带时滞项的Boussinesq-Beam方程的拉回吸引子

徐瑰瑰, 王利波, 林国广

(1. 凯里学院理学院， 凯里 556011； 2. 云南大学数学与统计学院， 昆明 650091)

带有时滞项的Boussinesq-Beam方程如下：

(1)

其中,Ω是N(N≥3)中具有光滑边界∂Ω的有界区域,h是作用在某种带有遗传特征的解上的算子,f(x,t);L2(Ω))为依赖于时间的外力项,φ是区间[-r,]上的初值,,α≥0，r(>0)是时滞影响的长度. 对任意的t≥,用ut表示定义在区间[-r,0]上满足ut(θ)=u(t+θ)(θ(-r,0))的函数.

当α>0时,方程(1)是改进的Boussinesq方程. 文献[1]研究了带阻尼的广义Boussinesq方程utt-Δu-Δutt+Δ2u-kΔut=Δf(u)解的整体与局部存在性以及解的爆破. 文献[2]利用压缩映射原理证明了带有流体力学的阻尼项的Rosenau方程在n维时间权重的Sobolev空间中解的整体存在性与渐近性. 文献[3]在一定假设条件下证明了带非线性项方程utt-Δu-Δutt+Δ2u+kΔut=Δf(u)的弱解的整体存在性. 当α=0时,方程(1)是Beam方程,又称为梁方程,是出现在不同物理背景中的四阶偏微分方程. 文献[4-7]得到了Beam方程的解的爆破、弱解的整体存在性、爆破速率以及一致吸引子等相关结论.

目前，对带有时滞项的Boussinesq-Beam方程的研究比较少,本文在文献[14]、[17]的基础上,研究带有时滞项的Boussinesq-Beam方程的拉回吸引子的存在性.

1 预备知识

为方便起见，引入以下记号.

用CX表示Banach空间C([-r,0];X),并赋予上确界模,对任意的uCX,其范数记为

记(X,‖·‖X)、(Y,‖·‖Y)是满足连续嵌入X⊂Y的Banach空间. 用CX,Y表示Banach空间CX∩C1([-r,0];Y),并定义其上范数‖·‖CX,Y为

类似于文献[11],将算子h定义为h:×CH→H且满足

(H1)对任意的ξCH,t→h(t,ξ)H是连续的;

(H2)对任意的t,h(t,0)=0;

(H3)存在Lh>0,使得对任意的t和ξ,ηCH,有

‖h(t,ξ)-h(t,η)‖≤Lh‖ξ-η‖CH;

(H4)存在m0>0,Ch>0,使得对任意的m[0,m0],≤t,u,vC([-r,];H),有

(2)

下面阐述动力系统的拉回吸引子的基本概念及相关结果.

令X是完备的度量空间,距离为d(·,·). 如果有一族定义于X上的双参数映射U(t,)∶X→X(t≥,)满足：

(1)U(t,)=U(t,r)U(r,) (≤r≤t),

(2)U(,)=Id是一恒同算子，,

则称U(t,)是一过程.

令P(X)是X上所有非空子集族,令是非空集合族0(t)={D0(t)∶t}⊂P(X)组成的非空集类.

定义1[8]设{U(t,)}t≥是Banach空间X上的过程,若对任意的t,任意序列n→-和xn在X中有收敛子列,则称{U(t,)}t≥为拉回-渐近紧.

定义2[8]设{U(t,)}t≥是Banach空间X上的过程,若对任意的t和任意的,存在=(t,)≤t,使得

U(t,)D()⊂B(t) (≤(t,)),

定义3[8]设{U(t,)}t≥是Banach空间X上的过程,若一族集合={A(t)∶t}⊂P(X)满足

(1)对任意的t,A(t)是紧的;

定义4[8]设{U(t,)}t≥是Banach空间X上的过程,集合是X的任意子集,则称

定义6若对任意的m>0,用1表示由非空子集族={D(t)∶t}⊂(CD(A),V)所组成的集类,且满足

引理1[10]设{U(t,)}t≥是Banach空间X上的过程,若{U(t,)}t≥满足

(1){U(t,)}t≥在X中存在拉回-吸收集={B(t)∶t}⊂,

(2){U(t,)}t≥在中拉回-渐近紧，

则称过程{U(t,)}t≥存在唯一的拉回-吸引子={A(t)∶t},其中

为了考查过程{U(t,)}t≥的渐近紧性,需要以下引理.

