《矩阵与变换》考点探究

在高考命题中，对《矩阵与变换》的考查一般以选做题的形式出现，出现在解答题中，试题难度中等或为基础题，占10分.对于高考来说，不管是简单题，中档题还是具有一定难度的压轴题，必须做到每分必争.而要做到这一点，必须先对考点了如指掌.那么，在高考命题中，关于《矩阵与变换》主要考点有哪些呢？让我们一起登上《矩阵与变换》考点直通车看个究竟！

考点一、矩阵的相关概念

对矩阵概念的考查以矩阵相等为主.

例1 设矩阵M=x-110q-1，N=21-py2+y2，若M=N，求x，y，p，q.

分析：题中涉及x，y，p，q四个未知量，可根据M=N列出4个方程，解方程组求值即可.

解：因为M=x-110q-1，

N=21-py2+y2，且M=N，

所以x-1=2y2+y=01-p=1q-1=2，

解得x=3，y=0或-1，p=0，q=3.

评注：解方程（组）是解决此类问题的基本运算，因此对一元二次方程根的求法，消元法解方程组要熟练掌握，避免出现运算错误.

考点二、矩阵的乘法运算

矩阵与矩阵的乘法运算，历来是高考考查矩阵与变换的一个重要考点.但难度不大，一般属于送分的基础题.

例2 已知二阶矩阵M满足M10=10，M11=22，求M21-1.

分析：设M=abcd，再由已知条件列出方程组求出a，b，c，d的值，从而得到二阶矩阵M，最后求M21-1.

解：设M=abcd，

由M10=10得ac=10，所以a=1，c=0.

由M11=22得a+bc+d=22，

所以b=1，d=2.所以M=1102.

所以M2=11021102=1304.

所以M21-1=13041-1=-2-4.

评注：虽然这类问题的难度不大，但必须注意矩阵的运算法则，如二阶矩阵相乘，满足结合律，但不满足交换律和消去律.

考点三、二阶矩阵与曲线的变换

矩阵与变换体现了学习“矩阵”就是为了“变换”，因此二阶矩阵与曲线的变换也是一类常考不衰的热点问题.

例3 在直角坐标系中，已知椭圆x2+4y2=1，矩阵M=0110，N=0210，求椭圆x2+4y2=1在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积.

分析：先计算矩阵MN，再求椭圆上点（x0，y0）在MN的作用下所对应的点（x，y）.

解：MN=01100210=1002.

设（x0，y0）为椭圆x2+4y2=1上任一点，它在MN的作用下所对应的点为（x，y），

则xy=1002x0y0=x02y0，

∴x=x0y=2y0，即x0=xy0=y2，

代入x20+4y20=1，得x2+y2=1，

∴在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积为π.

评注：利用二阶矩阵变换求曲线（或点）问题，与平面解析几何中的相关点法求轨迹方程有惊人形似的一幕，破解此类问题的关键是准确求出坐标之间的变换公式.

考点四、逆矩阵的求法及其应用

逆矩阵问题，既体现了矩阵的运算，又体现了逆矩阵的几何意义，计算难度不大，因而也一直成为热门考点.

例4 已知点P（a，b），先对它作矩阵M=12-323212对应的变换，再作N=2002对应的变换，得到的点的坐标为（8，43），求实数a，b的值.

分析：先求出NM和（NM）-1，再利用矩陣乘法求出实数a，b的值.

解：依题意，

NM=200212-323212=1-331，

由逆矩阵公式得，（NM）-1=1434-3414，

所以1434-3414843=5-3，

即有a=5，b=-3.

评注：解答本题的关键是求出NM的逆矩阵.求逆矩阵的方法各有千秋，有方程思想的体现，有公式法的简洁展现，有线性变换的巧妙揭示，解题的过程中应根据题目条件特点，恰当选取最优方法解题.

考点五、求矩阵的特征值，特征向量

利用矩阵的特征值与特征向量可以将Anα简单表示，因此这类问题往往有两个小问题，先求矩阵的特征值与特征向量，再求Anα的值

例5 已知矩阵M=7-64-3，向量ξ=65.

（1）求矩阵M的特征值λ1，λ2和特征向量ξ1和ξ2;

（2）求M6ξ的值.

分析：求矩阵的特征值与特征向量可按照相应的步骤进行，先写出特征多项式，并求出特征值，再将M6ξ用特征向量表示出来.

解：（1）M=7-64-3的特征多项式为

f（λ）=λ-76-4λ+3=λ2-4λ+3，

令f（λ）=0，得λ1=1，λ2=3.

当λ1=1时，得ξ1=11;

当λ2=3时，得ξ2=32.

（2）由ξ=mξ1+nξ2得m+3n=6m+2n=5得m=3，n=1.

M6ξ=M6（3ξ1+ξ2）=3（λ61ξ1）+λ62ξ2=21901461.

评注：求矩阵的特征向量及特征值时，准确写出特征多项式，解出特征方程的根是解题的前提.列出线性方程组后，根据系数特点恰当赋值求出特征向量，最后注意特征向量与特征值对应要准确.同时还需注意：（1）不是每个矩阵都有特征值与特征向量;（2）属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.

从以上考点分析可以看出，高考对矩阵与变换的考查注重知识的基础性与应用性，这具体表现在一是对矩阵概念的认识，主要考查一阶矩阵和二阶矩阵;二是有关矩阵的计算，主要考查二阶矩阵的乘法运算和求已知矩阵的逆矩阵;三是矩阵与变换的应用，如矩阵变换下的点的坐标问题，曲线问题和面积问题等，只要我们抓住以上重点内容和基本考点，那么在高考中一定会立于不败之地.

（作者：侯仰古，江苏省太仓市明德高级中学）