基于压缩感知与VMD的船舶推进轴系轴承振动故障分析∗

张 涵 万振刚

（江苏科技大学 镇江 212000）

1 引言

在船舶推进轴系中，轴承是船舶动力装置系统中的重要部件，因此轴承的稳靠性对于船舶安全具有重大意义。一般在船舶推进轴系轴承振动状态监测与故障诊断中，振动信号采集都是传统信号采样方式，不仅对数据采集设备提出高要求，而且带来巨大的数据传输及存储压力。压缩感知理论（Compressive sensing，CS）是基于Candès，Donoho 等于2006年提出的信号稀疏表示的信号采集理论。该理论指出如果信号在某个变换基上具有稀疏性，则可以通过与该变换基不相干的一个观测矩阵得到远少于原始信号维数的“压缩”数据，并且以高概率重构出原始信号［1～2］。目前压缩感知在图形图像处理、人脸识别［3］、无线传感器网络、超分辨率重构［4］等领域已开展广泛的研究，但在轴承信号的处理方面相关研究较少。

变分模态分解（Variational Mode Decomposi⁃tion，VMD）是在优化EMD的基础上提出的一种新的关于信号时频处理的方法，它采用非递归的求解方式，可以自适应的将信号进行各模态分量的分离和频域剖分。与EMD的分解模式不同的地方是，VMD采用的分解模式是变分、非递归的，这样则避免了模态混叠现象而且分解信号有了更好的稳定性［5～7］，可以在复杂的工业环境中以更好的方式来提取所处理信号的关键信息，已经在风电机组故障诊断、滚动轴承故障诊断［8］等方面成功应用。因此本文在针对VMD在提取信号故障特征方面的这一优越性能，提出了一种基于压缩感知及VMD结合的船舶推进轴系轴承故障诊断方法。

2 压缩感知原理

2.1 信号的稀疏表示

设Rn空间的正交基向量为，组成正交基矩阵ψ=。在Rn空间中任意向量x都可以表示为

如果信号是可压缩的，则θ∈Rn×1中仅仅存在k个非零项，且k≪n。即可称θ是k-稀疏的，或者x在基Ψ上是k项稀疏的。

2.2 信号的观测

通过m×n维的观测矩阵Φ进行信号观测，这个过程等价于数据降维，得到观测数据y∈Rm×1。

由于m＜n，该问题是一个欠定问题。一般会将重构原始信号x的过程转换成求解一个最优化l0范数的问题，如果满足以下两点即可，其一信号x是稀疏（可压缩）的，其二Φ若满足约束等距性质（Restricted Isometry Property，RIP）［9］。

2.3 信号的重构

信号的重构问题可以如下式描述：

即将恢复原始信号x的过程转换成了求解l1范数最小的问题［10］。

文献［11］指出，如果信号 x∈Rn在正交基Ψ下的变换系数是K稀疏的，随机测量矩阵Φ和正交基Ψ的互相干为μ(ϕ,ψ )，则式（3）所示的问题在满足式（4）的条件下将大概率有准确解，换句话说，要想实现压缩感知框架下精确的信号重构，观测值则必须满足如下条件：

3 压缩感知与VMD的综合

基于压缩感知与VMD相结合的故障诊断算法主要包括两个核心部分，首先是用高斯随机矩阵测量将要诊断的振动信号x∈Rn，并利用观测矩阵Φ进行降维观测，然后得到观测数据 y∈Rm×1，接着利用构造的矩阵A=ϕψ重构信号；其次将重构好的振动信号采用VMD进行分解，通过文献［12］提及的峭度准则选取出峭度值最大的模态，将其作为故障特征最敏感分量并分析其包络谱，然后将所得包络谱与计算所得的故障特征频率进行匹配，最终诊断出船舶推进轴系故障所在。步骤如下：

1）得到观测数据 y∈Rm×1，即对原信号 x∈Rn进行随机测量，采用观测矩阵Φ进行线性投影；

2）构造重构矩阵 A=ϕψ，并且本文采用OMP算法［12］对信号进行重构，即压缩感知信号重构可以归结为求解l1范数最小问题，并且针对振动信号无法预知频域上稀疏度的问题本文采用设置停止阈值λ的方法来解决，当信号重构的误差小于阈值λ的时候就停止循环，同时设定循环次数初值，当循环次数大于该设定初值时，亦停止循环，以保证算法实时性。

OMP流程如下：

初始值：

故障特征库A，待测样本y，待测样本长度M，停止阈值λ，最大循环次数为Itermax，Itermax=M。初始残余r0=y，初始索引集Λ0和存储集Θ0均为空集。

迭代步骤（m次循环中）：

1）将待测样本y与故障特征库A中的每一列进行内积运算，用ηm表示最大内积值对应的A列数，则将ηm放入索引集Λm=Λm-1∪{ηm}，然后将A的第ηm列保存进存储集。

