对数学高考压轴题“通法”不通的问题理解与处理策略

张治中

一些数学高考压轴题，用基本的数学思想方法不能有效指导应试情景下的解题，用数学“通法”不能生成结论. 给应考和备考，造成了很大的困惑. 论题从题目的个案出发，从教育的可接受性的原则，从实用和创新的角度，结合给出的几种个案解答样式，体会通法的本质及相应的解题策略.

题目1.  f（x）= x3-a（x2+x+1）. （1）若a=3，求f（x）的单调区间.（2）证明：f（x）只有一个零点.

1.1 理论上的通法与不通的问题. 题设函数是三次项系数大于零的三次函数，定义域及值域都是实数集. 通过对a的控制，一般可使函数为恒增函数或增、减、增型函数. 当参数a一旦确定，f（x）位置及数量就完全确定. 对于题设（1），若a=3，求f（x）的单调区间. 导数的正、负形态，决定函数增、减区间. 无论是题目在试卷中的位置，还是三次项系数特征，都启示直接求导的方法. f ′（x）恰好是开口向上的二次函数，导数的正负所在的区间容易求得，完成了函数单调区间的判断. 若对题设（1）内含进一步分析，函数还存在着零点数量问题、极值问题、中心对称问题、凸凹问题. 在题目所求（2）中，证明函数只有一个零点，恰好是对题设（1）的进一步研究. 在导函数中数，通过对△≤0及△>0限制，实现对a在实数域分类，当函数为恒增时，三次函数自然一个零点;当函数为增、减、增时，存在两个极值点，且同在x轴的上方或下方，与函数只有一个零点是等价命题. 用极值数量特征，描述三次函数的零点数量. 因此，直接求导是解题的通法.

但是，用通法引领（2）的解题，在考场，不能完成f（x）max>0，f（x）min<0的计算结果. 也不能完成f（x）max·f（x）min>0.用符合数学基本思想方法，预设，得不到的应有结果. 成了通法不通的一类问题.

1.2 通法，對快速推进解题和正确的结论生成是应有的担当. 因为通法是在解题实践中认同的基本的思想原则方法. 当我们确认，用三次函数极值的正负特征与题设要求为等价条件是正确时，在没有岁月可回头的前提下，坚定对数学基本理论的自信. 用先验性的正确结论，替代计算结果，是实用、睿智的处理策略.

1.3 对题目1的解答（法一）

解（1）：当a=3时，f ′（x）=x2-6x-3. 令f ′（x）=0. x1=3-2 ，x2=3+2 .

x∈（-∞， x1）∪x∈（x2，+∞），f ′（x）>0，f（x）↑.

x∈（x1，  x2），f ′（x）<0，f（x）↓.

（2）：f ′（x）=x2-2ax-a. 当△=4a2+4a≤0，即-1≤a≤0时，

f ′（x）≥0，f（x）↑. 又∵  f（x）∈R. ∴ f（x）只有一个零点.

当△>0时，a>0或a<-1时，令f ′（x）=0，x1=a- ，x2=a+ .

f（x）max= f（x1）=f（a- ）= [-a3+（a2+a） ]-（a2+a）<0.

f（x）min= f（x2）=f（a+ ）=- [a3+（a2+a） ]-（a2+a）>0.

∴  f（x）只有一个零点.

1.4 评价. 法一解题，展示了数学应有的逻辑层次. 不能把通法产生繁难无果的计算，消极地看作是人为的陷阱. 数学的基本思想与基本方法，已经是人类博大、精妙的厚重文化.它不是刻意于雕虫小技. 坚定用数学的基本思想与基本方法分析和解决问题. 一方面，是适应新时代文化自信的要求. 另一方面，按先验性的直觉判断，在计算的尽头给出正确结论. 是考场解题快与稳的保证 ，也是学子自信力量形成与飞跃的机会.

1.5 稳中求进，是国家高考命题的总的原则. 进，就是在通法所凝聚的思想方法上，对经验解题的技术超越. 本质与现象的内在联系，就是把握了数学等价转化的解题技术. 但是，内在联系是多方面的. 从个人局限认知的意义来说，“通法”，是经验主义的结果，仅能抱住“通法”，不通是必然，是教条，是懒汉. 当“通法”不通时，尝试向“复杂”形式的等价转化. 即使做答有风险，也不能无为. 是我们面对压轴题应有的态度.

