三阶幻方中二次等幂和的初等证明

刘兰芝,文萍,张在明

(1.玉溪市教育科学研究所 云南 玉溪 653100；2.玉溪师范学院 数学与信息与技术学院，云南 玉溪 653100)

洛书古称“龟书”，出现于公元前2200年的大禹时代，传说它是上天派神龟赐给夏禹王的宝典，“天与禹洛出书.神龟负文而出，列于背，有数至于九，圣人则之”.洛书蕴含着天地空间变化脉络图案，被誉为“宇宙魔方”，是中华文明的源头.[1]洛书，又称为九宫图，南宋的数学家杨辉用字诀传授它的构造法，“九宫者，二、四为肩，六、八为足，左三右七，戴九履一，五居中央.”

洛书是中国首创的三阶幻方，是古代数学文化的瑰宝，九宫格中的数字排列十分巧妙，蕴含着丰富的“数字玄机”.最为我们熟悉的是，九宫格中横竖斜格列三个数字之和都等于十五.

4+9+2=15;3+5+7=15;8+1+6=15;4+3+8=15;
9+5+1=15;2+7+6=15;4+5+6=15;2+5+8=15.

除此之外，当我们把数递变为两位数相加时，左右两列数字之和依然相等.以左列的438与右列的276为例加以说明.即43+38+84=27+76+62，从下向上递变依然成立.即83+34+48=67+72+26，递变为三位数依然相等，即：

438+384+843=276+762+627,

从下向上递变数字依然成立，即：

834+348+483=672+726+267.

按照上述规律递变下去为四位数、五位数、六位数，一百位数、一千位数所得的和式依然成立.神奇之处不仅如此，更为神奇的是不管是一位，还是两位数、三位数的平方相加和依然可以左右相等.由此可以引出美妙的逆序二次等幂和等式，共6个，现列于下：

4922+3572+8162=2942+7532+6182=1 035 369

(1)

4382+9512+2762=8342+1592+6722=1 172 421

(2)

4562+2312+9782=6542+1322+8792=1 217 781

(3)

4712+2582+9362=1742+8522+6392=1 164 501

(4)

4562+3122+8972=6542+2132+7982=1 109 889

(5)

4172+3962+8522=7142+6932+2582=1 056 609

(6)

在文献[2]里，黄越用线性代数证明等式(1)(2)(3)(6)，显然对等式(4)(5)其证法也适用.本文用初等代数中的乘法公式，给等式(1)(2)证明，并引出更多的二次等幂和等式.

现在证明等式(1)，为此进行移项、合并，由等式(1)得：

(4922-6182)+(3572-7532)+(8162-2942)=

1 110(492-618)+1 110(357-753)+1 101(816-294)=

1 110(492+357+816-618-753-294)=

1 110×0=0

所以等式(1)成立.

对等式(2)，同样经过移项，合并后得

(4382-6722)+(9512-1592)+(2762-8342)=

1 110(438-672)+1 110(951-159)+1 110(276-834)=

1 110(438+951+276-672-159-834)=

1 110×0=0

所以等式(2)成立.对于其他4个等式的证明也类似，故此省略.

下面再介绍10个新的幂和等式，尚未见于相关资料中，编号排序为(7)到(16)：

1322+5462+9872=9782+5642+1232=1 289 709

(7)

2132+4652+9872=8972+6452+1232=1 235 763

(8)

1322+5472+9862=9782+5632+1242=1 288 829

(9)

2632+4172+9852=8472+6932+1252=1 213 283

(10)

1372+5462+9822=9732+5642+1282=1 281 209

(11)

2312+6452+7892=8792+4652+3212=1 091 907

(12)

3122+5642+7892=7982+5462+3212=1 037 961

(13)

2312+7452+6892=8792+3652+4212=1 083 107

(14)

3622+7142+5892=7482+3962+5212=987 761

(15)

7312+6452+2892=3792+4652+8212=1 033 907

(16)

