大学物理学习中微积分教学策略研究与应用

郭纪源

(江苏科技大学 理学院，江苏 镇江，212003)

物理知识的学习需要有较好的数学基础，而随着物理问题和物理知识应用越接近实际，所需解决的问题越复杂，需要的数学知识越多且越抽象。例如对于复杂的变量问题和连续性模型问题的求解，需要学生掌握高等数学中的微积分知识。但低年级大学生往往受限于抽象的数学概念和运算法则的定义，在微积分解题中，生搬硬套的多，而缺乏灵活理解。所以，尽管大学物理的初始学习安排在高等数学微积分之后，仍然有较多学生在学习大学物理时不理解微积分的应用[1-5]。在大学物理教与学过程中，如何结合微积分把大学物理知识学好，把大学物理问题解决好，是一个值得探索的问题。

任课教师在讲解基础力学物理知识时，忽略或者降低极限、微分和积分数学运算法则与物理问题的关联性，只是直接地套用到基础力学知识教与学中，容易让学生感到迷惑，学生的学习积极性和兴趣大打折扣[6-7]。数学是抽象的，在学习极限、微分和积分时，很多学生仅仅是根据运算法则来求解这类数学题目，而这种抽象是不利于物理学习的，学生很难理解这种抽象法则的意义。理解描述物理规律的数学表达式的物理意义是教学中的重点。微积分也是源于物理问题的求解，在微积分的物理知识初始应用中，不妨回归到微积分的起源。基于上述分析，本文从高等数学微积分的基本思想出发，以数学对Δ，d，∑和ʃ这4种运算符号的法则定义为起点，结合基础力学中物理量的定义和推导，提出了体现微积分应用的Δ→d和∑→ʃ这2种教学策略。

1 微积分的基本思想

微积分是高等数学中研究函数极限、导数与微分、积分有关理论和应用的数学分支。函数是微积分研究的基本对象，极限是微积分的基本概念，微分和积分是特定过程特定形式的极限[8-9]。早期微积分是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹基于前人的工作，以直观的无穷小量为出发点建立的，数学上虽然缺乏严密的理论基础，但是在实际应用中更好理解。之后，魏尔斯特拉斯和柯西把微积分建立在极限理论的基础上；加之后来实数理论的建立，使极限理论有了严格的理论基础，从而使微积分的基础和思想方法日臻完善。但也因为其理论的严密性，对于初学者来说，微积分更加抽象而难于直观理解。

微积分思想用于解决实际问题，是一种非常重要的物理思维方法，它包含了局部与整体及离散与连续的关系。把复杂的物理量进行无限分割，使得离散的某一个时间或空间上的局部趋于无限小，也即微分；反过来，再把无限多个离散的某段时间或空间上的微元累加求和即积分。微积分包含了有限与无限的对立统一，近似与精确的对立统一。它把复杂的物理问题进行时间、空间范围的有限次分割，在有限小的局部范围内进行近似处理。将分割无限地进行下去，局部范围也就无限地变小。伴随着这样的极限过程，通过有限向无限的转化，实现由近似到精确的分析过程，这正是微积分思想和方法的精妙之处。

2 Δ→d教与学策略

符号Δ代表的运算法则是进行一个物理量的变化或者是它的增量计算，一般定义为这个物理量的后来时刻的值减去之前时刻的值。强调后来时刻的值在前，实际上不仅包含了物理量的时间演化问题，也包含了空间的矢量性问题(标量正负)。例如在基础力学中[10]，常见的物理量增量描述有：

Δr=r2-r1

(1)

Δv=v2-v1

(2)

Δt=t2-t1

(3)

Δx=x2-x1

(4)

ΔS=S2-S1

(5)

Δθ=θ2-θ1

(6)

Δω=ω2-ω1

(7)

式(1)表示位置矢量的增量；式(2)表示速度的增量；式(3)表示时间的增量；式(4)表示x方向位置的增量；式(5)表示路程的增量；式(6)表示角位移的增量；式(7)表示角速度的增量。

总结说来，符号Δ作用在某个具体的物理量上，代表对这个物理量进行增量计算。基础力学学习中还常见到2个Δ量的比值，例如：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式(8)表示平均速度；式(9)表示平均加速度；式(10)表示x方向平均速度；式(11)表示平均角速度；式(12)表示平均角加速度；式(13)表示因变量随自变量的平均变化率。

式(8)至式(13)的Δ量的比值是给出了一段时间内物理量的平均变化效果，强调的是物理量的平均值。平均代表了一种近似，或者说是一定精度范围内的估算。中学物理中，由于涉及的物理模型较为简单(离散或孤立模型)，解决问题的精度要求不高，所涉及的物理量推导及定义较多地采用这种描述方式。而对平均值的描述，中学数学的工具足够了。

随着求解问题的精度要求提高和物理模型的复杂化(连续模型)，符号d被引入进来。d通常代表了一个物理量的微小变化或者是它的微小增量。例如在基础力学中，常见的d量描述有dr，dv，ds，dx，dθ，dω和dt等。可以理解为符号d代表的运算法则是对其作用的物理量取一个微元。很多同学在第一次接触微元时，很可能不太理解。习惯了Δ量的描述，通常认为Δ量是一个比较大的量，d量是比较小的量。d有多小？数学上来讲就是取极限的问题，比如说可以是趋近于0。从物理模型分析来讲，如果Δ量是一个宏观变化量，那么d量可以认为是一个微观变化量，就是在物理量模型上取了极小的一份。例如，dr是取了极小的一段位移，以至于两个位置几乎靠近。dt表示取了极小的一段时间，几乎就是一个时间点。

