线性脉冲微分方程Runge-Kutta方法的稳定性*

张 玲,毕 晴,张雨婷,李洪雨,刘雨欣, 龚王微

(大庆师范学院)

0 引言

脉冲微分方程(IDES)被广泛应用于许多科学技术领域：如物理、力学、种群动力学、药物学、脉冲技术、工业机器人技术，化学技术，生物技术，经济学等. 尤其是脉冲微分方程(IDE)的精确解稳定性已经得到了广泛的研究，但是许多IDE不能用解析方法求解，求解方法也较复杂.因此，数值方法是一个很好的选择. 近年来IDE数值方法的稳定性得到了广泛的研究. 文献[1-6]给出了脉冲微分方程精确解的稳定性，而文献[7-11]给出了脉冲微分方程数值解的稳定性.

众所周知，李普希茨条件不可能保证常微分方程的稳定性.然而该文研究了线性的IDE的精确解和数值解在李普希茨条件下的渐近稳定性：

(1)

定义1 函数x：[t0,∞]→Ck是(1)的解，如果

(2)对于t∈(t0,+∞),t≠τk,k=1,2,…,x(t) 是可微的并且x′(t)=αx(t).

1 精确解的渐近稳定性

在该节中，研究(1)的精确解的渐近稳定性.为了研究x(t) 的整体稳定性，考虑另一个初始数据的方程(1)：

(2)

其中z+={1,2,…}

定义2[1,5]方程(1)的精确解x(t)是

(1)稳定的，如果对于任意的ε>0，存在一个正数δ=δ(ε)，对于(2)的任何解y(t),当‖x0-y0‖<δ时，有‖x(t)-y(t)‖<ε,

∀t>t0.

定理1 假设存在一个正的常数γ,使得

τk-τk+1≤γ,k∈Z+. 如果有一个正常数C, 对于任意的k∈Z+.使得

βk·eα(τk-τk-1)≤C<1

则(1)的精确解是渐近稳定的.

证明任意t∈(τk,τk+1],k=0,1,2,…

得到

由Gronwall定理，任意t∈(τk,τk+1],

k=0,1,2,…有

由定义1(3)有

从而

因此，根据条件(3)和(5)，对于任意t∈(τk,τk+1],k=0,1,2,…得

‖x(t)-y(t)‖≤‖x0-y0‖β1eα(τ1-τ0)·β2eα(τ2-τ1)…βk·eα(τk-τk-1)·eα(1-τk)≤‖x0-y0‖·Ckeαy

进而

‖x(τk+1)-y(τk+1)‖≤‖x0-y0‖·Ckeαy

和

因而，对于任意ε>0,存在δ=e-αyε, 当‖x0-y0‖<δ时，

‖x(t)-y(t)‖≤‖x0-y0‖·Ckeαy≤‖x0-y0‖eαy<ε

对于任意t∈(τk,τk+1]k=0,1,2,…,

‖x(t)-y(t)‖<ε,∀t>t0

因此，方程(1)精确解是稳定的. 显然，对于任意t∈(τk,τk+1]k=0,1,2,…

‖x(t)-y(t)‖≤‖x0-y0‖·Ckeαy→0,k→∞.

同样，得

‖x(τk+1)-y(τk+1)‖≤‖x0-y0‖·Ckeαy→0,k→∞

和

因此，方程(1)的精确解是渐近稳定的.

2 显式的Kunge-Kutta方法

在该节中，给出方程(1)当p=4时p阶p级显式Runge-Kutta方法的渐近稳定性. 方程(1)Runge-kutta方法可以构造如下:

(3)

方程(2)的显式Runge-kutta方法:

(4)

tk、1+cihk的地方，有k∈N={0,1,2,…}.

l=0,1,…，m-1,i=1,2,…,s

定义3 对脉冲微分方程(1)的显式龙格库塔方法(3)是

存在一个正数δ=δ(ε).当‖x0-y0‖<δ,使得‖xk-yk‖<ε,∀k∈N.

其中xk=(xk,0,xk,1,…,xk,m)和yk=(yk,0,yk,1,…,yk,m)

(2)渐近稳定的.如果它是稳定的

∃M1>0,对于任何的m>M,

考虑(1)的4阶段显式龙格-库塔方法：

(5)

和

(6)

定理2 假设显式龙格-库塔方法(5)的所有系数都是非负的(ai,j≥0,bi≥0,1≤i≤4)和

(7)

(8)

(9)

类似的，可以得到

上述三个不等式可以得到：

因此对任意的k=0,1,…,m,有

‖xk,l-yk,l‖≤‖xk,0-yk,0‖·eαhk

由条件(3)，可以得到:

‖xk,l-yk,l‖≤‖x0-y0‖·(β1·eα(τ1-τ0))·(β2·eα(τ2-τ1))…(βk·eα(τk-τk-1)eαhk)≤‖x0-y0‖·ckeαy

3 数值实验

在该节中，给出了简单的数值例子.

例1 考虑以下简单的标量IDE

(10)

和

(11)

(11)的精确解满足

因此

显然(10)和(11)的精确解都是渐近稳定的.

4 结论与未来工作