谈谈中心极限定理及其应用

付苗苗

【摘 要】中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个非常重要的定理，衔接着概率论的知识与数理统计的相关知识，既是教学重点又是难点。中心极限定理证明了，一般的情况下，无论随机变量服从什么样的分布，个相互独立的随机变量的和，当趋向于无穷大时的极限分布，就是正态分布。本文仅介绍其中两个最基本的中心极限定理，并通过举例简介它的应用。

【关键词】中心极限定理;正态分布;随机变量;应用

在概率论与数理统计中，正态分布是一种最重要的分布，它不仅最常见，而且还具有良好的性质。在现实生活中，许多随机变量都服从正态分布，即使有些原来并不服从正态分布的独立的随机变量序列，它们的和的分布也近似服从正态分布，一般地，如果随机现象的某个数量指标受到众多不确定因素的影响，而且这些不确定因素彼此之间没有什么依存关系，且谁也没有特别突出的影响，那么，这些不确定因素对该数列指标影响的 “累积效应”将会使该数列指标近似地服从正态分布。中心极限定理从理论上证明了，在一般的情况下，无论随机变量服从什么样的分布，个相互独立的随机变量的和，当趋向于无穷大时的极限分布，就是正态分布。因此，中心极限定理不仅给我们提供了计算相互独立随机变量之和的概率的近似简单方法，而且解释了在现实生活中，为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。

根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里我们仅介绍两个常用的最基本的中心极限定理，然后，再加以应用。

一、独立同分布的中心极限定理

定理1（林德贝格一列维定理）（独立同分布的中心极限定理）：设随机变量序列相互独立，且服从同一分布，又具有有限的相同的数学期望和方差，且

，则对于随机变量，有。

定理中随机变量的相互独立是说随机变量之间不相互影响，而同分布是指随机变量在序列的前n项部分和中的地位相同，或者说，每个随机变量对前n项的部分和的影响都是微小的。又由于没有限定随机变量共同的分部类型，因此，对于任意类型的随机变量，无论它是离散型，还是连续性，还是其它类型，都具有相同的结论。

将此定理加以推广，我们可以得到更为一般的结论，即只要随机变量相互独立，且每个随机变量对前n项的部分和的影响都是微小的，哪怕他们的分布类型不同，其前n项的部分和的标准化后，都具有标准正态的极限分布。因此，从理论上解释了自然界中一些现象受到众多相互独立

且微小的随机因素的影响，总的影响就可以看作服从或近似服从正态分布。比如，测量某物体长度的误差，就受到众多相互独立随机因素的影响，如测量仪器的精确度、测量者的心理因素、态度、以及测量环境的温度、湿度等众多随机因素的影响，而每个影响因素都不占主导地位，所以，它们的总和造成的总误差就近似的服从正态分布。还比如某城市居民的耗电量;用水量等等。

一般的，如果随机变量相互独立，且同分布，当n较大时，就有如下三个实用的近似分布：（1）;（2）;（3）。

定理2（棣莫佛一拉普拉斯定理）：设随机变量序列相互独立，且服从同一分布，，则对于任意实数，有。

显然，棣莫佛一拉普拉斯定理是林德贝格一列维定理的特例，由于，所以，棣莫佛一拉普拉斯定理表明，二项分布以正态分布为极限。当n充分大时，我们可以利用上式来计算二项分布的概率。即，当n很大时，我们有如下近似 。

由泊松定理，我们知道，当n充分大时，二项分布可以用泊松分布来近似，而由棣莫佛一拉普拉斯定理表明，当n充分大时，二项分布又可以用正态分布来近似。这两种近似，哪一个更优，有待于我们去进一步探讨。

二、中心极限定理的应用举例

例1.设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）在[0，20]上均匀分布。试求：要以99%的概率保证该地区居民供应电量的需要，供电站每天至少应向该地区供应多少度电？

解：设表示第户居民的用电量（），表示该地区总的用电量，则，且各相互独立.又;故;。由林德贝格一列维中心极限定理可知，近似服从正态分布，又由 ，及 可推得，

所以 。故供电站每天至少应向该地区供应10423.57度电.

例2.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50kg，标准差为5kg.若用最大载重量为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.

因此，每车最多可以装98箱，才能保障不超載的概率大于0.977.

例3.在某家保险公司里有1万名司机参加车辆被盗保险，每人每年付 3百元被盗保险费。如果车辆被盗，司机可向保险公司领得 10万元的赔偿金。假设在一年内某一车辆被盗的概率为 0.02%，问：（1）保险公司在该项目上亏本的概率有多大？（2）保险公司在该项目上，一年中获利不少于 50万元的概率是多少？

解：（1）设表示一年内车辆被盗的车辆数，则设表示保险公司一年的利润，则。于是，由棣莫佛一拉普拉斯定理可得：近似服从正态分布，所以。我们有

即保险公司在该项目上亏本的概率为1.25%。

即保险公司在该项目上一年中以86.86%的概率获利不少于 50万元。

中心极限定理的应用十分广泛，以上三个例子仅仅是其应用的一些方面。一般地，如果一个随机变量能够分解为相互独立，且同分布的随机变量序列之和的问题，则就可以直接利用中心极限定理来进行分析和讨论。此外，我们还可以利用中心极限定理来证明无穷级数中的某些级数得敛散性，以及在大样本的情况下，求未知非正态分布的置信区间也同样可用中心极限定理解决等等。由于篇幅所限，这里，就不再累赘了，有兴趣得读者可查看相关得文献。

参考文献：

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（作者单位：广州工商学院基础教学部）