2020年高考数学模拟试卷一

本刊试题研究组

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）

1.已知全集U={1，2，3}，A={2}，则瘙 綂

UA=______.

2.已知复数z=m-i1+i（m∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为______.

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5∶5∶4，现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级为12人，则抽取的样本容量为______人.

4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为______.

5.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线经过点（1，2），则双曲线的离心率为______.

6.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于9的概率为______.

7.已知变量x，y满足约束条件|2x+y-2|≤1，x≥0，y≥0，则x-2y+1的最大值为______.

8.已知角α+π6的终边经过点P（-1，-22），则sinα=______.

9.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，∠CAB=90°，AC=AB=2，CC1=2，P是BC1的中点，则三棱锥CA1C1P的体积为______.

10.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且满足Sn=an+1，则数列{Sn}的前10项的和为______.

11.已知函数f（x）=2x2+4x+1，x<0，1ex，x≥0，若函数h（x）=f（x）+12x-a恰有3个不同的零点，则实数a的取值集合为______.

12.若等边△ABC的边长为2，其所在平面内的两个动点P，M满足|AP|=1，PM=MB，则CM·CB的最大值为______.

13.已知正数a，b，c，d满足1a+2b=1，2c+3d=2，则a+bcd的最小值为______.

14.在平面直角坐标系xOy中，已知点A是圆C：（x-4）2+（y-1）2=92上一动点，点B是直线x-y+2=0上一动点，若∠AOB=90°，则OBOA的最小值为______.

二、解答题（本大题共6小题，共计90分）

15.（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3cos（B+C）+2sin2A=0.

（1）求角A的大小;

（2）若B=π4，a=23，求边长c.

16.（本小题满分14分）

如图，四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，AD=2BC，且∠BAD=∠BPA=90°，平面APB⊥底面ABCD，點M为PD的中点.

（1）求证：CM∥平面PAB;

（2）求证：PB⊥PD.

17.（本小题满分14分）

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是圆锥，下部的形状是圆柱（如图所示），并要求圆柱的高是圆锥的高的2倍.

（1）若圆柱的底面圆的半径为3m，仓库的侧面积为63πm2，则仓库的容积是多少？

（2）若圆锥的母线长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大.

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）过点P（2，0），且两准线间的距离为833.

（1）求椭圆的方程;

（2）已知B2，B1分别是椭圆的上、下顶点，过点E（0，12）的直线l与椭圆交于M，N两点，直线MB2与直线NB1的交于点T.

①若直线l的斜率为12，求点T的坐标;

②试问点T是否在某定直线上？若在定直线上，求出定直线方程;若不在定直线上，请说明理由.

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）=x2+（a+2）x+aex（a∈R），g（x）=exf（x）.

（1）若A={x|g（x）≤9，x∈[a，+∞）}≠，求实数a的取值范围;

（2）设f（x）的极大值为M，极小值为N，求MN的取值范围.

20.（本小题满分16分）

已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{bn}满足bn=an·an+1·an+2（n∈N*），

（1）若数列{an}满足a10=-2，a4，a14，a9成等比数列;

①求数列{an}的通项公式;

②数列{bn}的前n项和为Sn，当n多大时，Sn取最小值;

（2）若数列{cn}满足cn=an+1an+2-a2n（n∈N*），且等差数列{an}的公差为13，存在正整数p，q，使得ap+cq是整数，求|a1|的最小值.

附加题

21.（本小题满分10分）

已知直线l：x-y-1=0在矩阵M=2013对应的变换作用下变为直线l′：ax+by-2=0，求实数a，b的值.

22.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点（2，0），且倾斜角为60°，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2=4cos2θ+3sin2θ.

求：（1）曲线C的直角坐标方程;

（2）直线l被曲线C截得的线段长.

23.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点是F（1，0）.

（1）求抛物线C的方程;

（2）过F（1，0）作两条直线l1，l2分别交抛物线于A，B和C，D四点，且△ABD的面积是△ABC的面积的4倍，求直线l2的方程.

24.（本小题满分10分）

设n≥4且n为正整数，从{1，2，…，n}中选出4个不同的数a，b，c，d使得a+d=b+c（不考虑a，b，c，d间的顺序）的不同取法种数记为f（n），如f（4）=1，f（5）=3.

（1）求f（6）、f（7）;

（2）设n≥4，求f（n）.

参考答案

一、填空题

1.{1，3}

2.1

3.42

4.15

5.5

6.16

7.52

8.1-266

9.23

10.1023

11.{1，12+12ln2}

12.4

13.13+43

14.14

二、解答题

15.（1）在△ABC中，由A+B+C=π，

sin2A+cos2A=1及3cos（B+C）+2sin2A=0，

得：3cos（π-A）+2（1-cos2A）=0，

所以2cos2A+3cosA-2=0，

所以（2cosA-1）（cosA+2）=0，

因为cosA∈（-1，1），所以cosA=12，

因为A∈（0，π），所以A=π3.

（2）sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）

=sinAcosB+cosAsinB

=32×22+12×22=6+24，

在△ABC中，由正弦定理得：csinC=asinA，

所以c6+24=2332，所以c=6+2.

