带反应扩散项的模糊复杂网络的同步性分析

张 夏，黄 迟

(1. 太原理工大学 数学学院，山西 太原 030024； 2. 西南财经大学 经济信息工程学院，四川 成都 611130)

0 引 言

由Takagi和Sugeno所提出的T-S模糊模型[1-2]，被广泛认为是高效的数学模型，可以用于多种分析中. 其中，同步性分析在模糊领域备受关注，尤其对于复杂非线性系统. 现如今，各种复杂网络随处可见，并正成为人们日常生活中的一个重要组成部分[3-4]. 因此，拓扑结构和复杂网络的动力学行为被研究人员广泛研究. 与此同时，复杂网络中节点之间的关联比重并不是完全相同的，必然存在着一定的权重而且权重的值不是一成不变的，会随着时间和空间位置的变化而变化. T-S模糊模型便是解决此类问题的高效模型. 然而，在现有研究中，复杂网络中的节点状态仅依赖于时间. 但是在许多情况下，节点状态不仅取决于时间，还依赖于空间变量，这种模型可由非线性的偏微分方程来表示. 通过实验研究知道，当电子在不规则电磁场中运动时，扩散现象是不可被避免的. 带反应扩散项的复杂网络可用来描述多种现象及化学反应，有着广泛的应用[5-6]. 因此，对带反应扩散项的模糊复杂网络进行同步性分析显得尤为重要.

基于T-S模糊模型，Wang H O和Tanaka K等[7-8]提出了状态反馈控制器来逼近反馈环，从而形成T-S模糊模型的控制系统. 根据Lyapunov稳定性理论，Tanaka K等[8]得到了线性矩阵不等式(LMIs)[9]形式的稳定性条件以保证系统的稳定性，并提供了控制器的设计方案，如果对于一系列的LMIs存在公共解，则基于模糊模型的控制系统能够达到同步. 与同步性分析和控制器设计相关的结果已在文献[10-13]中进行汇总.

本文使用分段线性隶属函数研究了带反应扩散项的模糊复杂网络的同步性. 用T-S模糊模型表示带反应扩散项的复杂网络以支持控制器设计和同步性分析. 在分析过程中，采用Lyapunov稳定性理论，通过分段线性隶属函数来逼近原函数，并利用一些矩阵不等式技术，在基于模糊模型(FMB)控制方法下进行同步分析.

1 模糊系统的描述

本节将先介绍文中使用的符号，之后介绍由一组相互耦合的反应扩散神经网络构成的具有反应扩散项的复杂网络.

1.1 符号说明

1.2 带反应扩散项的模糊复杂网络

1.2.1 单个反应扩散神经网络

第i个带Dirichlet边界条件的单个反应扩散神经网络可以被表示为下列偏微分方程(PDEs)

(1)

系统(1)的初值和边界条件为

(2)

(3)

本文中，函数fk(·)(k=1,2,…,n)满足Lipschitz条件，即存在一个正常数ρk，对于任意的ξ1,ξ2∈R有

|fk(ξ1)-fk(ξ2)|≤ρk|ξ1-ξ2|,

(4)

其中, |·|表示Euclidean范数算子. 为了方便起见，ρ=diag(ρ1,ρ2,…,ρn).

系统(1)可简写为

B*f*(zi(x,t)),

(5)

1.2.2 带反应扩散项的复杂网络

本节考虑一个含有反应扩散项的复杂网络, 该网络由N个相互耦合的不同的单个反应扩散神经网络(5)组成，可表示为

B*f*(zi(x,t))+E*ui(x,t)+

(6)

包含N个节点的复杂网络的式(6)的形式可以用一种简洁的形式编写，如下

η(G⊗Γ)z(x,t)+Eu(x,t),

(7)

本文中的复杂网络(7)的拓扑结构是无向加权的. 复杂网络(7)相关的初值和边值条件为

zi(x,0)=Φi(x),x∈Ω,

(8)

zi(x,t)=0, (x,t)∈∂Ω×[0,+∞),

(9)

式中：Φi(x)(i=1,2,…,N)为Ω上的有界连续函数.

1.2.3 带反应扩散项的复杂网络的T-S模糊模型

基于Takagi等的研究[1-2]，类似于非线性常微分方程系统，复杂网络(7)可以用T-S模糊PDE模型表示，其中第i条规则描述如下

Model Rulei:

带反应扩散项的复杂网络为

Bif(z(x,t))+η(Gi⊗Γi)z(x,t)+Eiu(x,t)},

(10)

其中,

(11)

DiΔz(x,t)-Aiz(x,t)+Bif(z(x,t)),

(12)

则其满足式(8)～(9)，及

0=DiΔz*(x)-Aiz*(x)+Bif(z*(x)),

(13)

其中，i=1,2,…,p.

