例析平抛运动与斜面的组合问题

许文

将平抛运动与斜面组合是一种常见的深化平抛运动的构题方式。这类组合问题往往通过斜面的一些隐含条件，能很好地考查同学们对平抛运动规律的理解与运用。下面通过实例剖析平抛运动与斜面组合的几种经典构题方式，探究各种组合问题的命题规律，总结求解问题的分析方法。

一、起点在斜面外、落点在斜面上的平抛

起点在斜面外、落点在斜面上的平抛运动问题往往会给出做平拋运动的物体落在斜面上的速度方向与斜面的夹角或物体落在斜面上的位置。斜面往往会隐含着物体做平抛运动末速度的方向、平抛运动的水平位移与竖直位移间的关系。通常根据斜面的倾角，由几何关系、三角函数等数学知识找出相关的隐含条件，才能使问题得以顺利求解。

例1 如图1所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面时运动的时间为t，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（ ）。

点评

本题中斜面约束了小球的平抛运动，斜面的倾角隐含着小球做平抛运动的末速度方向、水平位移与竖直位移间的关系。通过相关的数学知识找出这种隐含条件是分析求解这类问题的关键。

例2 如图2所示，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰好落在b点。若小球的平抛初速度变为v，落点位于c点，则（ ）。

A. v0

B.√2v0

C. 2v0

D. v>3v0

例3 如图4所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，现测得AB：BC：CD =5：3：1，则（ ）。

A.从A、B、C三处抛出的三个小球的运动时间之比为1：2：3

B.从A、B、C三处抛出的三个小球落在斜面上时的速度与初速度间的夹角之比为1：1：1

C.从A、B、C三处抛出的三个小球的初速度大小之比为3：2：1

D.从A、B、C三处抛出的三个小球的运动轨迹可能在空中相交

解析

因为AB：BC：CD=5：3：1，所以从A、B、C三处抛出的三个小球做平抛运动的位移大小之比为

点评

本题中三个小球的运动均为同一斜面上的平抛运动，上述求解过程中充分利用了斜面上平抛运动的几个二级结论，即运动时间t∞v0，合位移s∞v0，末速度与初速度方向间夹角a与斜面倾角θ之间满足tan a= 2tanθ，实现了快速求解问题的目标。

例4 如图5所示，每级台阶高h=0.2 m，宽l=0. 25 m。一小球从台阶顶以初速度v0=2 m/s平抛，问：小球最先落在哪一级台阶上？（取g=10 m/s02）

点评

本题对小球落在哪一级台阶上的判断，需要先求出小球做平抛运动的水平位移z或竖直位移y的大小，再根据每一级台阶的宽度或高度进行推理判断。上述求解过程中先通过连接每一级台阶顶部构成一斜面，再利用起点与落点均在同一斜面上平抛运动的相关二级结论，使得问题得到有效的解决。

三、起点在斜面上、落点在水平面上的平抛

对起点在斜面上、落点在水平面上的平抛运动问题的分析与求解，要充分挖掘隐藏在几何图形中的相关隐含条件，必要时还可将平抛运动的轨迹延长到与斜面或水平面相交，从而将问题转化成起点与落点均在同一斜面上或不被斜面约束的平抛运动问题。

点评

本题分析的难点是第三种可能的情况。我们把落在斜面上的平抛运动轨迹延长到与水平面相交，把落在水平面上的平抛运动轨迹延长到与斜面相交，将问题进行转化比较，从而顺利地突破了这个难点。

感悟与提高

1.如图9所示，一固定斜面体的倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，击中了斜面上的P点;将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，恰好垂直斜面击中Q点。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法中正确的是（ ）。

A.若小球A在击中P点时的速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tanθ=2tanφ

B.若小球A在击中P点时的速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tanφ=2tanθ

C.小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2θ：1

D.小球A、B在空中运动的时间之比为tan2θ：1

2.如图10所示，横截面为直角三角形的两个相同斜面体紧靠在一起，固定在水平面上，它们的竖直边长都是底边长的一半。小球从左边斜面的顶点以不同的水平初速度v向右平抛，最后落在斜面上，其中三次的落点分别是a、b、c。下列判断正确的是（ ）。

A.小球落在a点时的飞行时间最短

B.小球落在c点时在飞行过程中的速度变化最大

C.小球落在c点时在飞行过程中的速度变化最快

D.无论小球抛出时的初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直

3.如图11所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一个小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，小球做平抛运动的时间为t0。现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球，则图12中四幅图像能正确表示小球做平抛运动的时间t随初速度v变化的函数关系的是（ ）。

4.如图13所示，一小球以初速度v0从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M点且速度水平向右。现将该小球以初速度2v0从斜面底端朝同样方向斜向上抛出，落在斜面上的N点。下列说法中正确的是（ ）。

A.落到M和N两点所用时间之比为1：2

B.落到M和N两点时的速度大小之比为1：1

C.M和N两点距离斜面底端的高度之比为1：2

D.落到N点时的速度方向水平向右

参考答案：1. BC 2.D 3.C 4.AD

（责任编辑 张巧）