浅谈高斯分布的原理和应用

崔智泉

【摘要】正态分布作为一种重要的连续型随机变量的概率分布，在实际生产生活中，总能瞥见它的身影。通过研究正态分布的起源与发展，阐释正态分布与二项分布的原理，探究正态分布与二项分布之间的关系，并利用优生划分、等级评定等事例体会其在实际生活中的应用，对正态分布这一最常见的连续型随机变量的概率分布进行分析。

【关键词】正态分布 贝努力试验 二项分布 3σ准则

一、高斯分布的起源与发展

在一个钉满钉子的三角木板顶端投放一个小球，让其自由下落，若其下落到规定位置，便能得到奖品。这便是高尔顿的钉板试验。参与者们觉得试多几次便能将奖品要到手，但事与愿违，像是被一股“神力”牵引着一般，小球就是不落到人们期待的那个位置。最终人们发现，中奖的概率实在是太低了！

倘若抛开中奖与否的问题，细心观察，便不难发现：这个小球下落的轨迹近似一条优美的曲线。而这条曲线，早在几百年前，便被冠以“正态分布的密度曲线”的称号。正态分布是最重要的一种概率分布。起初，它是由德国的数学家和天文学家德莫佛于1733年提出的。

后来，因德国数学家高斯率先将其运用到天文学研究中，故正态分布又称为高斯分布。现今德国10马克的纸币上不仅印有高斯的头像，更印有正态分布的密度曲线，足见其对于正态分布应用取得的成就之伟大。高斯发现这个现象时，人们还未认识到其全部影响。后来拉普拉斯将这个发现与自己的中心极限定理相联系，指出：“若误差能看作许多量的叠加，误差也应服从高斯分布。”而德莫佛-拉普拉斯中心极限定理也被许多数学家运用于其他领域，并发现对于一系列重要的统计量，当样本N趋于无穷时，其极限分布都有正态的形式，这构成了数理统计学中大样本理论的基础。

二、高斯分布的原理

1.正态分布

μ和σ作为正态分布的概率密度函数的两个重要参数，对于曲线的位置和形状具有决定性的作用。μ是服从正态分布的随机变量X的均值，称为位置参数：当μ减小时，曲线向左移动；当μ增大时，曲线向右移动（如图1）；σ是服从正态分布的随机变量X的标准差，称为变异参数：当σ越小时，数据越集中，曲线越“瘦”；当σ越大时，数据越离散，曲线越“胖”（如图1）；由于对于任意一个时间，所有可能结果的概率之和均為1，故曲线下的面积是1；故正态分布的概率密度曲线的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了其幅度，又其曲线呈钟形，所以又称之为“钟形曲线”。

分布函数（如图2所示）为：（3）3σ准则

当随机变量X服从标准正态分布时，由标准正态分布的查表计算可得：

3.正态分布与二项分布的对比（略）

三、高斯分布的应用

1.正态分布在确定优生分数线中的应用

在每一场考试中，总有一些刻苦学习同学能取得比较好的分数。那么应该以怎样的标准来将划分出这些优等生呢？如果单单以一个“得分率90%”来划分，看似简单快捷，但由于每场考试的难易程度都不尽相同，故这样的评价方法未免太过粗糙，无法实现一般化。那么该如何确定优等生的评定标准呢？对于这个问题，运用正态分布理论便可以轻松解决（证明略）。

2.正态分布在等级评定中的应用

在每个学期的期末，在每位学生的学生手册上，个别科目会打出A、B、C、D四个等级来评价学生本学期在该科目的表现情况。假设某位同学得到了A等级，可虽然这位同学拿到了A等级，但他却不知道还有多少同学也拿到了A等级，换言之，他不知道自己在年级中大概处于什么位置。这个问题看似棘手，可倘若运用正态分布原理，答案便会变得清晰起来。

3.正态分布在车门高度设计中的应用

在公共汽车的制造过程中，有一个问题是不可回避的：车门的高度应该如何确定，才能确保大部分的人都不碰头而通过呢？如果只是简单地以2m作为车门高度，的确能让大部分的人不碰头，但是这样设计未免会让车高过高，增加制造成本，所以这个方法不可取，应设计一个更为科学的确定方案。结合“让大部分人不碰头”的本质是一个概率问题，不难想到，可以运用正态分布原理，将该问题抽象成标准正态分布模型，再根据概率取值要求得出相应的身高取值，从而得出车门的合适高度。

四、结语

正态分布作为最重要的一种概率分布，在生活中的各个领域都有着举足轻重的作用。如在医学中，可用于估计医学参考值，并以此来确定个体的指标是否处于正常状态；在教育行业，可用于教学质量评估；在生产中则可用于产品质量的检测等。可见，研究正态分布对于现实的生产具有重要意义。

参考文献：

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[2]张瑶.谈正态分布在生活实践中的应用[J].2014，（5）.

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[4]林尚垣.正态分布的应用.2002.