1.6   为什么选择g（x） = -3a等价形态的转化？g（x）把参量与变量从积的形式转化成和的形态. 通过求导，化二元为一元，表面复杂本质简单. 同时，选择g（x），是因为我们期待函数单调递增，它的渐近线是一次增函数，这种期待，是有数量感觉支撑的. 一旦求导计算陷入繁杂状态， 而求导所得不能明确为非负量，按逻辑形式的需要. 仍然可用先验性的判断代替计算结果.

1.7 对题目1的证明.

证明（法二）：∵ x2+x+1>0，f（x）一个零点等价于方程 -3a=0一个零点.

设g（x）= -3a，则f（x）与g（x）零点存在及个数等价的.

g ′（x）= ≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，∴  g（x）在（-∞， +∞）单调递增.

∴  g（x）至多一个零点.

g（x）= -3a，当x→+∞时，g（x）= -3a=x-3a. 且x>3a时. g（x）>0.

当x→-∞时，g（x）= -3a=x-3a. 且x<3a时. g（x）<0.∴ g（x）至少有一个零点，综上，g（x）只有一个零点，从而f（x）只有一个零点.

1.8 评析. 对等价函数g（x），是三次函数比二次函数较复杂的函数形式，由整体贯通局部. 分子、分母同除x2，运用精确就是无限的近似的数学核心理念. 用无穷小的微观驾驭宏观趋势. 获得g（x）以y=x-3a为条渐近线，在总趋势层面上，直观地把握了求零点所需要的正负状态. 是中学阶段在纵向上的易于接受及操作的创新. 同时，对三次函数至少存在一个零点的证明，又得到了一种愉快的可接受的方法.

在局部层面上，从g（x）主体裂项得到y= =x-1+ . 其中y1=x-1导数为1，y2= 是二次函数的倒数，由《高中数学·必修·1》B版（人民教育出版社）第32頁，例2，f（x）= 的图像启示. 在x∈（- ，+∞）上，y2是减函数. 且x∈[- ，0]，平均变率 =- . x∈[0， ]，平均变化率是- ;x∈[ ，1]平均变化率- ;x∈[1，+∞），平均变化率是0-. 用y2的平均变化率，估价y2的导数大于-1，而y1 的导数总是1. 两者数量的和为正量，g ′（x）是非负量，是对g（x）为增函数的期待根据. 敢于从g（x）求导切入，胆量，来源于对教材基本函数认知与加工的质量. 这种化简为“繁”的转化，也是数形结合功力的体现. 在解得函数只有一个零点题过程中，还进一步理解题设，不仅与a取值无关，还与三次项系数无关（3a在求导的过程中被化为0）;未知量x次数高来高走. 心中有图，化生为熟. 图中有量，直觉得当. 使得解题更有力量.

题目2. 已知函数f（x）=ex-ax2.（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1;（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a.

2.1 通法的确立与不通的问题. 对（1），从整体（x∈R）到局部（x≥0）考察函数特征. 根据函数不同区域的数量合成，前期，当x∈（-∞，0+），函数为增;后期x→+∞，函数为增;中期，若函数也为增函数，则函数为恒增，又因为f（0）=1. 所以f（x）≥1，就得证了. 若中期，存在一个减区间，函数为增、减、增型，需要证极小值大于或等于1. 用导数的正负来判断势在必行. 求导成为解题的通法.

对于（2），是（1）可能存在增、减、增型函数极小值的前提下，进一步的考察. 对a的控制分类. 在（0，+∞）内，当极小值等于零时，与f（x）只有一个零点为等价条件. 是数学基本理论指导下的通法方法.

（1）的问题f ′（x）=ex-2x>0，在逻辑层面表达出现了障碍. 对（2），方程f ′（x）=ex-2ax=0，只能定性知道x1∈（0， ln 2a），x2∈（ln 2a，+∞）. 无法定量得到x2. 使完成题设要求受阻. 理论应有的方法，实践中无法生成.