1.2.4 带反应扩散项的复杂网络的T-S模糊控制器

针对T-S模糊模型(11)，设计了一个具有如下格式的c个模糊规则的模糊控制器以逼近反馈环. 模糊控制器的第j条规则描述如下

Controller Rulej:

模糊控制器定义如下

(14)

其中,

1.2.5 带反应扩散项的模糊复杂网络

FMB控制系统由带反应扩散项的变系数复杂网络式(10)和模糊控制器(14)在闭环中连接构成. 根据式(10)和(14)，FMB控制系统为

Aiz(x,t)+Bif(z(x,t))+η(Gi⊗Γi)z(x,t)+

EiKj(z(x,t)-z*(x))].

(15)

根据e(x,t)的定义，由式(15)减式(13)得到误差向量e(x,t)的动态性. 误差系统可描述为

Aie(x,t)+Bif(z(x,t))-Bif(z*(x))+

η(Gi⊗Γi)e(x,t)+EiKje(x,t)].

(16)

2 预备知识

在更深入的研究前，先介绍下列引理及定义.

引理1[14]Ω为满足|xk|

其中x=(x1,x2,…,xq)T.

引理2[15]对于给定的合适维度的任意向量x,y和正定矩阵P>0, 有下列不等式成立

2xTy≤xTPx+yTP-1y.

定义1复杂网络(15)可被称为同步的，如果存在控制输入u(x,t)，使得

式中：z(·，t)为复杂网络(15)的解；z*(·)为复杂网络(16)的唯一解.

3 主要结论

本文通过Lyapunov稳定性理论和一些不等式对模糊复杂网络(15)进行同步性分析. 定理1的充分条件是独立于隶属度函数的，定理2的充分条件依赖于隶属度函数，它提供了一种高效的方法来放松同步性分析结果. 在以下分析中，为了简便，分别把wi(x,t),mj(x,t)表示为wi,mj.

定理1如果存在矩阵P∈RNn×Nn,Kj∈RNm×Nn，对于任意的i=1,2,…,p,j=1,2,…,c，使得

P>0,

(17)

(18)

γij<0,

(19)

证明首先，对误差系统构建Lyapunov函数

其次，沿着误差系统(16)的轨迹对V(t)求导, 得到

f(z*(x)))]}dx.

其中j,l∈{1,2,…,N},k,m∈{1,2,…,n}，得到

(20)

(21)

(22)

令ϑi(x,t)=Cie(x,t), 对于边界条件(9)的(x,t)∈∂Ω×[0,+∞), 则有ϑi(x,t)=Cie(x,t)=0,i=1,2,…,p. 根据引理1，有

(23)

根据引理2和条件(4)，可以得到

2eT(x,t)PBi(f(z(x,t))-f(z*(x)))=

(24)

由式(20)～(24)可以得到

(25)

根据Lyapunov稳定性理论，当γij<0，复杂网络(15)在定义1的意义下是全局渐进同步的. 证毕.

Matlab的LMI工具箱被广泛应用于求解线性矩阵不等式. 定理1的矩阵不等式(18)～(19)不能用LMI工具箱求解. 为了得到式(18)～(19)的解，我们引入推论1，然后利用LMI工具箱从推论1中找到满足条件(26)～(28)的解，为仿真实例奠定基础.

推论1如果存在矩阵S∈RNn×Nn,Mj∈RNm×Nn, 使得

S>0,

(26)

(27)

(28)

证明令S=(P-1)T，对式(17)～(18)左乘ST，右乘S，则有

S>0,

对式(19)左乘ST，右乘S，可得

Yij<0,

(29)

令Mj=KjS，则Kj=MjS-1.Yij可被写为Yij=Wij+STΘΘS. 根据引理3，知道式(29)和 -INn<0等价于式(28)，则复杂网络(15)在定义1的意义下是全局渐进同步的. 证毕.

其具有以下性质

同样，考虑模糊控制器(14)的隶属函数，将mj(x,t)的分段线性隶属函数定义为

其具有以下性质

定理2如果存在矩阵P∈RNn×Nn,Kj∈RNm×Nn,Q∈RNn×Nn，使得

P>0,

(30)

(31)

(32)

γij+Q<0,

(33)

其中

vk(d)(x,t)∈[0,1]且nk(b)(x,t)∈[0,1]，则条件(30)～(33)成立时，基于Lyapunov稳定性理论，复杂网络(15)在定义1的意义下是全局渐进同步的. 证毕.

如推论1的证明，可以根据定理2得到推论2.

推论2如果存在矩阵S∈RNn×Nn，Mj∈RNm×Nn,R∈RNn×Nn，使得

S>0,

(34)

(35)

(36)

(37)

证明令S=(P-1)T，R=STQS，Mj=KjS，则Q=(S-1)TRS-1，Kj=MjS-1. 对式(30)～(33)同左乘ST，右乘S，则有

(38)

Yij+R<0.

(39)

根据Yij=Wij+STΘΘS，式(38)可写为

(40)

同理，式(39)可写为

Wij+R+STΘΘS<0.

(41)

根据引理3，可知式(41)和-INn<0等价于式(37). 则复杂网络(15)在定义1的意义下是全局渐进同步的. 证毕.

注与现有的复杂网络文献相比，文献[5]，[14]研究了带反映扩散项的复杂网络的同步性，并没有采用输入状态反馈控制，本文对于控制输入项使用了状态反馈控制，并且使用了T-S模糊模型对系统进行分析. 文献[13]研究了具有部分和离散耦合的模糊复杂网络的牵引同步，且T-S模糊模型和模糊控制器的设计是相同的，并未考虑到隶属度函数不匹配的情况. 本文考虑了T-S模糊偏微分模型，并且不要求T-S模糊模型和模糊控制器共享相同的隶属度函数，最终得到了一个相比于原先方法更为宽松的充分条件.

4 仿真算例

为降低模糊控制器的复杂度(当使用较少的模糊控制器规则时)，从而达到较低的实现成本，选择了具有3个规则模糊模型和2个规则模糊控制器的算例. 通过比较定理1和定理2 的结果可知，定理2可以得到比定理1更大的同步区域，证明了定理1和定理2的有效性.

考虑如下网络

i=1,2,3,

Bif(z(x,t))-Bif(z*(x))+

η(Gi⊗Γi)e(x,t)+EiKje(x,t)],

其中x∈Ω，Ω={x|-5≤x≤5},e(x,t)∈R3为误差向量. 系统和输入矩阵表达如下

D1=diag(0.4,0.5,0.6),

D2=diag(0.3,0.2,0.5),

D3=diag(0,0.4,0.5),

A1=diag(0.6,0.55,0.27),

A2=diag(0.6,0.9,0.5),

A3=diag(0.5,0.3,0.7),

E1(x,t)=(10,0,0)T,

E2(x,t)=(2,0,0)T,

E3(x,t)=(-b+1,-1,0)T,

Θ=diag(0.5,0.5,0.5),η=0.2,G1=0.1,

G2=0.4,G3=0.2,Γ1=diag(0.5,0.5,0.5),

Γ2=diag(0.2,0.1,0.1),

Γ3=diag(0.1,0.2,0.4).

变量a和b是需指定的常量参数. 隶属函数被选择为

w2(x,t)=1-w1(x,t)-w3(x,t).

用2个规则模糊控制器对误差系统进行控制. 隶属函数选择

m1(x,t)=e-x2×1.52/2,m2(x,t)=1-m1(x,t).

对于该隶属度函数，满足条件的κij值如表 1 所示.

表 1 样本点x=-5,-4,…,5时κij的取值Tab.1 Values of κij for sampled x=-5,-4,…,5

由图 1 可以看出，在1≤a≤8，1≤b≤60的范围内，使用LMI工具箱考虑系统满足LMI式(26)～(28) (推论1(‘+’))的和系统满足LMI式(34)～(37) (推论2(‘o’))的可行解. 使用如上的参数，同步区域如图1所示，同步条件(34)～(37)中包含了更多的隶属函数信息，可以生成更大的同步区域. 因此，所提出的条件(34)～(37)更准确，而且更保守.

图 1 推论1(‘+’)及推论2(‘o’)下的同步性区域Fig.1 Synchronization regions given by the conditions for Corollary 1 (‘+’) and Corollary 2 (‘o’)

5 结 论

本文应用不匹配的T-S模糊模型和状态反馈控制器，使得带反应扩散项的模糊复杂网络达到同步. 根据Lyapunov稳定性理论及使用分段线性隶属函数来逼近原函数的方法，推导出两种不同的同步性判据，一种是利用求解PDE的不等式技巧来得到，另一种是基于第一种判定通过运用分段线性隶属函数的特性得到. 这两种同步性方法相比较，后者更高效，更有说服力. 最后，通过仿真实例验证了该方法的优越性.