浅析递推数列中的化归方法

郑庆刚

数学知识是数学能力的载体，数学思想方法是数学知识的高度概括与升华，只有形成了能力才能做到以不变应万变.

数列是高中代数的重点之一，而递推数列是数列中方法比较灵活的一种题型，这类题型可以有效地测试学生的逻辑推理能力、运算能力及综合运用有关知识和方法，检测学生分析解决问题的能力.笔者结合高中数学教学中的经验及实践，对高中阶段递推数列的转化方法做以下总结.

定义1：数列是由任意相邻若干项恒成立的关系式给出的，这种关系式称为递推式.若给出数列的首项及递推公式，则该数列是确定的，这种数列叫递推数列.

定义2：在递推式中，定义f（an，n）叫作数列元，f（an，n）与f（an，n-1）叫作相同结构数列元.

限于篇幅，本文只对相邻两项型递推式做出总结.两项型递推式涉及两个数列元，解决这种类型递推的数学指导思想，就是通过变形化归，使两个数列元统一成相同结构的数列元，从而使递推式变成基本型：等差型an=an-1+g（n）（n∈N+，n≥2）、等比型an=qan-1+r（n）（n∈N+，n≥2）.其程序可用下图表示：

分式线性an=Can-1Aan-1+B取倒数整式线性（等差型、等比型）

非线性递推数列变量匹配法、因式分解法、取对数法、开方法、换元法等线性递推数列

例1 （待定常数法）数列{an}满足a1=1，an=3an-1+2（n∈N+，n≥2），求an.

分析 an与3an-1+2是结构不同的数列元，根据两者差异，运用待定系数法，两边同加一个待定常数，通过构造方程使其转化成相同结构的数列元.

∵an=3an-1+2，∴an+x=3an-1+2+x，

即an+x=3an-1+2+x3，

令x=2+x3得x=1，∴an+1=3（an-1+1），

∴{an+1}为首项是an+1=2，公比为3的等比数列，

∴an=2·3n-1-1（n∈N+）.

例2 （取倒数法）数列{an}满足a1=12，an+1=an3-2an（n∈N+），求an.

分析 通过两边取倒数转化成整式线性.

∵an+1=an3-2an，

∴1an+1=31an-2.

令1an=bn，则bn+1=3bn-2，

此类型同例1，解题过程略，

an=13n-1+1（n∈N+）.

例3 （变量匹配法）数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an（n∈N+），求an.

分析 如果把（n+1）an作为一个数列元，显然与nan+1不是相同结构数列元，因为下指标（n）与结合量（n+1）不匹配，为此两边同除n（n+1）得：

an+1n+1=ann，∴an+1n+1-ann=0，

∴ann是以a11=1为首项，0为公差的等差数列（常数列），

∴ann=1，∴an=n（n∈N+）.

例4 （因式分解法）数列{an}是正项数列，a1=1，（n+1）a2n+1-na2n+an+1·an=0，n∈N+，求an.

分析 an+1与an结合在一起，无法分离数列元，应先考虑用因式分解的方法使其分离开，

∵（n+1）a2n+1-na2n+an+1·an=0，

∴[（n+1）an+1-nan][an+1+an]=0.

∵an>0，

∴（n+1）an+1-nan=0，∴{nan}為常数列，

∴nan=1，∴an=1n（n∈N+）.

递推数列的解决过程就是一个不断转化消除差异的过程，也就是统一数列元的过程，其实质就是把新情境的递推数列，通过分析数列元的差异，采取相应的方法统一数列元结构，化归转化为两种典型模式——等差型和等比型，只有深刻理解这种数学思想才能做到以不变应万变，毕竟方法是教条的，方法只能解某种题型的，面对不断出现的新问题，只有以数学思想做指导，再结合我们掌握的各种方法，才能更好地分析解决新问题.

【参考文献】

[1]郑毓信.数学教育哲学[M].成都：四川教育出版社，2001.

[2]岳宗.怎样应用递推法解题[M].呼和浩特：内蒙古人民出版社，1986.

[3]郑毓信.多元表征理论与概念教学[J].中学数学教学参考，2011（6）：2-4.