圆锥曲线中直线过定点问题探析

胡贵平

(甘肃省白银市第一中学 730900)

“定点”问题是圆锥曲线常考题型，注重知识的综合，更注重数学思想方法，难度较大，纵观近几年高考，圆锥曲线中直线过定点问题频频出现，下面类比探析其相似性.

命题1 已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过定点(t，0)(t>0)且不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于M，N两点，则在x轴上存在点P(-t，0)，使得∠OPM=∠OPN.

例1(2018全国新课标Ⅰ文)设抛物线C：y2=2x，点A(2，0)，B(-2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．

图1

(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：∠ABM=∠ABN．

解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，代入y2=2x， ∴M(2,-2),N(2,2)或M(2,2),N(2,-2),∴BM的方程为：2x+x+2=0或2y-x-2=0.

∴kBM=-kBN,∴∠ABM=∠ABN.

拓展已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过定点(t，0)(t<0)且不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于M，N两点，则在x轴上存在点P(-t，0)，使得∠OPM+∠OPN=180°.

命题2 已知抛物线C：y2=2px(p>0)，点P(-t，0)(t>0).设不垂直于x轴的直线l与抛物线C交于M，N两点，若∠OPM=∠OPN，则直线l过定点(t，0).

(1)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

(2)存在符合题意的点.证明如下：

设P(0,b)为符合题意的点，M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1,k2.

将y=kx+a代入C的方程整理得x2-4kx-4a=0.

∴x1+x2=4k,x1x2=-4a.

当b=-a时，有k1+k2=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以P(0,-a)符合题意.

得(b2+a2k2)x2-2a2k2tx+a2(k2m2-b2)=0，

图2

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知A,B为椭圆长轴的两个端点，作不平行于坐标轴且不经过右焦点F的直线PQ，与椭圆交于P,Q两点，若满足∠AFP=∠BFQ，求证：直线PQ横过一定点.

解(1)依题意知l:y=x-c， ①