对一道思考题的深度剖析

郑文侠

[摘要]对苏教版教材第十二册第19页的一道思考题进行深度剖析，由此弄通两个关键点，从而有效解决问题。

[关键词]思考题;钢材;提出液面

[中图分类号]G623.5  [文献标识码]A  [文章编号]1007-9068（2020）02-0041-01

苏教版教材第十二册有一道非常有意思、有深度的思考题：在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材全部放入水中，这时水面上升9厘米。把这段钢材竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘米。求这段钢材的体积。笔者曾读过一篇讨论这个题目的文章，文中指出如果存在钢材没入水中时，水面刚好没过钢材的特殊情况（如图1），问题的解答就会大不同。该文还提出：“上升9厘米的中空环状液柱的体积，只能按原水位高计算排水体积，也就是水下x厘米（即原水位高）处钢材拉的体积。结合图2展开想象，如果液态水变为固态冰，当把钢材拉出冰面8厘米时，冰下会形成一个圆柱形空洞，这个空洞的底面半径为5厘米，高为8厘米，这个空洞需要用下降的4厘米的中空环状液态水来填充，因此，可以求出中空环状液柱的底面积：3.14x52x8+4=157（平方厘米）。再依据图1不难计算出水下x厘米处的钢材的体积是157x9=1413（立方厘米），而題中9厘米的钢材的体积是3.14x5 2x9=706.5（立方厘米），合起来是1413+706.5=2119.5（立方厘米）。”

一、提出疑问

经过反复思考，笔者发现这样的想法存在偏差。题中描述的信息“把这段钢材竖着拉出水面8厘米”，这个8厘米其实已是将水面下降的高度抵消后的高度，并不代表钢材向上移动的距离为8厘米。由于往上拉起钢材后，水面随之下降了4厘米，根据相对运动原理，其实钢材的实际移动距离只有4厘米。遵循上述思路，按照假设水体结冰的算法，可求出中空环状液柱的底面积：3.14x52x4÷4=78.5（平方厘米）。再依据图1不难求出水下x厘米处钢材的体积是78.5x9=706.5（立方厘米），而第一步操作中，9厘米的钢材的体积是3.14x52x9=706.5（立方厘米），加起来就是706.5x2=1413（立方厘米）。

二、教师教学用书上的解法

教师教学用书上提供的权威解答是：因为拉出水面8厘米的钢材体积等于沉落环状液柱的体积，据此可以推算出圆柱形储水桶的底面积是3.14x52x8÷4=157（平方厘米），而上升9厘米的液柱体积刚好等于钢材的体积，然后推算出钢材的体积：157x9=1413（立方厘米）。

教师教学用书提供的这种解法，实际上是默认了钢材的高度小于或等于原水位高的情况，自动排除了钢材的高度大于原水位高的情况。其实，只要钢材的高度大于原水位高，那么钢材投入水中，水面上升的形状就不可能完全是容器的形状，而必须去掉钢材造成的空心空间。

三、弄通两个关键点

当圆柱形储水桶的水足以盖过钢材时，浸没钢材后在钢材顶部还有一段明显水位，“上升9厘米的液柱体积等于钢柱的体积”这一点很容易讲得通，因为此时水面完全沿着圆柱形储水桶的内部形状上升。但是如果钢材浸没后的水面刚好与钢材顶面齐平（如图3），那么上述结材论就不再适用。

因为此时圆柱形储水桶内水位上升9厘米的过程中，水柱的静态形状是一段中空的环状液柱，外加一段实心的桶状液柱（即图3中标记的“c”部分），如果继续牵强地解释“上升9厘米的液柱体积等于钢材的体积”，那么学生一定会误解题意。观察图3可知，两段的体积和等于钢材的体积，而“a=c”，所以“b+c=a+c”，换言之，“钢材的体积=圆柱形储水桶9厘米高的纯液柱的体积”。

到这里，问题只解决了一半，后一步的操作“拉出水面8厘米的钢材的体积等于沉落液柱的体积”才是重中之重，这也是理解难度最大的。观察图4，下降的4厘米分明是一段环状液柱，似乎不可能与拉出水面8厘米的钢柱的体积相等，因为“a+b”这两段体积之和是8厘米钢柱的体积，而“a+c”这两段体积和是与圆柱形储水桶同体的4厘米的纯液柱体积，因为“b=c”，所以“a+b=a+c”，也就是说“拉出水面的8厘米钢材的体积=与圆柱形储水桶同体的4厘米的纯液柱体积”。

突破了上述两个难点，才能顺理成章地求出钢材的体积：3.14x52x8÷4=157（平方厘米），157x9=1413（立方厘米）。