一次函数中的“双解”问题

季黎明

一次函数是八年级上学期的重要一章，是迈入函数大门的第一步。结合同学们学习一次函数的过程，季老师发现有些同学由于对一次函数的概念及图像性质的理解不够深入，导致错解或漏解。本文以四道典型题目为例，谈谈在一次函数的学习中经常会遇见的问题，希望能对同学们有所帮助。

例1 已知关于x的函数y=（m-3）x^|m-2|+3是一次函数，求m的值。

【错解】由题意得：m-2=1或m-2=-1，所以m的值为3或1。

【正解】由m-2=+1得：m=3或1。又因为m-3≠0，所以m≠3，所以m的值为1。

【点拨】一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。上述解答中忽略了k≠0这一信息，当k=0即m=3时，不满足一次函数定义。

例2 已知一次函数y=kx+b的图像经过A（5，0），与y轴交于点B，图像与坐标轴围成的△OAB的面积为10，求一次函数解析式。

【错解】设B坐标为（0，b），则OB=b，所以S_△ABC=1/2OA×OB=1/2×5×b=10，则b=4，所以一次函数可以表示为y=kx+4。又因为图像经过A点，将A点坐标代入y=kx+4可得k=-4/5，所以一次函数解析式为y=-5x+4。

【正解】设B坐标为（0，b），则OB=|b|，根据上述解答可知|b|=4，则b=±4，所以一次函数可以表示为y=kx+4。将A点坐标分别代入y=kx+4和y=kx-4，可得k=-4/5或4/5，所以一次函数解析式为y=-5x+4或y=4/5x-4。

【點拨】上述错解情形中，忽略了线段长度的非负性。一次函数与y轴相交于点B，但并未明确点B在y轴正半轴还是负半轴上。当B点在y轴负半轴上时，b为负数，则OB=-b。同学们要注意坐标与线段长度的区别与联系。

例3 直线y=mx+m+2不经过第三象限，求m的取值范围。

【点拨】如何解读“直线不经过第三象限”？“不经过第三象限”是指经过一、二、四象限或只经过二、四象限或只经过一、二象限。当直线只经过二、四象限时，是一次函数中的正比例函数图像，所以有m+2=0，解得：m=-2。当直线只经过一、二象限时，则m=0，此时直线y=2平等于x轴。

例4 已知一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，求一次函数解析式。

【点拨】本题并没有明确函数的增减性，所以y与x的对应需要分类讨论。当k>0时，y随着x的增大而增大，即为上述错解中的情形。当k<0时，y随着x的增大而减小，此时x=1对应y=6，x=4对应y=3。

关于一次函数的学习，还有诸多类似的误区。我们要重视对概念和图像性质的理解和把握，打牢基础，不断提高思维的严谨性，为函数的学习打下坚实的基础。