精心设计问题，加深概念理解

李福莲

问题是数学活动的出发点.教师要在探究内容和设问层次上进行深入分析研究，以确保课堂中在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同深入探讨，提高数学课堂效率.以下结合《数学归纳法》的这一节课的内容及设计进行分析，谈谈自己的一些理解.

一、创设情境，激发学习动机

问题 2：你怎么得到an表达式的？这个表达式正确吗？

学生：从特殊概括出一般的推理，即归纳推理.因此前4项是正确的，后面的某一项都要逐个验证，并不能肯定对所有的正整数n都成立.

问题3：在这个问题中，如果严格证明需要验证无限次，有什么办法解决呢？

设计意图：由问题引导学生经历观察、归纳、猜想的过程，学生由归纳推理猜想出结论，但是结论未必正确，学生遇到了困难：不可能一一进行验证.为解决这个问题，学生就在思考怎么用有限次的步骤来证明这个难点，这样就形成了主动寻求知识的动力.

二、感受生活，探索解决方法

以多米诺骨牌实验为例，教师先播放自制的“多米诺骨牌”实验一：视频中在一只手推倒第一块后所有的多米诺骨牌能全部倒下.

问题4：如果桌上现有n块直立的骨牌，试探究：怎样才能让所有的骨牌倒下？

学生：要保证前一块倒下时，一定导致后一块倒下，也就是说骨牌的高度要小于两块骨牌的间距.

教师展示动画实验二：在该实验中，第2块骨牌和第3块骨牌的间距拉大，其他間距不变.教师用手推倒第1 块骨牌，结果只倒下第1和第2块骨牌，实验失败.

实验三：在该实验中，第3块骨牌和第4块骨牌的间距拉大，其他间距不变.教师用手推倒第1 块骨牌，结果只倒下第1、2、3块骨牌，实验失败.

问题5：对比实验二、三和实验一，讨论实验失败的原因，如何用数学语言描述上述结论？

学生：假设第k块倒下，则第k+1块也倒下.

教师展示动画实验四：在该实验中，骨牌的间距和实验1相同，教师用手推第1块骨牌，没有推倒，实验失败.

问题6：对比实验四和实验一，思考实验中“手”的作用是什么？

学生：实验成功的第一个条件是：第1块骨牌必须倒下.

师：通过这4个实验学生得到了骨牌要全部倒下的条件有两个：（1）第1块骨牌必须倒下; （2）若第k块倒下，则第k+1块也倒下.

问题7：你认为这两个条件的作用是什么？

师生共同讨论，可以得到：条件（1）是起步作用，条件（2）是递推作用，它总是能把某一块倒下的结果传递到下一块骨牌.这样无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）都成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.

设计意图：数学归纳法这个概念具有高度的抽象性，需要组织形象、生动的素材，引导学生从素材中感悟其蕴含的数学思想，最终产生迁移效果，抽象出数学归纳法原理，这个实验便是充当了这样一个角色.通过课堂观察，对于条件（2）学生比较容易得到，只是比较难想到用数学语言描述，因此教师做了实验二和实验三启发学生，并通过设问，让学生理解其实条件（2）给出的就是一个递推关系.对于条件（1）通过教师提问“手”的作用，学生可以得到，如果没有推倒第一块骨牌，后面的骨牌不会倒下.

三、类比迁移，感悟概念形成

教师：多米诺骨牌实验使我们感受到了可以只要保证了条件（1）（2），就能使所有的骨牌都倒下，这使同学们兴奋不已.但这并不能用来证明数学问题，需要抽象概括出其中所蕴含的原理，才能迁移到数学问题的解决上.

问题8：那个数列通项公式的证明问题和多米诺骨牌实验有相似之处吗？你能通过类比解决这个数列问题吗？

师生探索：都存在一种递推特征，并得出下表.

设计意图：问题10的设计主要针对左边的表达式开始是哪一项、结束是哪一项、共有多少项这三个难点而设计.问题11的设计主要是突破两点，一是引导学生学会分析第一步该证明什么，二是引导学生分析从n=k到n=k+1时，左边增加哪些项.这些问题是学生的常见错误，旨在通过培养学生的严密的逻辑推理能力.通过这些问题的分步解决，最终让学生形成解决问题的综合能力.设计问题时，遵循由易到难的原则，进一步加强了学生对数学归纳法的理解.

五、回顾小结，升华数学思维

教师设置4个问题：

（1）数学归纳法能够解决哪一类问题？

（2）数学归纳法证明命题的步骤是什么？

（3）数学归纳法证明命题的关键在哪里？

（4）数学归纳法体现的核心思想是什么？

设计意图：通过学生的反思与提炼，再次感受数学归纳法的核心思想是递推思想，运用有限的手段，来解决无限的问题.并且证明过程中两个步骤和一个结论，缺一不可，关键是在第二步，即归纳假设要用到.通过这些问题的设置，引导学生对数学归纳法的理解再升华.

总之，教师不能以“一个定义+几项注意”来进行概念课的教学，必须在舍得在概念课上花时间，要精心设计好每个问题，并学生经历观察、比较、分析、概括等过程，只有这样，概念课的教学才能让学生深刻理解概念的本质，才会在学生的积极参考和合作探索下显得生动高效.

责任编辑 韦英哲