数学教科书中数学史内容的表征

陶言

摘    要：数学史作为揭示数学知识发生发展规律的重要学习资源，在数学教育中具有特殊的教育教学意义，是数学教科书的重要组成部分.数学史在内容编排与设计上，应以学科核心素养为基础，内容呈现应多样化且专门化，选材上要体现均衡发展学科核心素养.

关键词：数学史;教科书;内容表征;核心素养

数学史作为揭示数学知识发生发展规律的重要学习资源，在数学教育中具有特殊的教育教学意义，是数学教科书的重要组成部分.随着素质教育的深入，如何更好地设计数学史在数学教科书中的呈现方式，以促进学生数学素养的发展，成为一项重要议题.

一、数学学科核心素养

数学学科核心素养，是指学生在学习及应用数学的过程中，逐步形成的知识技能、思维品质和价值态度，其核心的本质是关联与化归[1].表象包括六个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.其中，逻辑推理要求学生能够在复杂问题中把握不同事物间的逻辑关联;直观想象则要求学生提升数形结合能力，利用数与形的关联理解和认识事物，因此两者主要指向关联;数学抽象要求学生能从具体情境中抽象出一般的规律，并用简洁的数学语言进行表达;数学运算则要求学生能够借助运算法则和方法解决数学问题，因此两者主要指向化归.此外，数学建模建立在数学抽象、数学运算、逻辑推理和直观想象基础之上，强调培养学生发现和提出问题的能力，并要求学生能够利用数学模型解决现实问题.数学模型体现数学与现实的关联，模型求解体现化未知到已知的过程，因此它同时指向关联与化归两种本原.类似地，数据分析以数学运算、逻辑推理为基础，以构建模型为手段，以数据为依托研究随机现象.它强调学生对事物关联和本质的探索，同样具有关联和化归两种本原（见图1）.

二、数学史与数学学科核心素养培养的关系

数学史在数学教育中的意义已经得到广泛认同.在教学中融入数学史，引导学生经历和感受知识的发生发展过程，可以促进学生关联与化归的发展.表象发展逐渐内化，最终实现学生学科核心素养的提高（见图2）.

在数学观念方面，数学史可以通过对知识前因后果的交代，帮助学生理解数学概念、定

理间的关联，从而提高学生的化归能力，并启发学生体会数学知识的发展性与可拓性.例如，数系扩充的历史以时间为脉络，将自然数、负数、实数、虚数等概念进行关联，从而促进学生对数系相关概念的理解，并提高学生的数学运算能力.

在数学探究方面，数学史拥有丰富的名人故事、历史谜题等资源.这些资源如果运用恰当，便可用于启发学生的探究精神，引导学生在数学活动中将问题与知识进行关联，尝试探索，步步化归.例如，从刘徽的“牟合方盖”到祖暅原理，中国古代数学家们不断尝试、探索、反思，最终得到球体的体积计算公式.这段历史可以激发学生的探索精神，引导学生不断在前人发现的基础上继续前进，促进数学抽象素养的发展.同时，“牟合方盖”等几何体的出现，也可以促进学生直观想象学科素养的提升.

在数学情境方面，数学史有助于学生理解数学与政治、经济、文化、心理等因素的密切关联性.数学情境是政治、经济、文化、心理等因素对数学发展影响的综合体现，是学生理解数学事业、体会数学家生活的钥匙，能够促进学生形成积极的数学态度.例如，《九章算术》中的“粟米”“商工”“盈不足”等篇章就密切联系古代中国人民的实际生活，体现数学在解决农业、商业等现实问题中的重要作用，渗透了数学建模思想.

三、核心素养视角下的数学史内容分析

依照数学史与数学学科核心素养的关系，得到数学史内容分析模型.模型共分为数学观念、数学探究、数学情境三个维度，各维度下根据维度内涵设有细目，具体如表1所示.

以人教版普通高中数学五册必修教科书为研究对象，运用“教科书数学史内容表征分析模型”，针对数学史内容的表征进行分析，得到如下结果.

（一）数学史教育渗透较为薄弱

在五册必修教科书中，数学史内容总体平均占比为12.2%，比例较低，反映出教科书编者对数学史教育渗透较为薄弱.由于内容主题的差异，不同必修模块教科书的数学史内容占比各不相同.其中必修3占比最高，內容主要为算法初步、统计与概率;必修4占比最低，内容主要为三角函数、平面向量、三角恒等变换.

（二）内容维度分布不均衡，数学观念和数学情境的比例有待提高

在五册必修教科书中，数学史在三个表征维度的比例存在较大差异.其中，“数学探究”维度的数学史内容比例较大，平均为 56.7%;“数学情境”维度平均占比为32.6%;“数学观念”维度占比仅为10.7%.数学史内容的不同维度比例在五个必修模块分布基本一致，这与当前基础教育课程改革中重视数学探究有关，编写者较注重数学探究思想的渗透，很符合课改理念.此外，数学情境和数学观念两个维度占比较低，亟待提高相关内容安排，以帮助学生全方位、系统地理解数学的本质.

（三）数学观念维度欠缺“数学模型或解释”，数学情境维度欠缺“心理因素”

根据分析模型各维度下的细目，对五册必修教科书进行深入解读与分析得到：在数学观念维度，数学史内容主要围绕“数学定义与理论”和“数学概念” 两类细目.其中，数学概念占比为25.6%，数学定义与理论占比为68.1%，而“数学模型或解释”占比仅为6.3%;在数学探究维度上，探究过程和探究结果的占比大致相当;在数学情境维度，社会因素（包括政治因素、社会需求、公众态度、同行影响等）占比较高，为54.7%，心理因素（包括数学家研究意图和动机）占比较低，仅为21.8%.

四、启示与建议

根据构建的数学史内容分析模型及实践应用所得的研究结果，对教师和学生理解教科书中数学史内容的选材和设计，以及教师利用教科书组织有效教学等有一定的借鉴价值.

首先，从教科书的内容编排与设计看，数学史在以学科核心素养的基础上，其内容的呈现方式应多样化且专门化.这是因为由于数学史内容属性的不同，需要进一步提高教材编者对内容编排和设计的水平，为教师教学和学生学习提供更强有力的支持.如，可以开辟专栏，以有趣的小故事形式描绘数学家的生活时代背景、个人成长历程与研究过程，以此达到促进学生关联和化归能力的发展，最终实现学科核心素养提升的目的.且教科书在内容编排与设计上应以当前的学科核心素养为主线，做好统筹安排.

其次，在数学史内容的选材上，要体现均衡发展学科核心素养.当前，均衡、全面发展学科核心素养是衡量教育教学质量的重要标准.从数学史的内容来看，要保证不同维度数学史内容的全面均衡，从而使其学科核心素养的六要素得到均衡而全面的发展.因此，教科书编写者要在编写素材上做好选择设计，将培养学生数学学科核心素养真正落到实处.

再者，教师在对数学史内容进行组织教学时，应加强对教科书进行解读，促进自身专业发展.同时，应将教材中的数学史内容进行拓展教学，使学生迅速且深入地理解内容.

我们应该意识到，学科核心素养的评价可以有新的思路与手段，如学科核心素养评价的内容载体之一的数学史.在具体的教学中，数学史内容不仅为教学提供了丰富的资源，而且在学科核心素养评价上，我们也可以以数学史为素材，在核心素养的构成要素上进行全面且系统的设计，以对学生学科核心素养发展状况进行评价.

参考文献：

[1]朱培培.数学课堂教学引入部分的关联与化归——以圆的概念引入为例[J].教学月刊·中学版（教学参考），2018（4）：20-24.