当人们不满足于了解物理量的平均变化效果，而需要更精准地描述时，便引入了d量微元。把Δ代表的量进一步细分，从极限思想来说，Δ量可分成无限多个d量。就时间段Δ量而言，分成无限多个时间d量，把一段时间分成了很多微元，每个微元趋于0，就近似地得到了1个个代表时刻的d量，即dt。在基础力学中，常见到2个d量的比值：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式(14)表示瞬时速度；式(15)表示瞬时加速度；式(16)表示瞬时速率；式(17)表示x方向的速度分量；式(18)表示瞬时角速度；式(19)表示瞬时加速度；式(20)表示因变量随自变量的瞬时变化率。

式(14)至式(20)的d量的比值给出了对应t时刻物理量的瞬时变化率。把Δ量比值定义推广到了d量比值定义，也是把描述物理量的变化由平均近似描述扩展到了瞬时精确描述。以速度为例，中学阶段学习的就是平均速度，反映的是一段时间内物体运动的快慢，这个时间段越长，得到的反映运动情况的信息越粗糙。大学物理学习的是瞬时速度，时间微元取极限，反映的是某个瞬间物体运动的快慢，这样得到的运动信息就很精确了。

数学上Δ→d是1个取极限的抽象过程，理论严密，法则林立，学习者感觉难度较大。物理学中，这实际上是基于无限分割的思想，在时间上把一段时间变为许许多多的时间微元；在空间上，把一段区域变为许许多多的空间微元，采用比值之后，把平均量推广到瞬时量。这个过程的连续描述形式如下：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

大学物理力学中Δ→d的出现是在位移矢量到速度矢量的推导过程中引入的。大学物理教材大多仅仅是从物理量的定义来说明Δ和d所代表的量，而忽略了Δ和d以及Δ→d所代表的数学意义。把Δ和d以及Δ→d所代表的数学意义结合物理量的物理意义一起分析和讲授问题，能更清楚地给学生展示知识点的本源，学生更容易理解。

3 ∑→ʃ教与学策略

当需要把多个原本离散的小量进行累加求和时，或者被分割的很多的离散极小量累加起来回归连续性问题时，就用到了∑→ʃ运算过程。数学运算中符号∑表示求和，作用到物理量上，代表的运算法则是把物理量进行累加。相对来说，这样的加法运算是学生最熟悉和最容易理解的。对于离散的时间或离散的空间系统，对应的运算法则应用就是叠加原理。例如，物体以不同的加速度在对应的时间段内运动，得到的总速度可以表示为

(26)

类似地，物体以不同的速度在对应的时间段内运动，得到的总位移可以表示为

(27)

此外，离散模型中，质点系所受外力在时间上的累加效果，即冲量表达式：

(28)

还有，质点系所受外力在空间上的累加效果，即力所做的功：

(29)

式(26)至式(29)描述的是在某时间段内或某空间范围内的累加效果，所得的物理量，误差通常是比较大的，时间段Δt或空间范围Δr越大，误差越大。而关于连续模型，采用离散化近似处理之后，再∑求和，所得结果误差也与Δ大小有关，不仅如此，离散化处理时，解决∑求和的项数所采用的方法就是用积分。ʃ是积分符号，表示进行积分运算。不定积分求解是寻找连续函数的原函数过程，数学上比较抽象。但其物理问题涉及的都是定积分计算，物理意义清楚，容易理解。ʃ表示定积分运算，即要在某段时间或空间上进行某个物理量的累加求和，此时累加的项数可以是无穷多，而对应的时间段或空间段是极小的微元。∑代表求和运算，相应的可以表示为下面的连续描述形式：

(30)

(31)

(32)

可以看出，当求和项数增加时，在这个固定时间内的Δ量变小，Δt越小，越能精确地描述物理量的变化，直至取为dt，项数也趋于无穷，累加求和趋于取极限，运算法则变成了积分，这同时也就得到了物体在这个时间段内速度、位移和冲量的精确计算结果。力作用在运动物体上连续做功，可以由下面连续描述表达式进行精确计算：

(33)

而这实际上是把力在每一个微小位移上做的功都进行了累加。

对于作用在连续模型上的物理量，把模型离散化，离散至Δ量大小。在这个Δ量大小时(比如时间Δt或空间Δr)，物理量只能近似地看成是一个恒定的值，进行累加求和(用∑)，所得结果的误差与Δ量大小相关。而若把模型分得更小，每份趋于d量，在这个d量时(比如时间dt或空间dr)，物理量可以认为是恒定值，d量越小，份数越多，越精确。取极限，当dt或dr趋于0时，累加求和(用ʃ)所得结果是精确的。通过这样的过程，以离散化的基本思想为切入点(微元法或微元思维)，也同时解决了连续性模型中的物理计算问题。

4 结论

高等数学中微积分的学习过于抽象，而在大学物理教材中往往只是给出了物理量的直接定义，虽然有物理意义的分析，但常常忽略物理量所描述符号的数学意义。在大学物理教学实践中，教师可以将微积分应用问题分解为Δ→d和∑→ʃ 这2两种教学方式。在物理知识讲解和物理问题分析过程中，以这样的整体教学设计进行教学，并把物理量的物理意义和数学符号的数学意义结合起来进行分析，化繁为简，由抽象变生动，学生克服了学习物理的数学障碍，增强了学习物理的主观能动性，进而增强了课程教学和学习效果。