弦长问题求解策略

◇ 山东 许翠平

弦长问题是解析几何中的经典问题，也是高考中的热门考点.从理论上讲，利用弦长公式就能解决问题，但实际上，除个别简单问题外，直接利用一般弦长公式会使问题变得非常烦琐，因此，怎样求弦长是师生共同关注和必须解决的问题.

1 弦长问题分类

1.1 一般弦长问题

如果直线y=kx+b 与曲线f（x，y）=0交于两点 A （x1，y1），B （x2，y2），则

1.2 圆的弦长问题

1.3 抛物线过焦点的弦长问题

若A（x1，y1），B（x2，y2），AB 过抛物线y2=2px（p ＞0）的焦点，且与抛物线交于A，B 两点，则

1.4 椭圆、双曲线过焦点且垂直于焦点所在坐标轴的弦长问题

若AB 过椭圆（双曲线）的焦点且垂直于坐标轴，与椭圆（双曲线）交与A、B 两点，则（其中a 为实半轴长，b 为虚 半轴长）.

2 例题解析

例1已知抛物线C：y2=3x 的焦点为F，斜率为的直线l与C 的交点为A，B，与x 轴的交点为P.

解析

设A（x1，y1），B（x2，y2）.

点评

第一问可利用抛物线的焦点弦长公式，第二问求出y1，y2后可以直接利用弦长公式或利用抛物线y2=3x的方程求出x1，x2，即求出A，B 两点坐标，利用两点间的距离公式计算出

例2已知F1、F2为双曲线的两焦点，过F2且垂直于x 轴的直线交双曲线于A，B 两点，求△ABF1的面积.

解析

综上，△ABF1的面积

点评

通径（过焦点且垂直于焦点所在坐标轴的弦）是刻画圆锥曲线的一个重要的量，在解题中灵活应用通径公式往往能收到化繁为简、化难为易的效果.

综上所述，圆锥曲线的弦长问题，往往更侧重于计算能力的考查.在处理这一类型的题目时，一定要梳理清楚解题思路，选择适当的弦长计算公式，耐心计算，才能正确解决问题.