16.证明：（1）取AP的中点H，连接BH，HM，

因为H，M分别为AP，DP的中点，

所以HM=12AD且HM∥AD，

因为AD∥BC且AD=2BC，所以HM=BC且HM∥BC，

所以四边形BCMH为平行四边形，所以CM∥BH，

因为CM平面PAB，BH平面PAB，

所以CM∥平面PAB.

（2）因为∠BAD=90°，所以BA⊥AD.

因为平面APB⊥平面ABCD，AD平面ABCD，平面APB∩平面ABCD=AB，

所以AD⊥平面APB，

因为PB平面PAB，所以PB⊥AD，

因为∠BPA=90°，所以PB⊥PA，

因為PA∩PD=P，PA，PD平面PAD，

所以PB⊥平面PAD，

因为PD平面PAD，所以PB⊥PD.

17.（1）解：设圆锥的高为hm，因为圆柱的高是圆锥的高的2倍，所以圆柱的高为2hm.

仓库的侧面积

S=12×2π×39+h2+2π×3×2h=63π，

所以9+h2=21-4h，所以9+h2=（21-4h）2，

所以5h2-56h+144=（h-4）（5h-36）=0，

所以h=4或h=365，

当h=365时，21-4h<0，所以h=4m，

所以仓库的容积为

13π×32×4+π×32×8=84πm2.

答：仓库的容积是84πm2.

（2）设PO1为xm，圆柱的底面圆的半径为rm.

仓库的容积V=13×π×r2×x+π×r2×2x

=73πr2x=73π（-x3+36x），x∈（0，6），

设f（x）=-x3+36x，x∈（0，6），

令f′（x）=-3x2+36=0得：x=23，

x（0，23）23（23，6）

f′（x）+0-

f（x）↗极大值↘

所以x=23m时，仓库的容积V取得极大值，也是最大值.

答：当PO1为23m时，仓库的容积最大.

18.（1）设椭圆的半焦距为c.

因为椭圆过点P（2，0），且两准线间的距离为833，

所以a=2，2×a2c=833，

所以a=2，c=3，b=a2-c2=1，

所以椭圆的方程为x24+y2=1.

（2）①设M（x1，y1），N（x2，y2），

因为直线l的斜率为12，所以直线l的方程为

y=12x+12，

由x24+y2=1y=12x+12得：2x2+2x-3=0，

所以x1=-1-72，x2=-1+72，

由y=y1-1x1x+1y=y2+1x2x-1得：（y1-1x1-y2+1x2）x=-2，

所以x=2x1x2x1（y2+1）-x2（y1-1）

=2x1x2x1（x22+32）-x2（x12-12）

=4x1x23x1+x2=27-4，

y=y1-1x1（27-4）+1=x1-12x1（27-4）+1=2.

点T的坐标为（27-4，2）.

②由x24+y2=1y=kx+12得：（1+4k2）x2+4kx-3=0，

所以x1+x2=-4k1+4k2，x1x2=-31+4k2，

由y=y1-1x1x+1y=y2+1x2x-1

得：

[x1（y2+1）-x2（y1-1）]y

=[x2（y1-1）+x1（y2+1）]，

所以y=[x2（y1-1）+x1（y2+1）][x1（y2+1）-x2（y1-1）]

=x1y2+x2y1-x2+x1x1y2-x2y1+x2+x1，

x1（kx2+12）+x2（kx1+12）-x2+x1x1（kx2+12）-x2（kx1+12）+x2+x1=4kx1x2+3x1-x23x1+x2

=4kx1x2-3（x1+x2）+6x1+2x23x1+x2

=4k-31+4k2-3-4k1+4k2+6x1+2x23x1+x2=2，

所以点T在直线y=2上.

19.（1）因为A={x|g（x）≤9，x∈[a，+∞）}≠，

所以函数g（x）=x2+（a+2）x+a的最小值小于等于9.

1°当a≥-23时，函数g（x）的对称轴为-a+22≤a，

所以g（x）min=g（a）=2a2+3a≤9，所以-3≤a≤32，

因为a≥-23，所以-23≤a≤32.

2°a<-23时，函数g（x）的对称轴为-a+22>a，

所以g（x）min=-a2-44≤9恒成立，所以a<-23.

综上：实数a的取值范围为（-∞，32]

（2）f′（x）=-x2-ax+2ex，

设h（x）=-x2-ax+2，因为Δ=a2+8>0，

所以函数h（x）有两个不同的零点，不妨设x1，x2且x1

x1+x2=-a，x1x2=-2.

当x∈（-∞，x1）时，h（x）<0，函数f（x）为单调减函数，

当x∈（x1，x2）时，h（x）>0，函数f（x）为单调增函数，

当x∈（x2，+∞）时，h（x）<0，函数f（x）为单调减函数，

所以当x=x1时，函数f（x）取得极小值，当x=x2时，函数f（x）取得极大值，

所以MN=f（x2）f（x1）=x22+（a+2）x2+ax21+（a+2）x1+aex1-x2

=2x2+a+22x1+a+2ex1-x2（*）

将x1+x2=-a代入（*）得：

MN=x2-x1+2x1-x2+2ex1-x2，

设t=x1-x2=-（x1-x2）2

=-a2+8≤-22，

所以x2-x1+2x1-x2+2ex1-x2=2-tt+2et，

设Q（t）=2-tt+2et，t≤-22，

Q′（t）=-t2et（t+2）2<0，所以函數Q（t）在（-∞，22]上为单调减函数，

-（3+22）e-22≤Q（t）<0，

综上：MN的取值范围为[-（3+22）e-22，0）.

