以图导学 理解数对

潘雅芝

[摘 要]直观是理解的基础，数学教学倡导直观教学。图形是一种直观手段，可通过构造图形来描述、分析问题，借助图形来理解数学概念、感悟数学问题本质。实物图、点阵图、格子图是三种不同的直观图，各有不同的意义价值，三类图形构成一个有机的整体，由浅入深，由表及里，它们仿佛三张不同的导航图，为学生指明了学习的方向，带领学生抵达不同段位。

[关键词]数对;座位图;点阵图;格子图

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2020）05-0061-02

直观是理解的基础，数学教学倡导直观教学，直观教学一般包括实物直观和图形直观，一种是借助对真实物体的观察、操作，在实践体验中理解，另一种是借助各式图形的构造、表述，在直观的图形中理解。前者属于基于直觉思维的纯直观，后者是基于分析思维的半直观，在思维层次上，后者优于前者。笔者现以“用数对确定位置”教学为例，谈谈如何以图导学，促进学生理解数对含义，有效建构数对概念。

一、望影揣情——构设座位图

图形是对物的一种描述方式，兼具了形象与抽象的双重特性，其抽象程度高于实物模型，有助于促进表象的丰富与深刻。以图导学，有利于激发学生的形象思维，提高学生“望影揣情”的意识和能力，提升学生的信息解读与领悟效果。在数学教学中，教师既可以充分利用教材中的原有图形引导学生解读其中蕴含的信息，也可以让学生自主构图，利用图形架构起抽象与现实之间的桥梁，以有效突破思维的障碍，助推学生接近事物的本质。

学生的认知一般从形开始，或立体的形，或平面的形，最终由形到数，抽象出数的本质特征。确定位置往往经历了从生活到图形再到数学表达的过程，生活经验是基础，图形方法是跳板。“用数对确定位置”一课的教学重点是：理解数对的含义，掌握用数对确定位置的方法。理解数对的含义是教学的重点，更是教学的难点，为了帮助学生有效理解数对的含义，笔者在教学中构设座位图。教师在教学该课时往往会组织学生从前面观察学生座位。其实，这种教学方式虽然直观，却给学生设置了思维障碍。平面图形中的学生位置与现场位置左右方向相反，学生需要进行二次转换，显然增加了思维难度。对此，笔者在教学时没有让学生进行现场位置的观察，而是给学生出示了一张座位图，直接组织学生“看图说话”。为了避免现场观察角度与图片观察角度的位置不同而引发观察者认识上的混乱，笔者在课前拍摄了本班学生的座位照片，在拍这种照片时，笔者没有站在教室前端拍摄，而是在教室后面往前拍。如此一来，有利于学生观察和理解，解决了学生转换位置的困难，学生不会再搞错从左到右的位置，能够快速而准确地对号入座。学生在座位图中“望影揣情”，为后续的直角坐标的建构和理解做好了铺垫。

座位图属于第一层次的构图，是对真实情况的形象反映，它把生活现实搬上了静态纸面，将立体实物转化为平面图形，既保留了影像的真，又凸显了影像的活，让学生对座位情况一目了然。

二、睹著知微——构造点阵图

借助图形引导学生分析问题是一种直观教学策略，图形可让抽象的数变得形象，把复杂的数学问题变得简明。数形结合可以帮助学生直观地理解问题，进而有效解决问题。

点阵图是数学教学中常用的一种直观教学手段，或用点表示物的个数，或用点表示物的位置。借助点阵图，学生可观图想事，看图说理，透过点阵图的直观捕捉事物的本质。例如，在教学“用数对确定位置”一课时，笔者在构设座位图导学后，将座位图中的一个个学生图像变换为一个个小圆点，使形象的座位图适度抽象化，最终形成点阵图。笔者借助点阵图，引导学生认识“列”和“行”，有了点阵图的支持，学生明确了表达顺序，理解了“列”和“行”的含义，为数对的认识奠定了基础。点阵图的规范性，让学生表达时不再用生活语言，不再说“第几组第几个”，而是学会用数学语言去表达位置，能说成“第几列第几行”，让学生的认识上升了一个层次。点阵图化数对为直观，变隐性为显性，让学生睹著知微，在图形的支撑下建立明显的表象。

点阵图是图形教学的第二个层次，它抹去了学生座位图中的具体外形，让图形变得抽象，但是又没有失去图形的直观性，仍然为学生理解和建构数对提供了思维支撑。

三、鞭辟着里——构思格子图

数学概念的建构过程是一个由表及里、由浅入深的过程，笔者在教学“用数对确定位置”一课时，本着数形结合、逐步抽象的原则，从座位图到点阵图，再到格子图，最后到数对，在各种图形的引领下，学生深入剖析，一步步鞭辟着里，直至建构出数对概念。

格子图是利用方格来构建坐标系，以方格的交叉点表示数对。从原点图到格子图，是一种升华，格子图的抽象性进一步提高，学习难度自然有所增加。“用数对确定位置”中例题2的教学内容是在格子图中认识数对，教学目标是使学生学会用数对确定格子图上点的位置和根据数对在格子图中描出点的位置。该内容是对例题1中原点图的进一步升华，也是通过生活应用加深对数对的理解。格子图的列和行都是用纯数字表示，点阵图中没有原点，而格子图中增加了原点（0，0），这是格子图的一个重要特点，这也是学生思维的盲区。因此，教师在指导学生剖析格子图时，务必要解決好该问题。笔者通过引导学生观察直尺中的“0”，讨论“0”刻度的价值，使学生认识位置起点的重要性，从而引出坐标系的“原点”。在教学中，笔者着力引导学生观察、想象、表达、描点，把对格子图的解读、感悟作为教学的重点，引导学生在格子图的构造与思考中开启思维大门，飞越理解鸿沟，深入理解数对的含义。

格子图是图形教学的第三个层次，也是数对教学的最后一步，它用一道道直线表示列和行，用一个个交叉点让位置的表示更加精准，推动着数对浮出“水面”，能有效揭示数对的本质。座位图、点阵图、格子图是三种不同的直观图，具有一定的梯度和层次，各有不同的意义与价值，三类图形构成一个有机的整体，由浅入深，由表及里，它们仿佛三张不同的导航图，为学生指明了学习的方向，让学生在直观中认识数对，逐步抽象出数对。

图形是一种几何的直观，能够把复杂的数学问题变得形象、简明，帮助学生直观地理解抽象的数学概念。图形的直观催升了“视脑”反馈，提高了思考的效率。“悬思——苦索——顿悟”是治学的三重境界，图形教学的三重境界是“望影揣情——睹著知微——鞭辟着里”，座位图、点阵图、格子图是学生进入三重境界的三张通行证。教师在数学教学中应立足直观教学，借助座位图、点阵图、格子图等图形，以图导学，促进学生理解知识，让学生在数的世界里自由行走、畅通无阻。

（责编 黄春香）