先说这10个等式的特点，第一，它们非逆序关系；第二，前5个等式与后5个等式却构成一对一的逆序关系，如(7)和(12),(8)及(13)构成逆序关系，同理可类推.它们的证明方法仍然应用移项、合并和平方差公式.以上16个等幂和等式，还可以一一推广，以(16)为例，将其推广为：

(7a+3b+c)2+(6a+4b+5c)2+(2a+8b+9c)2=

(3a+7b+9c)2+(4a+6b+5c)2+(8a+2b+c)2

(17)

证明仍是先移项，合并得：

[(7a+3b+c)2-(3a+7b+9c)2]+[(6a+4b+5c)2-(4a+6b+5c)2]+

[(2a+8b+9c)2-(8a+2b+c)2]=

10(a+b+c)[(7a+3b+c)+(6a+4b+c)+(2a+8b+9c)-(3a+7b+9c)-

(4a+6b+5c)-(8a+2b+c)=

10(a+b+c)×0=0

所以(17)式成立，这里的a，b，c可以为任意的实数.这样一来可以得到16个类似的等幂和等式，由于a，b，c的任意性它可以导出许多具体的数值等幂和式子来.文献[2]中还介绍了两个和式，现列于下：

1392+3972+9712+7132=1792+7932+9132+3172

(Ⅰ)

9512+3572+2582+6542=4562+8522+7532+1592

(Ⅱ)

(Ⅱ)式仍然使用移项、合并和平方差公式来求证，过程省略，现证明(Ⅰ)：

运用公式a2+b2=(a+b)2-2ab，于左边得:

(1392+9712)+(3972+7132)=

(139+971)2-2×139×971+(397+713)2-2×397×713=

2×1 1012-2(139×971+397×713)

同样用于右边得：

(1792+9312)+(3172+7932)=2×1 1012-2(179×931+317×793)

于是(Ⅰ)化归为证明：

139×971+397×713=179×931+317×793

现将上式左边化为：

(555-416)(555+416)+(555-158)(555+158)

右边化为：

(555-376)(555+376)+(555-238)(555+238)

从而等式化归为：

4162+1582=3762+2382

即：

2082+792=1882+1192

再移项成：

2082-1882=1192-792

也就是：

396×20=198×40=7 920

所以等式(Ⅰ)成立.

现仿造两个等式于下：

8422+4262+2682+6842=2482+4862+8622+6242

(Ⅰ*)

13 5792+35 7912+57 9132+79 1352+91 3572=

97 5132+19 7532+31 9752+51 3972+75 3192

(Ⅱ*)

依托广义3阶幻方公式：

x-yx+y+zx-zx+y-zxx-y+zx+zx-y-zx+y

还可把上述等幂和式进一步抽象化，为此以下图中的记号取代广义3阶幻方公式的相应代数式，即：

a4a9a2a3a5a7a8a1a6

也就是说，依序有a1=x-y-z，a2=x-z，a3=x+y,…,a9=x+y+z,这里x，y，z可以取任意实数.这样一来，只要以an取代本文上面诸等式中的数字n便得到更加抽象的等幂和式，以前面的6个等式为例，便有：

(a4a9a2)2+(a3a5a7)2+(a8a1a6)2=(a2a9a4)2+(a7a5a3)2+(a6a1a8)2

(1*)

(a4a3a8)2+(a9a5a1)2+(a2a7a6)2=(a8a3a4)2+(a1a5a9)2+(a6a7a2)2

(2*)

其余同理，不再一一列出，必须说明的是，在证明和运用这些公式时，(aiajak)应理解为ai×102+aj×10+ak，或更广泛的ai×a+aj×b+ak×c.

由于篇幅有限，更具体和细致的讨论就省略了.顺带指出，沈康身先生所著的《数学的魅力(四)》数据有误：1 035 389应为1 035 369；117 242应为117 2421，白璧微瑕，无损大作成就.