引理2[10]设{U(t,)}t≥是Banach空间X上的过程,且{U(t,)}t≥存在-吸收集={B(t)∶t}. 若对任意的ε>0,存在T=T(t,,ε)=t-和Ψt,T(·,·),使得

‖U(t,t-T)x-U(t,t-T)y‖≤ε+Ψt,T(x,y) (x,yB()),

则称{U(t,)}t≥是X上的拉回渐近紧过程,其中Ψt,T(·,·)依赖于t和T.

2 主要结论

利用Fadeo-Galerkin方法和不动点理论,给出初边值问题(1)的解的存在性和唯一性：

uC([-r,T];D(A))∩C1([-r,T];V),

由定理1,可以定义初边值问题(1)的解过程{U(t,)}t≥:

U(t,

并且过程{U(t,)}t≥在CD(A),V中连续.

为了得到初边值问题(1)的解所生成的过程{U(t,)}t≥在CD(A),V拉回吸引子的存在性,首先需要证明下面的定理.

其中,C1=min{α1,1/2},ρ0>0是依赖于初值的常数.

(1-ε)‖v‖2-αε‖v‖2+ε(1-βε)‖Δu‖2+

ε(ε-1)(u,v)+αε3‖u‖2+β‖Δv‖2=

(h(t,ut),v)+(f(x,t),v).

(3)

由Hölder不等式和Young不等式,式(3)可变形为

αε3‖

(4)

由ε的限制条件可知

(5)

其中,y(t)=‖v‖2+α‖v‖2+(1-βε)‖Δu‖2+αε2‖u‖2.

在式(5)两端同时乘以eδt,有

(6)

对式(6)关于时间t在[,t]上积分,并利用假设条件(H2)、(H4)可得

eδty(t)≤eδy(

eδty(t)≤eδy(eδs‖u‖2ds+

eδy(

(7)

eδty(t)≤eδy(

这表明：对任意的t≥,有

y(t)≤y()e-(δ-C3)(t-)+C2e-(δ-C3)(t-)+

(8)

(9)

记m=δ-C3,用t+θ代替式(9)中的t,则对任意的t-h≥,有

(10)

接下来证明{U(t,)}t≥具有拉回1-吸收集.

(11)

下面证明{U(t,)}t≥在CD(A),V中是拉回1-渐近紧的.

(12)

定义能量泛函

(13)

在式(13)两端同时乘以emt并关于时间t在[s,t]上积分,有

(14)

对式(14)关于s在[,t]上积分,有

(t-

(15)

用-w与式(12)作内积,并利用Hölder不等式、Young不等式及式(2)有

(16)

在式(16)两端同时乘以emt并关于时间t在[s,t]上积分,有

(17)

在式(17)两端关于s在[,t]上积分,有

(18)

在式(18)两端同时乘以m/2,并整理有

(19)

把式(19)代入式(15)右端,有

(t-

(20)

在式(16)两端同时乘以emt并关于时间t在[,t]上积分,有

(21)

把式(21)与式(20)相加并整理有

(t-

由假设条件(H3)可知

(22)

由Hölder不等式、式(2)及式(8),可得

(23)

(t-

(t-

(t-

(24)

(25)

结合式(23)～(25),设T=t-且

(26)

则式(22)可以变形为

其中，Ct,依赖于t和.

由定理2的证明可知:um在L2(,t;D(A))中强收敛到在L2(,t;V)中强收敛到在L(,t;D(A))中弱*-收敛到在L(,t;V)中弱*-收敛到于是

因而,由定理1～定理4和引理2可得: