2020年高考数学模拟试卷二

本刊试题研究组

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）

1.已知集合A={x|x2-2x≤0}，B={0，2，4}，C=A∩B，则集合C的子集共有______个.

2.已知复数z满足zi+4=3i（i为虚数单位），则z的共轭复数z=______.

3.已知双曲线x2m-y2=1（m>0）的一条渐近线方程为x+3y=0，则m=______.

4.随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______.

5.为强化环保意识，环保局每周从当地的5所化工厂（甲，乙，丙，丁，戊）中随机抽取3所进行污水合格检测，则在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽测的概率是______.

6.如图，若输入的x值为π3，则相应输出的值y为   .

7.已知一个圆锥的底面半径为3cm，侧面积为6πcm2，则该圆锥的体积是______cm3.

8.已知实数x，y满足x-y>0，x-3y≤0，x+y-4≤0，则z=y+1x的取值范围是______.

9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，C=2A，则cosC的值为______.

10.已知F1，F2分别为椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左，右焦点，点A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆C的离心率e的取值范围是______.

11.已知数列{an}的首项a1=18，数列{bn}是等比数列，且b5=2，若bn=an+1an则a10=______.

12.在平面四边形OABC中，已知|OA|=3，OA⊥OC，AB⊥BC，∠ACB=60°.若OB·AC=6，则|OC|=______.

13.已知正数x，y满足3x+y+1x+2y=132，则x-1y的最小值为______.

14.定义min{a，b}=a，a≤b，b，a>b.已知函数f（x）=ex-1m，g（x）=（x-1）（mx+2m2-m-1），若h（x）=min{f（x），g（x）}恰有3个零点，则实数m的取值范围是______.

二、解答题

15.（本小题满分14分）

如图，已知四棱锥PABCD中，CD⊥平面PAD，AP=AD，AB∥CD，CD=2AB，M是PD的中点.

（1）求证：AM∥平面PBC;

（2）求证：平面PBC⊥平面PCD.

16.（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，点P，Q是以AB为直径的上半圆弧上两点（点P在Q的右侧），点O为半圆的圆心，已知AB=2，∠BOP=θ，∠POQ=α.

（1）若点P的横坐标为45，点Q的纵坐标为12，求cosα的值;

（2）若PQ=1，求AQ·BP的取值范围.

17.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）左顶点，右焦点，椭圆C的右准线与x轴相交于点Q，已知右焦点F恰为AQ的中点，且椭圆C的焦距为2.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N.记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=-1，求直线l的方程.

18.（本小題满分16分）

如图，矩形ABCD是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路MN（宽度不计）经过该矩形区域，其中MN都在矩形ABCD的边界上.已知AB=8，AD=6（单位：百米），小路MN将矩形ABCD分成面积分别为S1，S2（单位：平方百米）的两部分，其中S1≤S2，且点A在面积为S1的区域内，记小路MN的长为l百米.

（1）若l=4，求S1的最大值;

（2）若S2=2S1，求l的取值范围.

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）=ex-mx，x∈R，其导函数为f′（x）.

（1）讨论函数f（x）的单调性;

（2）若x>0，关于x的不等式f（x）≥x2+1恒成立，求实数m的取值范围;

（3）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求证：f′（x1）+f′（x2）>0.

20.（本小题满分16分）

已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn-nan=n.

（1）求证：数列{an}是等差数列;

（2）若数列{an}的公差d>0，设bn=Sn+1n，求证：存在唯一的正整数n，使得an+1≤bn

（3）若a2=2，设cn=an+1an，求证：数列{cn}中的任意一项都可以表示成其他两项的乘积.

附加题

【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21.A.[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵A=1002，B=1201，若直线l依次经过变换TA，TB后得到直线l′：2x+y-2=0，求直线l的方程.

B.[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=a+3t，y=t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.

22.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点M（-1，0），F（1，0），若动点P满足MP·MF=2|MP|.

（1）求动点P的轨迹C的方程;

（2）过点F的直线l与轨迹C相交于A，B，与y轴相交于Q，若QA=λAF，QB=μBF，求证：λ+μ为定值.

23.（本小题满分10分）

已知集合An={x>0|x=k1·2+k2·22+…+kn·2n}，其中n∈N*，n≥2，ki∈{-1，1}（i=1，2，…，n），记集合An的所有元素之和为Sn.

（1）求S2，S3的值;

（2）求Sn.

参考答案

一、填空题

1.4

2.-3+4i

3.9

4.2

5.310

6.12

7.3π

8.[23，+∞）

9.14

10.[5-12，1）

11.64

12.3

13.-12

14.（1e，22）∪（22，1）

二、解答题

15.证明：（1）取CP的中点N，连接BN.

因为M，N分别是PD，PC的中点，

所以MN∥CD，且CD=2MN.

又AB∥CD，且CD=2AB，

所以MN∥AB，且MN=AB，

所以四边形ABNM是平行四边形，

所以AM∥BN，

又BN面PBC，AM面PBC，

所以AM∥面PBC.

（2）因为AP=AD，点M是PD的中点，

所以AM⊥PD，

又AM∥BN，所以BN⊥PD.

因为CD⊥面PAD，AM面PAD，

所以CD⊥AM，

又AM∥BN，所以BN⊥CD.

因为PD∩CD=D，PD，CD面PCD，

所以BN⊥面PCD，

又BN面PBC，

所以面PBC⊥面PCD.

16.解：（1）依题意，半圆O的半径为1，点P的横坐标为45，点Q的纵坐标为12，点P在y轴上方，所以cosθ=45，sin（θ+α）=12.

所以sinθ=1-cos2θ=1-（45）2=35，

cos（θ+α）=±1-sin2（θ+α）

=±1-（12）2=±32.

因为点Q在点P的左侧，所以cos（θ+α）<45，故cos（θ+α）=-32，

故cosα=cos[（θ+α）-θ]

=cos（θ+α）cosθ+sin（θ+α）sinθ

=-32×45+12×35=3-4310.

（2）因为PQ=1，所以△POQ是正三角形，故α=π3.

所以点P的坐标为（cosθ，sinθ），点Q的坐标为（cos（θ+π3），sin（θ+π3）），

又点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0），

故AQ=（cos（θ+π3）+1，sin（θ+π3）），

BP=（cosθ-1，sinθ）.

所以AQ·BP=[cos（θ+π3）+1]（cosθ-1）+sin（θ+π3）sinθ，其中θ∈[0，π3]，

=cos（θ+π3）cosθ+sin（θ+π3）sinθ+cosθ-cos（θ+π3）-1

=cos[（θ+π3）-θ]+cosθ-12cosθ+32sinθ-1

=12cosθ+32sinθ-12

=sin（θ+π6）-12.

因為0≤θ≤23π，π6≤θ+π6≤56π，sin（θ+π6）∈[12，1]，

所以AQ·BP=sin（θ+π6）-12∈[0，12].

17.解：（1）据题意，A（-a，0），

F（c，0），Q（a2c，0）.

因为F是AQ的中点，

故a2c-a=2c，

又2c=2，得c=2，代入上式，解得a=2或a=-1（舍）.

所以b2=a2-c2=3，

所以椭圆C得标准方程为x24+y23=1.

（2）设直线l的方程为x=my+1，M（my1+1，y1），N（my2+1，y2）.

联立方程组x=my+1，x24+y23=1，

整理得（3m2+4）y2+6my-9=0.

故y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4.

所以k1+k2=y1my1+3+y2my2+3

=2my1y2+3（y1+y2）（my1+3）（my2+3）

=2my1y2+3（y1+y2）m2y1y2+3m（y1+y2）+9

=2m（-93m2+4）+3（-6m3m2+4）m2（-93m2+4）+3m（-6m3m2+4）+9=-m，

又k1+k2=-1，故-m=-1，得m=1.

所以直线l的方程为x=y+1，即x-y-1=0.

18.解：依题意，折痕有下列三种情形：

①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上;

②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上;

③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上.

（1）在情形②、③中MN≥6，故当l=4时，折痕必定是情形①.

设AM=xcm，AN=ycm，则x2+y2=16.

因为x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，

所以S1=12xy≤4，当且仅当x=y=22时取等号.

即S1的最大值为4.

（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48.

因为S1∶S2=1∶2，S1≤S2，所以S1=16，S2=32.

（ⅰ）当折痕是情形①时，设AM=xcm，AN=ycm，则12xy=16，即y=32x.

由0≤x≤8，0≤32x≤6，得163≤x≤8.

所以l=x2+y2=x2+322x2，163≤x≤8.

令t=x2，则2569≤t≤64，设y=t+322t，

则y′=1-322t2，令y′=0，得t=32（负舍）.

t2569（2569，32）32（32，64）64

y′-0+

y64496480

所以f（x）的取值范围为[64，80]，

故l的取值范围是[8，45];

（ⅱ）当折痕是情形②时，设AM=xcm，DN=ycm，

则12（x+y）×6=16，即y=163-x.

由0≤x≤8，0≤163-x≤8，得0≤x≤163.

所以l=62+（x-y）2=4（x-83）2+36，0≤x≤163.

所以l的取值范圍为[6，21453];

（ⅲ）当折痕是情形③时，设BN=xcm，AM=ycm，

则12（x+y）×8=16，即y=4-x.

由0≤x≤6，0≤4-x≤6，得0≤x≤4.

所以l=82+（x-y）2=4（x-2）2+64，0≤x≤4.

所以l的取值范围为[8，45].

综上所述，l的取值范围为[6，45].

19.解：（1）依题意，f（x）=ex-mx，x∈R，故f′（x）=ex-m.

①若m≤0，则f′（x）>0，函数f（x）在R上单调递增;

②若m>0，令f′（x）=0，得x=lnm.

当x

当x>lnm时，f′（x）>0，函数f（x）在（lnm，+∞）上单调增.

综上所述，当m≤0时，函数f（x）在R上单调递增;

当m>0时，函数f（x）在（-∞，lnm）上单调减，在（lnm，+∞）上单调增.

（2）依题意，当x>0时，ex-mx≥x2+1恒成立，

即m≤exx-x-1x对任意实数x>0恒成立.

令g（x）=exx-x-1x，x>0.

g′（x）=ex（x-1）x2-1+1x2=ex（x-1）-（x2-1）x2=（ex-x-1）（x-1）x2，

由（1）可知，当m=1时，f（x）=ex-x在（0，+∞）上单调递增，

故f（x）>f（0）=1，即ex-x>1，得ex-x-1>0.

所以方程g′（x）=0有唯一解x=1，

且当0

当x>1时，g′（x）>0，g（x）在（1，+∞）上单调递增.

所以g（x）min=g（1）=e-2.

所以m≤e-2.

（3）因为x1，x2是f（x）=ex-mx的两个零点，

所以ex1=mx1，ex2=mx2，故m=ex1-ex2x1-x2.

故f′（x1）+f′（x2）=ex1-m+ex2-m

=ex1+ex2-2m=ex1+ex2-2（ex1-ex2）x1-x2.

要证：f′（x1）+f′（x2）>0，

即证：ex1+ex2-2（ex1-ex2）x1-x2>0.

不妨设x1>x2，

即证：（x1-x2）（ex1+ex2）-2（ex1-ex2）>0，

即证：（x1-x2）（ex1-x2+1）-2（ex1-x2-1）>0.

令h（t）=t（et+1）-2（et-1），t>0，

即h（t）=（t-2）et+t+2，故h′（t）=（t-1）et+1，

令φ（t）=h′（t）=（t-1）et+1，t>0，

所以φ′（t）=et·t>0，φ（t）=h′（t）在（0，+∞）上单调递增，

故φ（t）>φ（0）=0，即h′（t）>0，所以h（t）在（0，+∞）上单调递增，

所以h（t）>h（0）=0，即t（et+1）-2（et-1）>0对任意实数t>0恒成立.

又x1-x2>0，

所以（x1-x2）（ex1+ex2）-2（ex1-ex2）>0.

得证.

20.解：（1）依题意得，2Sn-nan=n， ①

所以2Sn+1-（n+1）an+1=n+1， ②

②-①得，2an+1-（n+1）an+1+nan=1，

即nan-（n-1）an+1=1， ③

故当n≥2时，（n-1）an-1-（n-2）an=1， ④

③-④得，nan+（n-2）an-（n-1）an+1-（n-1）an-1=0，即2an=an-1+an+1.