20.（1）①设数列{an}的公差为d，

因为a4，a14，a9成等比数列，

所以（-2+4d）2=（-2-6d）（-2-d），

所以d2-3d=0，因为d≠0，所以d=3，

所以an=a10+（n-10）d=3n-32.

②当1≤n≤10时，an<0，当n≥11时，an>0，

因为bn=an·an+1·an+2，

所以当1≤n≤8时，bn<0，当n≥11时，bn>0，

b9>0，b10<0，所以S1>S2>…>S8S10

所以Sn的最小值为S8或S10.

因为S10-S8=b9+b10=a10a11（a9+a12），

又因为a10<0，a11>0，a9+a12=-1<0，

所以S10-S8>0，

所以当n=8时，Sn取最小值.

（2）cn=an+1an+2-a2n

=（an+13）（an+23）-a2n=an+29.

若存在正整数p，q，使得ap+cq是整数，

则ap+cq=a1+（p-1）×13+a1+（q-1）×13+29=2a1+p+q-23+29∈Z，

设m=2a1+p+q-23+29，m∈Z，

所以18a1=3（3m-p-q+1）+1是一个整数，

所以|18a1|≥1，从而|a1|≥118，

又当a1=118时，有a1+c3=1∈Z.

综上：|a1|的最小值为118.

附加题

21.解：设直线l上任意一点（x0，y0）在矩阵M变换作用下变为（x，y），

所以2013x0y0=xy，得：2x0=xx0+3y0=y.

因为ax+by-2=0，

所以（2a+b）x0+3by0-2=0（*）

（x0，y0）为直线l上任意一点，所以（*）与2x0-2y0-2=0为同一方程，

所以2a+b=23b=-2，所以a=43，b=-23.

22.（1）因为曲线C的极坐标方程是

ρ2=4cos2θ+3sin2θ，

所以ρ2（cos2θ+3sin2θ）=ρ2（cos2θ-sin2θ+3sin2θ）=ρ2（cos2θ+2sin2θ），

因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以x2+2y2=4，

所以曲线C的直角坐标方程为x24+y22=1.

（2）因为直线l过点（2，0），且倾斜角为60°，

所以直线l的直角坐标方程为y=3x-23，

将直线l与曲线C联立方程组y=3x-23x24+y22=1，

得：7x2-24x+20=（7x-10）（x-2）=0，

所以x=2或x=107，

所以直线l与曲线C的交点为（2，0），（107，-437），

所以直线l被曲线C截得的线段长为（107-2）2+（-437）2=87.

23.（1）因为抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点是F（1，0），

所以p2=1，即p=2，

抛物线C的方程为y2=4x.

（2）设△ABD的面积为S1，△ABC的面积为S2，

因为∠AFD+∠BFD=180°，∠AFC+∠BFC=180°，

所以

S1S2=12×AF×DF×sin∠AFD+12×BF×DF×sin∠BFD12×AF×CF×sin∠AFC+12×BF×CF×sin∠BFC

=DFCF=4，

FD=4CF，设C（x1，y1），D（x2，y2），

所以x2-1=4（1-x1）y2=-4y1y21=4x1y22=4x2，

得：4y21=5-4x1y21=4x1，

所以5-4x1=16x1，所以x1=14，y1=±1，

所以直线l2的方程为4x+3y-4=0或4x-3y-4=0.

24.（1）因为1+4=2+3，1+5=2+4，1+6=2+5，

1+6=3+4，2+5=3+4，2+6=3+5，

3+6=4+5，所以f（6）=7;同理：f（7）=13.

（2）1°当n≥4的偶数时，和a+d=b+c=s可以取以下值：5，6，…，n+1，…，2n-3，在s取定后，相應的两个最小的加数取值分别有：

C22，C22，C23，C23，…，C2n2-1，C2n2-1，C2n2，C2n2-1，C2n2-1，…，C22，C22种取法，

因此，共有4（C22+C23+…+C2n2-1）+C2n2=4C3n2+C2n2=n（n-2）（2n-5）24种取法.

2°当n≥4的奇数时，和a+d=b+c=t可以取以下值：5，6，…，n+1，…，2n-3，在s取定后，相应的两个最小的加数取值分别有：

C22，C22，C23，C23，…，C2n-12，C2n-12，C2n-12，…，C22，C22种取法，

因此，共有4（C22+C23+…+C2n-12）-C2n-12=4C3n+12-C2n-12=（2n-1）（n-1）（n-3）24种取法.

综上所述：f（n）=n（n-2）（2n-5）24，n=2k+2，（2n-1）（n-1）（n-3）24，n=2k+3（k∈N*）.