高考概率统计题取材动向

杨文金

查看近年来高考试卷，不难发现概率统计题也融入新课标的教育理念，多角度、多视点地考查学生的数学素养，使学生的自主性和个性得以发挥.体现数学与社会、人与自然的和谐统一.许多试题体现了时代气息，有创新特色.本文结合2019年高考题谈谈高考概率统计题取材具体动向.

一、关注学生的生活实际

这类题关注学生生活，试题中有大量生活背景，充分体现了“从生活走向数学，从数学走向生活”，符合新课标“学习资源和实践机会无所不在，无时不有”的理念.

例1 （2019年高考全国Ⅲ卷理数）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为______.

分析：根据题意先求出阅读过西游记的人数，进而得解.

解：由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7.

点睛：本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养.采取去重法，利用转化与化归思想解题.

例2 （2019年高考天津卷理数）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望;

（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.

分析：（1）由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可;

（2）由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.

解：（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，

故X～B（3，23），从面P（X=k）=Ck3（23）k（13）3-k（k=0，1，2，3）.

所以，随机变量X的分布列为：

X0123

P1272949827

随机变量X的数学期望

E（X）=0×127+1×29+2×49+3×827=2627.

（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B（3，23）.

且M={X=3，Y=1}∪{X=2，Y=0}.

由题意知事件{X=3，Y=1}与{X=2，Y=0}互斥，

且事件{X=3}与{Y=1}，事件{X=2}与{Y=0}均相互独立，

从而由（1）知：

P（M）=P（{X=3，Y=1}∪{X=2，Y=0}）

=P（X=3，Y=1）+P（X=2，Y=0）

=P（X=3）P（Y=1）+P（X=2）P（Y=0）

=827×29+49×127=20243.

点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率計算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

二、面向社会生产实践

这类题突出在实践应用性上，注重社会现实，体现时代精神，试题选材体现社会热点，关注当前科技新发展.

例3 （2019年高考天津文）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.

（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如右表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

员工

项目ABCDEF

子女教育○○×○×○

继续教育××○×○○

大病医疗×××○××

住房贷款利息○○××○○

住房租金××○×××

赡养老人○○×××○

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.

分析：（1）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果;

（2）（i）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出;

（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.

解：（1）由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，

由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，

因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.

（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种;

（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种，

所以，事件M发生的概率P（M）=1115.

点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

三、试题具有鲜明的时代特色

“使学生具有初步的创新精神”是新课程改革的核心理念之一，随着新课程改革的实施，新课标对数学学科的内容的学习有了新的要求，考试的内容也发生着变化，试题变得越来越新颖别致，具有鲜明的时代特色.

例4 （2019年高考全国Ⅱ卷理数）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______.

分析：本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题.

解：由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.240=0.98.

点睛：本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养.侧重统计数据的概率估算，难度不大.易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值.

例5 （2019年高考北京卷理数）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上個月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

______支付金额__________________ （元）

支付方式______ （0，1000]（1000，2000]大于2000

仅使用A18人9人3人

仅使用B10人14人1人

（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率;

（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望;

（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.

分析：（1）由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值;

（2）首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.

（3）由题意结合概率的定义给出结论即可.

解：（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人.

故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为40100=0.4.

（2）X的所有可能值为0，1，2.

解法一：记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.

由题设知，事件C，D相互独立，

且P（C）=9+330=0.4，P（D）=14+125=0.6.

所以P（X=2）=P（CD）=P（C）P（D）=0.24，

P（X=1）=P（C∪D）

=P（C）P（）+P（）P（D）

=0.4×（1-0.6）+（1-0.4）×0.6

=0.52，

P（X=0）=P（）=P（）P（）=0.24.

所以X的分布列为

X012

P0.240.520.24

故X的数学期望

E（X）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.

解法二：P（X=0）=1830×1025=0.24，

P（X=1）=9+330×1025+1830×14+125=0.52，

P（X=2）=9+330×14+125=0.24，

以下同解法一.

（3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.

假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，

则由上个月的样本数据得P（E）=1C330=14060.

答案示例1：可以认为有变化.

理由如下：

P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.

一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化.

答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：

事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，

但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.

点睛：本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使同学们体会到数学与现实生活息息相关.

四、图表信息题型的大量使用

21世纪是信息化社会，作为一个公民应学会搜索、整理和加工信息.表格、图象和图形是一种最直观，最形象的数学语言，包含着丰富的信息资源，如何观察、提炼这些信息，并利用这些信息来分析解决问题，这是考查数学能力的较好形式之一.

例6 （2019年高考全国Ⅲ卷理数）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值;

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

分析：（1）由P（C）=0.70可解得a和b的值;

（2）根据公式求平均数.

解：（1）由题得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35，由0.05+b+0.15=1-P（C）=1-0.70，解得b=0.10.

（2）由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.15×2+0.20×3+0.30×4+0.20×5+0.10×6+0.05×7=4.05，

乙离子残留百分比的平均值为0.05×3+0.10×4+0.15×5+0.35×6+0.20×7+0.15×8=6.

点睛：本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.