让“数感”在“数量关系”的建构中发展

蔡荣花

[摘 要]数感主要是关于数与数量、数量关系、运算结果、估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系，数量关系的建构有利于数感的建立与发展。因此，小学数学课堂教学中，教师要注重数量关系的具象呈现，强化数量关系的提炼，增强学生的数感，才能提升学生解决问题的能力。而数感的建立需要一个循序渐进过程，需要教师在课堂中创设具体的生活情境，从具象到抽象，从运算到模型，从模型到应用，“学用结合”提高学生对数与数量、数量关系的敏锐感，才能增强学生的数学意识，发展更为良好的数感品质。

[关建词]具象;构建;提炼;建模;应用

什么是数感？《数学课程标准2011版》指出：数感主要是关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中数量关系。新课标这样的修订充实了数感中“数与数量”表述，补充了对数量关系的描述。可见，学生建构了基本和常用的数量关系利于发展学生的数感，而数感的增强有助于学生理解与表述具体情境中的数量关系，有利于提升学生的数学素养。因此，小学数学课堂教学中，教师要注重数量关系的具象呈现，强化数量关系的提炼，增强学生的数感，才能提升学生解决问题的能力。

一、具象数量关系的呈现，增强数感

无论是生活中还是数学问题中，数量之间关系都是抽象的、无形的。对于数感不强、分析与理解能力较弱的学生而言，数量关系的找寻与建构是较难的，如何化无形于有形中，化抽象为具体呢？从直观素材中提取数据，分析数据并结合加减乘除的运算意义逐步呈现出一些基本的数量关系，能为构建数量关系的模型打下基础。

1.立足运算意义的理解，感知数量关系模型

数量之间的关系是无形的，它存在于具体的情境与问题中，单纯地让小学生用语言对数量关系进行描述对小学生来说是比较困难的。但如果从小学低段开始教师就有意识地让学生去感知，让它具体化、形象化，使学生建立了初步的概念模型，能为后续学习具体的数量关系打下基础，而低段学生感知数量关系一般是从运算意义的理解与运用入手。从一年级数的认识到加减法初步认识开始，教材就呈现了丰富、直观的情境与贴近学生生活的事物、活动，在大量学生感兴趣的感观画面引领中，学生能体会到“把两个数合并起来用加法计算”这是加法的意义，从“一个数中去掉其中的一部分，求另一部分的数量用减法计算”这是减法的意义。可这样意义的理解学生不能只停留在列式、计算的层面上，教师在教学时要从静态画面变成动态生成再到静态模型的形成，将运算意义语言化、实质化，才能使学生达到真正理解与运用的效果。特别是一年级教学“一个数比另一个数多多少？或一个数比另一个数少多少？”，学生对其中的运算意义模糊不清，一味默背“有多字用加法，有少字用减法”，这样的教学是无效的。

如下图一年级下册教材练习中这道题：

调查发现，大部分学生并不是建立了其中的数量关系而答题，一旦变式练习为“给希望小学捐书，我们一班捐了47本书，比二班捐的书少12本，二班捐了多少本书？”大部分学生便会出现47-12错误思想，此时教师应及时运用多媒体信息手段图例展示将具体的操作与抽象的数量关系对应起来，让学生明白“问题中一班捐书数量少，二班捐书数量多，求捐书更多的那一部分，对应的数量关系是一班捐书本数+12本=二班捐书本数”。通过这类数学问题帮助学生主动构建出“小数+相差数=大数”“大数-小数=相差数”“大数一相差数=小数”这样运算模型，从而提高学生解题的能力。

2.建立乘除法模型，支撑数量关系的构建

在小学阶段，第一學段中加减法的模型建立相对乘除法模型而言较容易理解与掌握。而乘法模型是小学阶段最根本的一个模型，除法模型是难点，两者较容易混淆，这两个模型的建立为后续构建“路程、速度和时间，总价、单价与数量，边长、周长与面积、体积、底面积与高”等重要数量关系提供支撑。因此，在教学中应让学生充分体验学习的过程，通过实物与实景具象化的感悟才能形成抽象化的模型。例如，二年级下册“除法的初步认识”教学时，我让学生带上塑料小盘与白色、黑色围棋子各20粒，在课上玩“过家家”游戏。先让学生表演“平均分”，将20粒白色棋子平均分在5个小盘中，该怎么分？为什么这样分？从而明白20÷5的运算意义，建立平均分用除法计算的模型。接着表演“包含除”，每盘放入5颗黑色棋子，需要用几个盘子呢？学生动手放一放，摆一摆，感受20÷5的第二种意义“20里有几个5”的包含除模型。两次游戏都要让学生用语言表述分的过程与结果。最后让学生根据算式12÷4=3用黑白棋子摆一摆，摆出除法的两种意义。如此实践操作，让学生明确除法的运算意义，从具象中抽象出平均分与包含除的模型。为后续建立“被除数、除数与商”三者之间的数量关系模型奠定基础。