2.2 加大对基本思想方法运用力度. 在理论不严谨的情况下. 对（1），试值探索、用先验超越. 使用二次求导，都是对不通情况突破的有效果的方法. 对（2）把满足极值点的条件ex-2ax=0代入有零点的f（x）中. 在理论上应得f（x）max与f（x）min两个值. 2ax-ax2=0，x1=0，x2=2;事实上，x=0，也不是函数的极大值点，把极大值点丢失了. 而得到认定x=2是极小值点，虽然没有确切的逻辑根据，而是对期待数量试验. 可理解为假说的探索，任何真理，都是从假说开始，才有真说. 在考场解题，推理不严谨，也应拼一拼，“兰舟催发”之际，“捞不成那捞饭，咱就焖成粥”. 总可以向数学真理方向推进. 一旦成功，是数学对探索者的奖赏，是顶端设计对勇于探索学子的人文关怀.

2.3 对题目2解答（法一）.

解：（1）f ′（x）=ex-2x;f ″（x）=ex-2;令f ″（x）=0，x=ln 2.

当x∈（0，ln 2），f ″（x）<0，f ″（x）↓;当x∈（ln 2，+∞），f ″（x）>0，f ″（x）↑;

∴ f ′（x）min=f  ′（ln 2）=2-2ln 2>0，∴ f ′（x）>0 ∴ f（x）↑. 又f（0）=1 ∴ f（x）≥1.

（2）当a=0时，f（x）=ex>0，f（x）无零点.

当a<0时 f（x）↑，且f（0）=1，f（x）≥1， （x≥0）. f（x）无零点.

当a>0时，f（x）只有一个零点与方程ex=ax2只有一个零点等价.

f ′（x）=ex-2ax，令f ′（x）=0，把ex=2ax代入ex=ax2得2ax-ax2=0，x=2;x=0（舍），把x=2代入ex=ax2，a= .

2.4 评析. 对严格推理，可作灵活变通. 在数学史上，形成了一种崇尚用严格推理收获必然的风格，对初级思维训练收到的一些实效. 但是，人类的真实的认知，是从误试开始，任何真正的数学发现，都是对“严格推理”突破. 国家要求创新与个人追逐功利一致的. 考场这个人生节点，不能无为，更不能羞涩地打着朵儿，坚定沿着数学基本思想指引的方向，勇于试验与猜想，让思维的花朵怒放.

2.5 对通法不通存在性的理解. 考试的主体对象是学生，而主导命题顶层设计. 两者是对立统一的关系. 两者都在为发展思考力方面是统一的. 用创新，去检验对数学认知的层次及能力. 学生在规定的时间解答大量并有一定难度的题目，就首先要求有速度. 按数学基本思想、基本方法、经验等组织各种题材，以类型的方式，从认知到技能的训练，实现自动化的程度，形成“套路”. 这使学生在考场有限时间内，经过少许的思考，完成大量的题目解答. 而命题原则是稳中求进，“稳”，就是对大部分“套路”的认同与支持. 使学生解题获得节约时间成本的效益. 并且准备的越充分，考试效果越好. 同时，通过这种学习方式，也形成了教条的经验的应考套路，并称之为“通法”. 使僵化的教学与学习方式有了存在的社会基础.

这种学习方式，机械强化成分多，使课业负担过重，有损身心健康;探索思考含量少，有悖于教育的初心. 以个体形成“套路”解题为目标，总是从有限的经验出发，而数学本质的外在联系是无限的. 用有限博无限，苦海无边. 经验发展最高成就不过是经验主义. 认识论告诉我们，经验论必然导致不可知论.“通法”，是经验主义的结果，仅能抱住“通法”，“不通”是必然.

2.6 有没有一扇窗，让你面对创新型压轴题不绝望？国家发展的策略的稳中求进，“进”，就是真正发展思考力，“进”有助于减轻课业负担，有益于身心健康发展. 命题中“进”，原本是对数学与生命的关怀. 而习惯于“套路”的人们，总是“望题兴叹”，成了人们忘不掉的痛. 有没有一种爱，能让你不受伤害？是教材. 化繁为简的转化，是数学根本方向和手段. 对题设所求（1），转化成等价函数g（x）= ≥1，高中教材《数学》（必修·1·B版32页，例2中的）“ ”是g（x）的一个因式，在x正向，是减函数，是个正量，本质是幂函数类，且减的较缓;而ex，在x正向，是增函数，是个正量，且增的较猛，本质是指数函数超越类. 两者乘积构成的函数，产生了增函数并增向正无穷的感觉. 因此，期待 g′（x）≥0.