所以，当n≥2时，2an=an-1+an+1.

所以数列{an}是等差数列.

（2）据题意得，当n=1时，2S1-a1=1，得a1=1.

故Sn+1=（n+1）+（n+1）n2d，

bn=Sn+1n=（n+1）+（n+1）n2dn.

若an+1≤bn

即n2-n-2d≤0n2+n-2d>0，

解得1+8d-12

因为d>0，所以1+8d-12>0，

又1+8d+12-1+8d-12=1，

故存在唯一的正整数n∈（1+8d-12，1+8d+12]，使得an+1≤bn

（3）据（1）得，数列{an}是等差数列，又a1=1，a2=2，

所以an=n，cn=n+1n.

对任意n∈N*，设cn=ck·ct，其中k，t∈N*，k≠n，t≠n.

故n+1n=k+1k·t+1t，

即1+1n=（1+1k）（1+1t），

所以1n=1k+1t+1kt，解得k=n（t+1）t-n.

取t=n+1，則k=n（n+2），

所以对数列{cn}中的任意一项cn，都存在t=n+1，k=n（n+2）（其中n∈N*）使得cn=ck·ct.

附加题

21.A.解：设点P（x，y）是l上的任意一点，其依次经过变换TA，TB后得到点P′（x′，y′）.

则x′y′=12011002xy，

得x′y′=x+4y2y，即x′=x+4y，y′=2y.

又点P′在直线l′上，所以2x′+y′-2=0，

故2（x+4y）+2y-2=0，即x+5y-1=0.

所以直线l的方程为x+5y-1=0.

B.解：直线l：x=a+3t，y=t（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程为x-3y-a=0.

圆C：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4，

所以圆C的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4，圆心C（2，0），半径r=2.

又直线l与圆C有公共点，

所以|2-a|12+（-3）2≤2，解得-2≤a≤6.

所以实数a的取值范围是[-2，6].

22.解：（1）设动点P（x，y），则MP=（x+1，y），MF=（2，0），|MP|=（x-1）2+y2.

因为MP·MF=2|MP|，所以2（x+1）=2（x-1）2+y2，整理得y2=4x.

故动点P的轨迹C的方程为y2=4x.

（2）设Q（0，t），A（y214，y1），B（y224，y2），其中y1≠y2.

依题意，A，F，B三点共线，故AF∥BF.

又AF=（1-y214，-y1），BF=（1-y224，-y2），

所以（1-y214）（-y2）=（1-y224）（-y1），

化简得y1y2=-4.

又QA=λAF，QA=（y214，y1-t），

所以λ=y2141-y214=y214-y21，

同理，μ=y224-y22.

故λ+μ=y214-y21+y224-y22=y214-y21+（-4y1）24-（-4y1）2

=y214-y21+4y21-4=-1.

所以λ+μ为定值.

23.解：（1）当n=2时，A2={x>0|x=k1·2+k2·22}={x>0|x=2k1+4k2}={2，6}，

所以S2=2+6=8;

当n=3时，A3={x>0|x=k1·2+k2·22+k3·23}={x>0|x=2k1+4k2+8k3}

={2，6，10，14}，

所以S3=2+6+10+14=32.

（2）若kn=-1，且k1=k2=…=kn-1=1，n≥2，n∈N*，

x=2+22+…+2n-1-2n=2（1-2n-1）1-2-2n=-2<0，此时xAn.

所以kn必然等于1，且当k1=k2=…=kn-1=-1，n≥2，n∈N*时，

x=-2-22-…-2n-1+2n=-2（1-2n-1）1-2+2n=2>0，此时x∈An.

所以当kn=1，k1，k2，…，kn-1∈{-1，1}，n≥2，n∈N*时，都有x∈An.

据乘法原理，使得ki=1（i=1，2，3，…，n-1，n≥2，n∈N*）的x共有2n-2个，使得

ki=-1（i=1，2，3，…，n-1，n≥2，n∈N*）的x也共有2n-2个，

所以Sn中的所有ki·2i（i=1，2，3，…，n-1，n≥2，n∈N*）项的和为0，

又因为使得kn=1的x共有2n-1个，

所以Sn=2n-1×2n=22n-1.