3.情境数据引领，建立基本数量关系

基本数量关系的建立常常来自于具体的问题情境中，让学生从生动的情境中提取相关数据，分析数据之间的关系，用相应的运算表达，抽象出“数学情境”中的数量关系，并将数量关系构建与运用过程有机结合起来，才能达到真正地理解与掌握，建立数感。例如，北师大版三年级上册《路程、速度和时间》教学中，教材创设了猴子、小兔与松鼠竞走比赛，谁走得快的实际情境，让学生认识与理解“速度”这一概念，从而掌握路程、速度与时间三者之间的数量关系。课中，首先让学生通过三个表格的数据进行分析与运算，明白路程相同，时间用得少走得快，时间相同路程走得多，走得快。当时间与路程不同时，可算一算小动物一分钟分别能走多少米？从而建立速度的概念。并从280÷4，240÷3这两个除法运算中抽象出“路程÷时间=速度，这一基本数量关系。表格如下：

紧接着，让学生通过拓展延伸思考下列问题：

①淘气从学校去少年宫参加兴趣小组活动，每分走60米，走了10分钟，从学校到少年宫有多少米？

②笑笑爸爸带着一家人自驾旅行，从华阳村出发，每小时行驶70千米，到武夷山风景区共行驶了140千米 ，行驶了多少时？

学生通过画图与计算，数形结合，在直观的线段图中得到了感性材料的支撑，完善了“路程÷速度=时间，速度×时间=路程”这两个数量关系的建构。因此，引导学生对数据进行解读与分析，将数据抽象为数量关系是十分必要，否则数据一转换，数量关系又模糊不清了。

再如下图，北师大版三年级下册教学乘除混合运算，在解决问题时要求学生能画出简单的示意图来表示题意，同时也要求学生能看懂示意图。可在教学中，我常发现学生对图中的数量关系弄不明白，乘除法用错。究其原因是学生对乘除法意义衍生的数量关系的含混 ，特别是乘除混合时，无法准确判定是“求几个几的总和”，还是求将“总数平均分成若干份中的部分数”。因此，利用图中数据理解图意，自编成生活中的数学问题，再将数据抽象为数量关系是十分必要。

“让数据说话”，从数学问题中构建基本数量关系，才能建立数感。

二、加强数量关系的提炼，提升数感

随着课程改革的推进，淡化数量关系以及无视数量关系教学的思想又得以转变。在课堂实践中，许多学生在问题解决中，思维局限，无从着笔，其原因之一是找不出问题中相等的数量关系，无法进行推导与运算。无论是哪个领域中的数学问题，数量之间的特定联系构成了不同的数量关系，学生在主动学习中经历渗透、感知、体验、积累、抽象与概括的过程，自主地将这些潜藏的数量关系提炼出来进行理解与构建，才能提升数感。例如，有这样一道数学问题“为庆祝六一儿童节，老师让笑笑去商店购买12米彩带来装饰教室，每米彩带2.5元，笑笑至少要带多少钱呢？如果装饰教室需要15米彩带，用这些钱去购买，你该与店主商定每米彩带的价格是多少呢？”调查学生的作业，我发现数感不强的学生在第二个问题上出现错误，用2.5×15=37.5（元）解决，这样的结果出现，且不说每米彩带37.5元这个价格的荒唐，学生竟没有发觉，实在缺乏对数的敏感度。本题中三个数量“每米彩带的价格，所需的彩带米数，花费的钱”，这三者之间的数量关系学生因为没有模型支撑，识别不敏锐，造成解题错误这才是关键。如果学生对“单价×数量=总价，总价÷数量=单价，总价÷单价=数量”这些基本数量关系有了学习体验，建立了模型，在本题就能自主提炼出“每米彩带的价格×所买的彩带的米数=花费的钱，花费的钱÷需要的彩带米数=每米彩带的价格”这样的数量关系，问题就能迎刃而解。而小学数学中数量关系教学涉及基本数量关系与常用数量关系，课中教师将它们用灵动的方式反复提炼与运用，是可以提升学生数与数量以及数量关系辨析的敏感度的。