2）求解式子tm=mint‖-Θmt2‖y。

3）求待测样本的逼近值 cm，更新残差；rm=y-cm。如果‖rm‖2‖y2＞‖λ且m＜Itermax则继续循环，否则停止循环。

最终tm和Λm均包含m个元素。t中的非零元素即为tm，Λm则表示这m个非零元素的位置。

4）用如上步骤所示的方法进行数据重构后，接着利用VMD进行分解；

5）根据峭度准则选取步骤三所得一系列模态分量的最大峭度值，并分析其包络谱；

6）匹配所得包络谱与船舶推进轴系故障特征频率，进行准确的故障诊断。

4 轴承振动数据的分析与验证

实验数据选取美国凯斯西储大学轴承数据中心的轴承振动数据，轴承型号为SKF 6205-2RS型深沟球轴承，采用电火花加工的单点损伤模拟故障，故障直径为0.1778 mm，转速为1797 r/min，采样频率为12kHz，由经验式（5）、（6）计算得162.18Hz、107.31Hz分别对应轴承内外圈的故障特征频率。图1为对轴承内圈故障及正常状态的加速度信号进行采样后得到的两种状态的时域频域波形。由图得，发生故障时振动幅值增大显著，而且时域信号有明显的周期脉冲成分。

式中：n为滚动体数目；d为滚动体直径；D为轴承节径。

表1 深沟球轴承的规格信息

本文研究轴承振动信号测量和重构时，稀疏矩阵使用DCT变换矩阵，高斯随机测量作为观测矩阵，在利用OMP重构过程中，λ的取值与重构信号和原始信号的能量差成正比，但与计算法杂度成反比，为了选取最优λ，令其取不同的值，研究重构信号的VMD分量包络谱故障频率的识别情况。

图1 轴承正常状态与故障状态时频域图

由图2看出，令阈值 λ分别取0.001、0.01、0.1，特征频率均可以清晰地被识别出来，因此在不影响故障识别效果的情况下，可以适当选取较大的阈值λ提高重构效率。

图2 重构信号包络谱特征频率识别效果

在压缩感知中，观测量与信号重构精确率成正比，即观测量M越大，投影所得信号中原始信号信息越多，M越小则相反。为了得到最佳的观测量，研究采用压缩感知算法时在不同的压缩比下的重构效果，定义压缩比C=M/N。如式（7）所示，采用文献［8］给出的匹配度衡量重构效果：

其中，X为原始信号，Xˆ为重构信号。

易知匹配度取值范围是0～1，即重构精确度越大，匹配度值越接近1。由如图3可看出重构信号的匹配度与压缩比成正比关系。由此可得，存在最佳观测值既能满足较高的信号重构率同时又可以减少重构的复杂度。

图3 匹配度随压缩比变换曲线

综上，取长度N为4096轴承内圈故障信号，测量数M取2048，即压缩比C=0.5。首先构造2048×4096的高斯随机测量矩阵Φ，构造重构矩阵 A=ϕψ ，用OMP进行信号重构，在OMP中，令阈值λ=0.05，得到压缩重构后的轴承内圈故障信号，接着用VMD处理重构信号，如图4所示。

图4 VMD分解重构信号的各模态分量时频域波形

经VMD分解得到的各模态分量频带没有出现混叠，且各时域图冲击比较明显，频域图中显示了对原信号从低频到高频的分解结果，根据前文所述的峭度准则原则选取IMF3分量分析其包络谱，观察图5所得，有两处较明显的峰值，分别是转频为58.59Hz及161.1Hz处，其中，58.59Hz对应二倍转频，162.18Hz则与前文计算所得的轴承内圈的故障特征相符。

同样的方法，对外圈故障数据重构，然后对重构的故障数据VMD分解，选取峭度值最大的模态分量进行包络谱分析，如图6所示，可以看出转频为29.3Hz，108.4Hz处有较为明显的峰值，而108.4Hz同样符合之前计算所得的外圈故障频率107.31Hz。

图5 内圈故障信号IMF3分量的包络谱

图6 处理后外圈故障信号包络谱

为了验证该算法的可实施性以及进行更清晰的对比，论文对内外圈的原始故障信号进行了VMD分解并进行包络谱分析，如图7所示。对比两种不同数据所得的包络谱图，可以看到仅仅是幅值数值存在很小的差异，而故障特征频率及转频数值均一致，由此验证了该算法的可靠性。

图7 原始信号内外圈故障信号包络谱图

5 结语

运用本文方法对实际轴承振动数据进行分析处理，可以有效分析出轴承故障状态。

1）首先本文结合压缩感知在采集信号的优越之处不但确保了不丢失原信号的重要信息，并且很大程度上节省了数据的存储传输成本。

2）以设定阈值以及限定次数控制压缩数据的重构过程，可以有效兼容算法的实时性和重构精度。

3）根据峭度准则选取利用VMD分解后的重构数据的最佳模态，分析其包络谱，能够准确有效地识别故障。