对（2）f（x）只有一个零点，等价于方程ex=ax2？圳 ex=a只有一个零点. 高中教材《数学》（必修·1·B版）第48页例2中，研究函數y= 的性质，并作出它们的图像”，函数反比例函数的比较，初步了解它的单调性的陡缓差别及程度;通过导数手段，用数量形态与指数函数比较. 能真正了解 及ex的类本质，对组合型y1= ex，在x轴的正向，从y1单调性合成角度，前期（x→0+），随 ，为减函数，后期（x→+∞），虽然 减的很缓，ex是超越感觉的函数，增得更猛，y1随ex，为增函数，y1是个先减后增型的函数. 这样，先验的、快速的判断出存在一个过度的极小值点. 令y2=a，是平行x轴的直线. 当y2在y1下方极值点处相切时，与题设要求为等价条件. 即a=y1min.

2.7 对题目2解答（法二）.

证明（1）：假设f（x）≥1成立？圳ex-x2≥1？圳 ≥1. 设g（x）= ，

g ′（x）= = ≥0，∴ g（x）↑. 又∴ gmin（0）=1，

g（x）≥1. 即f（x）≥1.

（2）：f（x）只有一个零点，等价于方程ex=ax2？圳 ex=a只有一个零点.

设y1= ex，y2=a.  =ex . 令 =0，x=2，且x∈（0，2），  <0，y1↓;x∈（2，+∞）， >0，y1↑. ∴y1min=y1（2）= . 又当y2在y1下方极值点处相切时，与题设要求为等价条件. ∴y1=y2. 即a= .

2.8 评析. 题目2的题材，取于教材基本函数指数函数与二次函数差的关系. 转化后，是指数函数与简单的二次函数商的关系，本质上都是比较. 由数的变化，合成的图形;又通过形存在的关键节点，推动数的形成. 得到了最简单的解法.这种创新命题与创新解题，有益于引导巩固基础、减轻负担，促进思考. 代表着数学教育与学科发展的进步方向.

题目3. 已知点A（-2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为- . 记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线.（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE垂直x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于G. ①证明：△PQG是直角三角形;②求△PQG面积的最大值.

3.1 解析几何代数计算问题. 在解析几何用代数计算的方法研究几何性质的基本思想和方法，使现代数学得到了充分的发展，成为数学的通法. 但是，这一通法，在数学高考压轴题的解题实践中，常有不通情形的存在. 在解题环节的主要表现：（1）真实是通过认知教育的阶段性逐步实现的. C的方程中. x是否可以等于±2？在x=±2的邻域内，从无限的角度k1·k2是存在的.（2）kQG= 是本题目特例，所有椭圆固有的几何性质？（3）直线PQ与椭圆C方程联立，获得关于x的一元二次方程有没有固定的模式平台？使代入整理缩短时间？（4）用两根之和求坐标xG，为什么能有效率推进解题进程？（5）把面积转化为f（k）后，由增减的过度点确定最大值，其中的增、区间的证明，是否是数学逻辑的必须？

3.2 对解题时间远超越考场规定时的间理解与策略. 用代数式模式化. 如何把理论指向构筑成实际解题操作的技能平台？基本的思想、方法有效果地指导实际解题，是它应有的担当. 在备考中，对教材核心内含研究并实现的计算结构及结果，就是相应条件下的通法. 如直线与曲线的位置系，直线一般可划分四类. 一类是过焦点，二类过x轴一点，三类过y轴一点，四类过平面内不在轴上的一点. 它们每一种直线与对应曲线联立，所得的二次方程、两根的积与和、交点坐标、弦长、△、切线判别式都有固定结构和结论的表式，并且各个对应要素之间有着内在的联系，有利于理解和记忆. 如“探圆锥曲线二类弦长结构促进计算能力升级”一文（《数学学习与研究》2016.1期第88页）：“一、对椭圆中的二类弦长（及所在的直线）数学结构和结论的认知. 把过（m， 0）轴上一点的直线截圆锥曲线得的弦长称为二类弦长.（一）在椭圆二类的一般结构与结论形态.

过（m， 0）的直线与椭圆 + =1（a>b>0）交于A（x1， y1）， B（x2， y2）. 求AB=？

解：y=k（x-m），b2x2+a2y2=a2b2？圯（b2+a2k2）x2-2a2k2mx+a2k2m2-a2b2=0……（1）

x1+x2= ，x1·x2=  ……（2）

AB= =

2ab  ……（3）”

3.3 对题目3的解答.