在小学阶段的数量关系教学中，教师从第一学段的简单常用的基本数量关系到第二学段的复杂的复合数量关系的构建，逐步递进，由于复合数量关系是学生理解与提炼的难点与核心，学生在掌握了基本的数量关系之后必需要学会建构复合的数量关系模型，才能以模型化繁为简，深入浅出地分析问题，解决问题。例如，北师大版小学六年级学习了分数应用题，学生常常要能用不同的方法解决生活中的这类数学问题：一套课桌椅共240元，一把椅子的价格是一张桌子价格的1/4，一张椅子与一张桌子各多少元？分析题意我们不难发现，此题中蕴含两个数量关系，“一张课桌的价格+一把椅子的价格=一套课桌椅的价格”，这是加法模型，“一张桌子的价格×1/4=一把椅子的价格”，这是乘法模型，两个数量关系结合在一起分析与运用，才能列出方程解决问题，哪怕是用比的知识解决，学生也要从题意中提炼出这两个数量关系，才能明白，“一套桌椅价格共为5份，一张桌子价格占了4份，而一把椅子价格占了1份”这样的比例分配。

可见，加强数量关系的提炼，让学生将数学知识与生活紧密联系，并能将解决问题从经验式提升到数学方法的应用。无论是用等式、符号、语言还是图形来表示各种数量关系，只要让学生经历了抽象、体验、提炼、建模、运用的全过程，丰富体验，积累经验，就能提高数学思维能力，也就提升了数感。

三、拓宽数量关系的应用，发展数感

数量关系是数学问题的重要结构之一，就好像人的骨架一样支撑着人体，在各学段中抓住数学问题中的数量关系，解决多样的生活中的数学问题，拓宽应用，形成一定的解题策略，才能发展数感。

1.低年级将基本数量关系渗透于运算意义中进行拓展练习。如，“淘气家有4口人，吃饭时饭桌上要摆放几双筷子，共有多少根呢？”学生会用”“2+2+2+2”来计算，教师要有意识地引导学生理解这道算式表示为4个相同的2相加，可用乘法“2×4”计算更为简便，并让学生理解“每双筷子2根×人数=筷子的总根数”这一数量关系，初步建立“每份数×份数=总数”这一数量关系模型。

2.中年级以常用数量关系为主，在操作与演示中迁移应用。如，在教学完《路程、时间与速度》这一课后，教材中有这样一道生活中的数学问题：

王大叔从河西村到河东村，每分钟走60米。

（1） 出发十分钟后，他大约在什么位置？

（2） 王大叔9：15出发，走完一半路程时是什么时间？

这道问题对于数感不强的学生而言，在数量關系的运用上是有一定难度的。课上，教师可以以教室为场景，现场模拟表演，再画线段图表示，让学生在亲身体验与直观示意中明白，要确定王大叔出发10分后的位置，运用“速度×时间=路程”这一数量关系计算出王大叔10分钟所走的路程。要确定王大叔9：15分出发，走完一半路程是几时几分？得运用“路程÷速度=时间”这个数量关系先计算出王大叔走完一半路程用了多长时间。如此学习让常用数量关系在生活问题解决中得以灵活应用，得以巩固延伸，久而久之，学生的数感也得以提升。

3.高年级可灵活运用各种数量关系，在寻找等量关系中抽象思维与建模。如，六年级下册“正比例与反比例”应用中，判定“一辆车行驶一定路程，这辆车车轮的周长与车轮转动的圈数之间成什么关系”。学生以敏锐的数感反应，找寻到“车轮转动一周的长度×车轮转动的圈数=车辆行驶的路程”这一数量间的等量关系，从而判定这两种数量成反比例关系。

可见，不同学段，不同领域教学中，教师要适时引导学生应用已建立的数量关系模型，拓宽解题策略，拓展学生的数学思维能力，发展数感，提升数学素养。

总之，数量关系的建构有利于数感的建立与发展，而数感的建立需要一个循序渐进过程，需要教师在课中创设具体的生活情境，从具象到抽象，从运算到模型，从模型到应用，“学用结合”提高学生对数与数量、数量关系的敏锐感，增强学生的数学意识，发展更为良好的数感品质。

参考文献：

[1]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究 [J].小学教学：数学版，2017，（9）.

[2]吴建亚.数感，在建构过程中培养[J].教育研究与评论：课堂观察，2014，（01）.

[3]张雅君.小学低段数量关系建构的教学策略[J].科教导刊（上旬刊），2013，（04）.

[4]林燕娟.小学低段数量关系建构的教学策略 [J].科学大众.科学教育，2018，（06）.

（责任编辑 陈始雨）