关于两个单形顶点的距离、侧面积及体积的不等式及其应用

陈士龙

（安徽广播影视职业技术学院，安徽合肥230011）

0 引言与主要结果

关于欧氏空间En中单形的几何不等式研究，近期取得了很多重要结果，文献[1]收集了大量几何不等式研究成果，其中十分重要又有趣的是涉及两个单形的一类几何不等式。1981年，杨路等[2]将涉及两个三角形的著名Neuberg-Pedoe不等式推广到两个n维单形，建立了涉及两个单形形式的n维Neuberg-Pedoe不等式。随后，苏化明[3]和LENG[4]建立了涉及两个单形体积与棱长的n维Neuberg-Pedoe不等式。最近，冷岗松等[5]建立涉及两个单形体积与侧面积的n维Neuberg-Pedoe不等式，LI等[6]建立涉及两个单形体积与其k维子单形k维体积的k-n型Neuberg-Pedoe不等式，WU 等[7]和LI 等[8]建立涉及两个单形体积与中线的Neuberg-Pedoe不等式，YANG[9]和LENG 等[10]建立涉及两个单形的另一些有趣的不等式。

本文中设欧氏空间En中两个n维单形Ωn={A0,A1,…,An}，Ω'n={A'0,A'1,…,A'n}的体积分别为V,V'，侧面fi={A0,…,Ai-1,Ai+1,…,An}，f'i={A'0,…,A'i-1,A'i+1,…,A'n}的面 积分别为Fi,F'i(i=0,1,…,n)，记最近WU 等[11]建立了涉及两个单形顶点的距离、侧面积与体积的2个重要不等式：

当Ωn与Ω'n皆为正则单形且它们的重心重合时，式（1）～（3）等号成立。杨世国等[12-13]研究了非欧空间中n维Neuberg-Pedoe不等式。

本文研究欧氏空间En中两个单形顶点的距离、侧面积及体积之间的几何不等式问题，得到了几个更一般的几何不等式，此几何不等式是式（1）～（3）的加强推广和指数推广。

对两个n维单形Ωn与Ω'n，设

α,θ∈(0,1]，记

得到本文的主要结果：

定理1对En中两个n维单形Ωn与Ω'n，α,θ∈(0,1]，有

当Ωn与Ω'n为正则单形且它们的重心重合时，式（4）～（6）等号成立。其中，

在定理1中，若令θ=α=1，便得到不等式（1）～（3）的加强推广：

推论1对两个n维单形Ωn与Ω'n，有

当Ωn与Ω'n为正则单形且它们的重心重合时，式（8）～（10）等号成立。

由于τn≥1,τ'n≥1，所以不等式（8）～（10）分别为不等式（1）～（3）的加强推广。

由定理1可得不等式（1）～（3）的指数推广：

当Ωn与Ω'n为正则单形且它们的重心重合时，式（11）～（13）等号成立。

在不等式（11）～（13）中,若取α=θ=1，便得不等式（1）～（3）。

1 定理的证明

为证明定理1，需先证明以下引理。

引理1[11]设En中两个n维单形Ωn与Ω'n的棱长分别为

当且仅当质量组 {Ai(xi);i=0,1,…,n}与{A'i(x'i);i=0,1,…,n}的重心重合。

引理2对n维单形Ωn，有

当Ωn为正则单形时等号成立。

证明设m个正数bi(i=1,2,…,m)的算术平均值为Am(xi)，几何平均值为Gm(xi)，B=max {bi}，b=min {bi}，利用文献[14]中的不等式

当b1=b2=…=bm时等号成立。

利用文献[15]中的不等式

即当Ωn为正则单形时等号成立。

由不等式（16）、（17），便得不等式（15）。

引理3[5]设Ωn为n维单形，α∈(0,1],λi=则有

当F0=F1=…=Fn时等号成立。

引理4[15]设σN={Ai(mi);i=0,1,…,N}为En中的质点组（N≥n），mi>0（i=0,1,…,N），σN中任意k+1个点Ai0,Ai1,…,Aik所生成的k维单形的k维体积为Vi0i1…ik(0≤i0<…ik≤N)，记

则有

当σN的惯量椭圆为一球时等号成立。

定理1的证明在引理1中，令xi=Fα-2Fi,x'i=Fθ i(i=0,1,…,n)，由文献[5]引理3的证明过程可知，xi>0(i=0,1,…,n)，从而得

在引理4中，取N=n,k=1,l=n-1，此时σN是单形Ωn的顶点集，得

易验证当Ωn为正则单形且m0=m1=…=mn时等号成立。

在式（21）中，令mi=Fα-2Fα i>0(i=0,1,…,n)，得不妨设F0≥F1≥…≥Fn，从而有Fα0≥Fα1≥…≥

令ui=Fα-2Fα i(i=0,1,…,n)，则有u0≤u1≤…≤un，从而有u-10F0≥u-11F1≥…≥u-1n Fn。

设λi(i=0,1,…,n)同引理3，利用Chebyshev不等式、不等式（18）及算术-几何平均不等式，得到

由算术-几何平均不等式，有

由式（20）～（24）得

由式（25）、（15）得

将不等式（21）应用于单形 Ω'n，并令mi=F'iθ(i=0,1,…,n)，得

由式（27）、（15）得

由不等式（20）、（26）、（28），便可得不等式（4）。由证明过程易知，当Ωn与Ω'n为正则单形且它们的重心重合时，式（4）等号成立。

在不等式（14）中，取xi=Fα-2Fα i，x'=F'θ-再由不等式（26）便得不等式（5）。在不等式（14）中，取0,1,…,n)，再由不等式（28）便得不等式（6）。

2 应 用

设K是En中的凸体，如果原点O∈intK，那么凸体K的极体定义为[14]

K*={x∈En/〈x,y〉≤1,y∈K}。由文献[16]知，一个单形Ωn的极体也是一个单形Ω*n，Ω*

n称为单形Ωn的极单形，且其 体积满 足不等式

当且仅当Ωn的重心与原点重合时等号成立。

设n维单形Ωn的极单形Ω*n的顶点为A*i(i=0，1，…，n)，顶点A*i所对的侧面积为Fi*(i=0,1,…,n)，记

对单形Ωn与Ω*n应用推论1、算术-几何平均不等式及式（29），得

推论2设Ω*n为n维单形Ωn的极单形，则有

当Ωn为正则单形且其重心与O重合时，式（30）～（32）等号成立。

由于τn≥1，所以不等式（30）～（32）是文献[11]中结果的加强推广。

设单形Ωn的第i个旁切球半径为ri，第i个侧面上的高为hi，则有[1]

在推论1中，取Ωn与Ω'n为同一单形，并利用算术-几何平均不等式和式（33），得

推论3对n维单形Ωn，有

当Ωn为正则单形时等号成立。

显然不等式（34）～（36）推广了文献[11]中相应的结果。