解（1）： · =- ，2y2=-x2+4， + =1.（x≠±2）

C：中心在原点，焦点在x轴上，除去左右端点的椭圆.

（2）①：由中心对称图形的性质，设p（m， km），

C∩PQ={P（m， km）， Q（-m， -km）};E（m， 0）.

KQG =KPE = = .

QG∶ y =t（x-m）， （t= ）;C∶ b2x2+a2y2=a2b2， （a=2， b= ）.

PG∩C？圯（b2+a2t2）x2-2a2t2mx+a2t2m2-a2b2=0.

x1+x2 =-m+xG = = ;xG = ;yG = [ -m]= .

KPG = =- ;∴ PQ⊥PG. 即△PQG是Rt△.

（2）②y=kx，b2x2+a2y2=a2b2？圯（b2+a2k2）x2-a2b2=0，

xp=m= ，xQ =-m，

PQ=2m ，PQ=xG - xP =

，

S△PQG = PQ·PG= . 记f（k）= .

f ′（k）= = =

.

令f ′（k）=0;1-k2=0，k1=-1（舍去），k2=1.

k∈（0，1），f ′（k）>0，f （k）↑;k∈（1，+∞），f ′（k）<0，f （k）↓.

∴ f （k）max =f （1）= . 即：S△PQGmax = .

3.4 评析：解题（1），当曲线上各别点的不存在，与真实存在发生冲突时，依从阶段性的数学教材规定. 是受教育阶段应有的规矩. 对（2）①，P点坐标设而不求，直线QG斜率顺利获得，是几何法优先策略的结果. 若对二类弦与曲线联立的结构、形态、数量形成了稳定的表象. 解题的代入过程及计算结果，可从二类弦中独立出来. 借用二类弦的结构与结论，对于及G坐标求得，对简化运算起到的一定的功效. 面积S△PQG 表达式;转化为f（k）;用导数的正负，明确函数的单调区间;展示出逻辑上必须的式子. 表现出对题目的思想方法的理解及对数学逻辑环节的虔诚. 把理论指向构筑了操作的技能平台，是解题制胜的功力.

没有创造性的套路，就没有解题的速度. 在二类弦长所在的关于x的二次方程中，弦的中点可直接表达，以QG为直径的圆经过P点，与（2）①所求等价;二类弦长结论不含点G坐标. 在没能完成G点坐标运算的前提下，证明PQ⊥PG，可以用认同题设的结论，代替复杂的计算. 对（2）②，用两边及夹角表达求△PQG面积. 引进二类弦长的结构和结论，是解析几何基本思想的具体化，对教材中直线与曲线位置几种关系模式化，辟开了新的向度并构成的通法，是来自具体数学问题而提炼出管用的通法. 超越中间环节的计算，推进解题的进程. 也可推进解题进程. 缓解了考场上因时间不足而不通的问题.

3.5 小结：数学高考压轴题，是数学教育的精品. 是巩固基本的数学思想与解题技术创新的载体. 顶层设计不公布命题的来源、立意及可接受的简单解法，是启而不发的教育原则的试验. 把易懂、简单的解题预留给考场的学子，是鼓励、激发学子创造性的萌发. 是受教育者应有的认知与积极心态.

数学通法是数学理论与实践中的方法论，是对数学问题研究探索的结果. 是对数学研究的最高境界. 对我们的数学解题具有一般性的指导作用. 但是，通法不是创造性学习的出发点，而是通过以教材为主体的材料，分析总结得出通法. 数学学习，不是已知通法，去刷题. 而是根据教材的展示的引领，开发迁移功能，尝试编制题目. 题目1，命题是幂函数的差的组合，转化成商（积）的组合;两种形式都描述函数存在一个零点的一种性质. 题目2，是指数函数与幂函数差的組合，转化成商（积）的组合;差、商的本质都是比较，其立意，在于凸现两种函数不同的类本质. 题目3，前半部分强调对象是几何，后半部分是代入法及求导计算，注重代数方法. 命题中规中矩. 差别是分析的前提;比较是思维的动力. 躬身研究基本函数之间的内在联系，是通法的源泉，是联想、创新的翅膀.

责任编辑   徐国坚