解答。

3.3 系统随机失效概率模型

依据系统可靠性分析理论，结合公式(14)可求出点腐蚀碳素钢管系统的失效概率。在点腐蚀碳素钢管系统中各腐蚀点是一个串联系统，该系统中任一单元出现故障都会导致整个系统失效，所以在时刻t时系统的失效概率Pf，s(t)表示如式(22)[21]:

其中，Pf，i(t)是系统中第i个腐蚀点t时刻引起的失效概率，结合公式(15)求解；n是腐蚀点个数。

4 结果与讨论

4.1 研究对象

本研究以某原油输送管道为对象，对所构建随机失效模型进行实例验证。该管道工程于1997 年完成，管道全长3 km，钢材等级为X52，管材最小屈服强度σs为359 MPa，钢管外径D为355 mm，钢管壁厚b为11.9 mm，系统正常运行的操作压力P0为10 MPa。通过对一段碳素钢管观察共发现3 处腐蚀点，各腐蚀点在深度方向的平均腐蚀速率v1为0.12 mm/a，在长度方向的平均腐蚀速率v2为4.5 mm/a，各腐蚀点的初始尺寸如表1 所示。

表1 各腐蚀点初始尺寸Table 1 Initial dimensions of corrosion points

4.2 构建模型的验证分析

结合文中构建的随机失效概率模型，可求出系统的随机失效概率变化曲线，该曲线与公式(15)通过蒙特卡洛模拟方法求解的系统失效概率曲线对比结果如图2 所示，两种方法求解的系统失效概率曲线变化相似。当系统运行到20 和25 a 时，基于上文构建的时变可靠性分析方法求取的系统失效概率分别为0.06 和0.56，基于蒙特卡洛仿模拟方法求解的系统失效概率分别为0.18 和0.99，系统在低故障率下采用两种方法求解的失效概率相差较小，可见系统的故障率越低，采用文中构建的模型对点腐蚀碳素钢管系统随机失效概率进行预测，其结果可靠性越高。

图2 不同方法下的系统失效概率曲线Fig.2 System failure probability curves calculated by different methods

4.3 不同因素对系统失效概率的影响

(1)不同的时间点相关系数对系统失效概率的影响

结合公式(22)，通过以上数据可求出不同相关系数ρ1下的点腐蚀碳素钢管系统随机失效概率，具体的求解结果如图3 所示，不同时间点相关系数的系统失效概率曲线变化相似。当系统可允许的最大失效概率为0.1 时，不同的时间点相关系数ρ1下的运行时间分别为17.5，21和23.5 a；当系统可允许的最大失效概率为0.6 时，不同的时间点相关系数ρ1下的运行时间分别为23.5，25.5和27.5 a。在系统失效概率确定时，不同时间点相关系数下的运行年限相差不大，所以在点腐蚀碳素钢管系统失效的研究中，可以忽略不同时间点的相关性大小对系统失效概率的影响，由随机过程理论可知，该方法保守估计了点腐蚀碳素钢管系统的失效概率，提前预防管道安全事故的发生。

图3 不同的时间点相关系数ρ1对系统失效概率影响Fig.3 Effect of different time-point correlation coefficient (ρ1) on system failure probability

(2)不同的操作压力对系统失效概率的影响

结合公式(22)，通过以上数据可求出不同操作压力P0下的点腐蚀碳素钢管系统随机失效概率，具体的求解结果如图4 所示，不同操作压力下系统失效概率曲线变化明显不同。当系统可允许的最大失效概率为0.1 时，不同的系统操作压力P0下的运行时间分别为16，21 和28 a；当系统的失效概率为0.7 时，不同的系统操作压力P0下可允许的最大运行时间分别为18，27 和38 a。在系统失效概率确定时，不同操作压力下的安全运行年限相差较大，随着系统运行年限的增长，年限差距的大小也在增加，可见系统操作压力的变化对点腐蚀碳素钢管的安全寿命有明显影响。当已知特定失效概率下的系统运行时间时，可以帮助管理者在系统可接受的操作压力下明确碳素钢管实施维修的时间。

(3)不同的腐蚀速率对系统失效概率的影响

图4 不同的操作压力P0对系统失效概率影响Fig.4 Effect of different operating pressure (P0) on system failure probability

结合公式(22)，通过以上数据求取的不同点腐蚀速率条件下的系统失效概率变化曲线如图5 所示，不同腐蚀速率的系统失效概率曲线变化明显不同。当系统可允许的最大失效概率为0.1 时，不同腐蚀速率下的系统运行时间分别为11，21 和40 a；当系统可允许的最大失效概率为0.6 时，不同腐蚀速率下的系统运行时间分别为13，25.5 和70 a。当系统的可接受失效概率确定时，腐蚀速率对系统的安全运行年限影响较大；系统可允许的失效概率越大，不同的腐蚀速率造成的安全运行时间差距越明显。结合研究对象的基础数据，求出系统失效概率为0.1 时的安全运行时间TL为21 年，若资产管理者在21 年中没有对钢管进行过维修和更换，TL代表特定评估准则下点腐蚀碳素钢管系统首次出现故障的时间，它有助于资产管理者制定合理的维修策略，由此可见，准确地测量点腐蚀的腐蚀速率有助于提高碳素钢管系统的可靠性预测。

图5 不同的腐蚀速率(v1和v2)对系统失效概率影响Fig.5 Effect of different corrosion rates (v1and v2) on system failure probability

(4)不同的钢管尺寸对系统失效概率的影响

结合公式(22)，通过以上数据求取的不同钢管尺寸条件下系统的失效概率变化曲线如图6 所示。当系统可允许的最大失效概率为0.1 时，不同钢管尺寸下的运行时间分别为14，21 和24 a。当系统的失效概率确定时，依据图6 中的钢管尺寸变化引起的安全运行时间差距大小可知，钢管尺寸的变小相对会加快系统失效的进程。随着钢管尺寸的变大，点腐蚀碳素钢管系统的安全运行时间也在增加，由此可见，在系统其他参数不变的条件下，大直径钢管的管道壁越厚，系统出现故障的概率越低。

图6 不同的钢管尺寸(D 和b)对系统失效概率影响Fig.6 Effect of different steel pipe sizes (D and b) on system failure probability

(5)不同的管材屈服强度对系统失效概率的影响

图7 不同的管材屈服强度(σs)对系统失效概率影响Fig.7 Effect of different pipe yield strength (σs) on system failure probability

结合公式(22)，通过以上数据求取的不同管材屈服强度条件下系统的失效概率变化曲线如图7 所示，不同管材屈服强度下系统失效概率曲线变化相似。当系统可允许的最大失效概率为0.1 时，不同的管材屈服强度下的运行时间分别为18，21 和23 a；当系统可允许的最大失效概率为0.8 时，不同管材屈服强度下的运行时间分别为23.5，28 和33.5 a。由图7 可见，系统在特定失效概率下不同屈服强度条件下的安全运行时间的差值，伴随失效概率的增大而变大。系统可允许的失效概率越低，失效概率变化曲线相似度越高，这说明低风险条件下，管材屈服强度对点腐蚀碳素钢管系统的失效概率影响较小。

5 结论

针对点腐蚀碳素钢管系统失效评估问题，运用时变可靠性分析方法，结合首次穿越概率理论，在线性腐蚀速率模型的基础上，通过引入随机变量建立了点腐蚀碳素钢管系统随机失效概率模型。借助蒙特卡洛仿真方法验证了所构建模型的可行性，管理者依据模型可求出系统随时间变化的失效概率，为制定合理的管道维修策略提供指导。

运用文中构建的模型对影响系统故障概率的相关参数进行研究发现，系统操作压力和点腐蚀速率是影响碳素钢管系统失效的关键因素，相比可以忽略时间点相关系数和管材屈服强度两者在系统低故障率下对失效概率的影响，同时证实了点腐蚀影响下的大直径钢管管壁越厚，破坏其结构完整性需要的时间越长。